Calculateur de Distribution Binomiale Négative

Calculateur de Distribution Binomiale Négative

Le calculateur de distribution binomiale négative calcule les probabilités exactes du nombre d'échecs (ou d'essais totaux) nécessaires avant d'atteindre un nombre cible de succès. Entrez le nombre de succès requis (r), la probabilité de succès par essai (p) et votre valeur cible (k) pour obtenir les probabilités ponctuelles et cumulées, les solutions étape par étape, des graphiques interactifs et une visualisation de la séquence d'essais.

Qu'est-ce que la distribution binomiale négative ?

La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre d'échecs avant qu'un nombre spécifié de succès ne survienne dans une séquence d'essais de Bernoulli indépendants. Chaque essai a la même probabilité de succès p. Elle répond à des questions telles que « Combien d'appels de vente infructueux vais-je passer avant de conclure mon 5ème contrat ? » ou « Combien d'articles défectueux vais-je inspecter avant d'en trouver 10 bons ? »

La distribution tire son nom de l'expansion de la série binomiale négative utilisée dans sa dérivation. Elle généralise la distribution géométrique, qui est le cas particulier où r = 1 (un seul succès requis).

Deux paramétrisations courantes

La distribution binomiale négative possède deux formulations équivalentes qui diffèrent par ce que la variable aléatoire compte :

• Paramétrisation par échecs (X) : X compte uniquement les échecs avant le r-ième succès. X peut être 0, 1, 2, 3, ... La PMF est P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Paramétrisation par essais (Y) : Y compte le nombre total d'essais (succès et échecs confondus) jusqu'au r-ième succès. Y peut être r, r+1, r+2, ... La relation est Y = X + r.

Ce calculateur prend en charge les deux. Utilisez le bouton de bascule pour choisir entre la saisie de k en tant que nombre d'échecs ou en tant que nombre total d'essais.

La formule de la PMF binomiale négative

Dans la paramétrisation par échecs, la fonction de masse de probabilité est :

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Où C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) est le coefficient binomial. Le terme C(k + r − 1, r − 1) compte le nombre de façons d'organiser k échecs et r − 1 succès dans les k + r − 1 premiers essais (le dernier essai devant être un succès). Le terme p^r est la probabilité de r succès, et (1 − p)^k est la probabilité de k échecs.

Moyenne, variance et autres statistiques

Pour la variable aléatoire binomiale négative X (paramétrisation par échecs) avec les paramètres r et p :

• Moyenne : μ = r(1 − p) / p
• Variance : σ² = r(1 − p) / p²
• Écart-type : σ = √(r(1 − p) / p²)
• Mode : ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ quand r > 1 ; 0 quand r = 1
• Asymétrie (Skewness) : (2 − p) / √(r(1 − p))

Pour la paramétrisation par essais Y = X + r, la moyenne se déplace vers r/p et la variance reste la même.

Relation avec d'autres distributions

• Distribution géométrique : Le cas particulier avec r = 1. Modélise le nombre d'échecs avant le premier succès.
• Distribution binomiale : Alors que la binomiale fixe le nombre d'essais et compte les succès, la binomiale négative fixe le nombre de succès et compte les essais/échecs.
• Distribution de Poisson : La binomiale négative peut être vue comme un mélange Poisson-Gamma. Lorsque r → ∞ et p → 1 tout en gardant r(1 − p)/p constant, la binomiale négative s'approche d'une distribution de Poisson.

Applications courantes

• Ventes et marketing — Combien d'appels jusqu'à ce qu'un vendeur conclue son nombre cible de contrats, compte tenu d'un taux de conversion connu ?
• Contrôle qualité — Combien d'articles doivent être inspectés pour trouver un nombre cible d'unités conformes ?
• Essais cliniques — Combien de patients doivent être recrutés avant d'obtenir un nombre cible de réponses positives ?
• Assurances — Modélisation du nombre de sinistres lorsque la variance dépasse la moyenne (surdispersion par rapport à la loi de Poisson).
• Écologie — Modélisation des données d'abondance d'espèces où les comptages présentent plus de variabilité que ne le permet un modèle de Poisson.
• Analyses sportives — Combien de tirs ou de tentatives jusqu'à ce qu'un athlète atteigne un nombre cible de résultats réussis ?

Comment utiliser ce calculateur

1. Entrez r, le nombre de succès que vous souhaitez obtenir (r ≥ 1).
2. Entrez p, la probabilité de succès à chaque essai (0 < p ≤ 1).
3. Sélectionnez le mode de saisie : si k représente le nombre d'échecs ou le nombre total d'essais.
4. Entrez k, la valeur spécifique pour laquelle vous souhaitez trouver la probabilité.
5. Cliquez sur « Calculer la probabilité » pour voir les probabilités exactes et cumulées, les solutions combinatoires étape par étape, une visualisation de la séquence d'essais, les graphiques PMF/CDF et le tableau de distribution complet.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre les distributions binomiale négative et binomiale ?

La distribution binomiale fixe le nombre d'essais et compte le nombre aléatoire de succès. La distribution binomiale négative fixe le nombre de succès et compte le nombre aléatoire d'essais (ou d'échecs). Elles répondent à des questions complémentaires : la binomiale demande « Combien de succès en n essais ? » tandis que la binomiale négative demande « Combien d'essais jusqu'à r succès ? »

Quand dois-je utiliser la binomiale négative au lieu de la distribution de Poisson ?

Utilisez la binomiale négative lorsque vos données de comptage présentent une surdispersion — c'est-à-dire quand la variance est supérieure à la moyenne. La distribution de Poisson suppose que la moyenne et la variance sont égales. La binomiale négative possède un paramètre supplémentaire qui permet à la variance de dépasser la moyenne, ce qui en fait un meilleur ajustement pour de nombreux ensembles de données de comptage réels.

Que signifie r = 1 ?

Lorsque r = 1, la binomiale négative se réduit à la distribution géométrique, qui modélise le nombre d'échecs avant le premier succès. Par exemple, le nombre de lancers de pièce donnant pile avant d'obtenir le premier face.

Est-ce que p peut être égal à 0 ou 1 ?

La probabilité p doit être strictement supérieure à 0. Si p = 0, le succès est impossible et vous auriez besoin d'une infinité d'essais. Si p = 1, chaque essai est un succès, il y a donc toujours 0 échec et la distribution est dégénérée (toute la masse de probabilité est en k = 0). Ce calculateur accepte p = 1 comme cas particulier.

Comment la binomiale négative est-elle utilisée en régression ?

La régression binomiale négative est une généralisation de la régression de Poisson utilisée lorsque les données de comptage présentent une surdispersion. Elle ajoute un paramètre de dispersion qui permet à la variance conditionnelle de dépasser la moyenne conditionnelle. Les applications courantes incluent la modélisation du nombre de visites à l'hôpital, des fréquences d'accidents de la route et des données d'abondance d'espèces.

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