음이항분포 계산기

음이항분포 계산기 정보

음이항분포 계산기는 목표 성공 횟수를 달성하기 전까지 필요한 실패 횟수(또는 총 시행 횟수)에 대한 정확한 확률을 계산합니다. 필요한 성공 횟수(r), 시행당 성공 확률(p), 목표 값(k)을 입력하여 점 확률 및 누적 확률, 단계별 풀이, 대화형 차트 및 시행 시퀀스 시각화를 확인하세요.

음이항분포란 무엇인가요?

음이항분포는 독립적인 베르누이 시행 시퀀스에서 지정된 횟수의 성공이 발생하기 전까지의 실패 횟수를 모델링하는 이산 확률 분포입니다. 각 시행은 동일한 성공 확률 p를 가집니다. "5번째 계약을 따내기 전까지 몇 번의 영업 전화 실패를 겪게 될까?" 또는 "양품 10개를 찾기 전까지 몇 개의 불량품을 검사하게 될까?"와 같은 질문에 답을 줍니다.

이 분포의 이름은 유도 과정에서 사용된 음이항 급수 전개에서 유래되었습니다. 이는 r = 1(성공 1회 필요)인 특수한 경우인 기하분포를 일반화한 것입니다.

두 가지 일반적인 매개변수화

음이항분포는 확률 변수가 무엇을 세느냐에 따라 두 가지 동등한 공식으로 나뉩니다.

• 실패 횟수 매개변수화 (X): X는 r번째 성공 전까지의 실패 횟수만을 셉니다. X는 0, 1, 2, 3, ...의 값을 가질 수 있습니다. PMF는 P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k 입니다.
• 시행 횟수 매개변수화 (Y): Y는 r번째 성공까지의 총 시행 횟수(성공과 실패 모두 포함)를 셉니다. Y는 r, r+1, r+2, ...의 값을 가질 수 있습니다. 관계식은 Y = X + r 입니다.

본 계산기는 두 방식 모두 지원합니다. 토글을 사용하여 k를 실패 횟수로 입력할지 총 시행 횟수로 입력할지 선택하세요.

음이항분포 PMF 공식

실패 횟수 매개변수화에서 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

여기서 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)는 이항 계수입니다. C(k + r − 1, r − 1) 항은 처음 k + r − 1번의 시행 동안 k번의 실패와 r − 1번의 성공을 배열하는 방법의 수를 셉니다(마지막 시행은 반드시 성공이어야 합니다). p^r 항은 r번 성공할 확률이며, (1 − p)^k 항은 k번 실패할 확률입니다.

평균, 분산 및 기타 통계량

매개변수 r과 p를 가진 음이항 확률 변수 X(실패 횟수 방식)의 경우:

• 평균: μ = r(1 − p) / p
• 분산: σ² = r(1 − p) / p²
• 표준편차: σ = √(r(1 − p) / p²)
• 최빈값: r > 1일 때 ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋; r = 1일 때 0
• 왜도: (2 − p) / √(r(1 − p))

시행 횟수 방식 Y = X + r의 경우, 평균은 r/p로 이동하며 분산은 동일하게 유지됩니다.

다른 분포와의 관계

• 기하분포: r = 1인 특수한 경우입니다. 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 모델링합니다.
• 이항분포: 이항분포는 시행 횟수를 고정하고 성공 횟수를 세는 반면, 음이항분포는 성공 횟수를 고정하고 시행/실패 횟수를 셉니다.
• 포아송 분포: 음이항분포는 포아송-감마 혼합분포로 볼 수 있습니다. r(1 − p)/p를 일정하게 유지하면서 r → ∞, p → 1일 때 음이항분포는 포아송 분포에 수렴합니다.

일반적인 응용 사례

• 영업 및 마케팅 — 알려진 전환율이 있을 때, 목표 계약 건수를 달성하기 전까지 영업 사원이 몇 번이나 전화를 해야 할까요?
• 품질 관리 — 목표한 수량의 합격품을 찾기 위해 몇 개의 제품을 검사해야 할까요?
• 임상 시험 — 목표한 수의 긍정적인 반응을 얻기 위해 얼마나 많은 환자를 등록해야 할까요?
• 보험 — 분산이 평균보다 큰 경우(포아송 대비 과산포)의 청구 건수 모델링.
• 생태학 — 포아송 모델이 허용하는 것보다 더 큰 변동성을 보이는 종 풍부도 데이터 모델링.
• 스포츠 분석 — 선수가 목표한 득점 횟수에 도달하기까지 얼마나 많은 슛이나 시도를 해야 할까요?

이 계산기 사용 방법

1. 달성하고자 하는 성공 횟수 r을 입력하세요 (r ≥ 1).
2. 각 시행에서의 성공 확률 p를 입력하세요 (0 < p ≤ 1).
3. 입력 모드를 선택하세요: k가 실패 횟수인지 총 시행 횟수인지 결정합니다.
4. 확률을 찾고자 하는 특정 값 k를 입력하세요.
5. "확률 계산하기"를 클릭하여 정확한 확률과 누적 확률, 단계별 조합 풀이, 시행 시퀀스 시각화, PMF/CDF 차트 및 전체 분포표를 확인하세요.

자주 묻는 질문

음이항분포와 이항분포의 차이점은 무엇인가요?

이항분포는 시행 횟수를 고정하고 무작위적인 성공 횟수를 셉니다. 음이항분포는 성공 횟수를 고정하고 무작위적인 시행 횟수(또는 실패 횟수)를 셉니다. 이항분포가 "n번 시행 중 성공이 몇 번일까?"를 묻는다면, 음이항분포는 "r번 성공할 때까지 시행을 몇 번 해야 할까?"라고 묻습니다.

포아송 분포 대신 음이항분포를 언제 사용해야 하나요?

데이터가 과산포(overdispersion)를 보일 때, 즉 분산이 평균보다 클 때 음이항분포를 사용하세요. 포아송 분포는 평균과 분산이 같다고 가정합니다. 음이항분포는 분산이 평균을 초과할 수 있도록 하는 추가 매개변수가 있어 많은 실제 데이터셋에 더 잘 맞습니다.

r = 1은 무엇을 의미하나요?

r = 1일 때 음이항분포는 기하분포가 되며, 이는 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 모델링합니다. 예를 들어, 첫 번째 앞면이 나오기 전까지 뒷면이 나오는 횟수와 같습니다.

p가 0이나 1이 될 수 있나요?

확률 p는 반드시 0보다 커야 합니다. p = 0이면 성공이 불가능하므로 무한한 시행이 필요합니다. p = 1이면 모든 시행이 성공이므로 실패 횟수는 항상 0이며 분포가 축퇴됩니다(모든 확률이 k = 0에 집중됨). 본 계산기는 p = 1을 특수한 경우로 수용합니다.

회귀 분석에서 음이항분포는 어떻게 사용되나요?

음이항 회귀는 포아송 회귀의 일반화된 형태로, 카운트 데이터가 과산포를 보일 때 사용됩니다. 이는 조건부 분산이 조건부 평균을 초과할 수 있게 하는 분산 매개변수를 추가합니다. 일반적인 응용 분야로는 병원 방문 횟수, 교통 사고 빈도, 종 풍부도 데이터 모델링 등이 있습니다.