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Calculateur de Produit Vectoriel

Le calculateur de produit vectoriel de MiniWebtool détermine le vecteur perpendiculaire à deux vecteurs 3D. Leurs composantes donnent le produit vectoriel, sa norme et l’angle associé ; le développement du déterminant et un diagramme rotatif en vérifient la perpendicularité.

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a × b ⟂ a et b ; sa longueur est l’aire

Saisissez ci-dessous deux vecteurs 3D pour obtenir le produit vectoriel, l’aire du parallélogramme et l’angle, avec les étapes du déterminant.

Exemples :
APERÇU 3D EN DIRECT
Vecteur ax, y, z
×
Vecteur bx, y, z

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Calculateur de Produit Vectoriel

Le Calculateur de Produit Vectoriel calcule le produit vectoriel de deux vecteurs 3D à l'aide de la formule du déterminant. Entrez les composantes de deux vecteurs pour obtenir instantanément le vecteur perpendiculaire résultant, sa magnitude (aire du parallélogramme), l'angle entre les vecteurs d'entrée, le développement du déterminant étape par étape, la vérification de la perpendicularité et un diagramme 3D interactif que vous pouvez faire pivoter en le faisant glisser.

En bref

Le Calculateur de Produit Vectoriel calcule le produit vectoriel de deux vecteurs 3D à l'aide de la formule du déterminant. Il renvoie le vecteur perpendiculaire, sa norme, l'angle entre les vecteurs et un schéma 3D orientable.

Calculateur de Produit Vectoriel: fonctionnalités en un coup d’œil
FonctionnalitéCe que vous obtenezIdéal pour
Saisie des vecteursSaisissez chaque vecteur en trois composantes séparées par des virgules, par exemple 2, 3, 4 et 5, 6, 7. Les exemples prédéfinis incluent vecteurs unitaires, perpendiculaires, parallèles, moment de force et cas généraux.Tests rapides avec des paires de vecteurs classiques des manuels
Vecteur résultatLe vecteur perpendiculaire a x b, obtenu en développant un déterminant 3x3 selon la première ligne.Trouver une normale à une surface ou une direction perpendiculaire à deux vecteurs
Norme et aireLa norme |a||b| sin(theta) égale l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs, et sa moitié donne l'aire du triangle.Problèmes d'aire en géométrie et en physique
Angle entre les vecteursAffiche l'angle entre les deux vecteurs saisis.Vérifier si des vecteurs sont presque parallèles ou perpendiculaires
Contrôle de perpendicularitéVérifie que le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs saisis.Confirmer un calcul fait à la main
Schéma 3DFaites glisser pour faire pivoter la vue 3D, et activez ou désactivez le parallélogramme, le vecteur produit, les axes et les étiquettes.Voir la règle de la main droite et la géométrie des vecteurs

La formule du produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs 3D \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) et \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) est défini par le déterminant :

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Le développement par cofacteurs le long de la première ligne donne :

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Applications dans le monde réel

🔧
Couple
τ = r × F calcule la force de rotation
🌊
Moment cinétique
L = r × p en mécanique de rotation
🎮
Normales de surface
Le rendu 3D utilise les normales pour l'éclairage
✈
Électromagnétisme
F = qv × B pour la force de Lorentz
📐
Calcul d'aire
|a×b| donne l'aire du parallélogramme/triangle
🏗
Génie civil
Moment des forces par rapport à un point

Formules clés

Calculateur de Produit Vectoriel: Formules clés
PropriétéFormuleDescription
Produit vectoriel\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)Forme des composantes du produit vectoriel
Magnitude\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)Égale à l'aire du parallélogramme
Anti-commutativité\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)Inverser l'ordre inverse la direction
Perpendicularité\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)Le résultat est toujours perpendiculaire aux entrées
Test de parallélisme\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \| \vec{b}\)Un produit vectoriel nul signifie que les vecteurs sont parallèles
Aire du triangle\(A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)Moitié de l'aire du parallélogramme

Produit Vectoriel vs Produit Scalaire

Produit Vectoriel (a × b)

Produit un vecteur perpendiculaire aux deux entrées. Défini uniquement en 3D. La magnitude est égale à l'aire du parallélogramme. Nul lorsque les vecteurs sont parallèles. Maximum lorsque les vecteurs sont perpendiculaires. Anti-commutatif : a × b = -(b × a).

Produit Scalaire (a · b)

Produit une valeur scalaire. Fonctionne dans n'importe quelle dimension. Mesure l'alignement entre les vecteurs. Nul lorsque les vecteurs sont perpendiculaires. Maximum lorsque les vecteurs sont parallèles. Commutatif : a · b = b · a.

Propriétés clés

Anti-commutatif
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) — l'ordre compte
Distributif
\(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
Facteur scalaire
\((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
Auto-produit
\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) — toujours nul
Non associatif
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
Identité de Lagrange
\(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2\)

Comprendre la règle de la main droite

La direction du produit vectoriel suit la règle de la main droite : pointez les doigts de votre main droite le long du premier vecteur \(\vec{a}\), repliez-les vers le second vecteur \(\vec{b}\), et votre pouce indique la direction de \(\vec{a} \times \vec{b}\). C'est pourquoi le produit vectoriel est anti-commutatif — inverser l'ordre inverse la direction du pouce, donnant \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\).

La magnitude \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) représente l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Lorsque les vecteurs sont parallèles (\(\theta = 0°\) ou \(180°\)), l'aire s'effondre à zéro. Lorsqu'ils sont perpendiculaires (\(\theta = 90°\)), l'aire est maximale et égale à \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\).

Comment utiliser le Calculateur de Produit Vectoriel

  1. Saisir le Vecteur a : Tapez les trois composantes (x, y, z) séparées par des virgules — par exemple, 2, 3, 4. Vous pouvez aussi cliquer sur un exemple rapide pour remplir les deux vecteurs.
  2. Saisir le Vecteur b : Tapez les trois composantes du second vecteur dans le même format.
  3. Observer l'aperçu en direct : L'aperçu 3D se met à jour en temps réel, montrant les deux vecteurs, le vecteur résultant et le parallélogramme.
  4. Cliquer sur Calculer : Appuyez sur le bouton pour obtenir les résultats complets, y compris le vecteur perpendiculaire, l'aire du parallélogramme, l'angle, le développement du déterminant étape par étape et le diagramme 3D interactif.
  5. Explorer le diagramme : Faites glisser pour pivoter la vue 3D, activez ou désactivez les couches (parallélogramme, vecteur produit vectoriel, axes, étiquettes) pour différentes visualisations.

FAQ

Qu'est-ce que le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs 3D a et b produit un nouveau vecteur qui est perpendiculaire à la fois à a et b. Il est calculé à l'aide du déterminant d'une matrice 3×3 avec les vecteurs unitaires i, j, k dans la première ligne. La magnitude du résultat est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs.
Comment calcule-t-on le produit vectoriel par la méthode du déterminant ?
Établissez une matrice 3×3 avec i, j, k sur la ligne 1, les composantes du vecteur a sur la ligne 2 et celles du vecteur b sur la ligne 3. Développez ensuite selon la première ligne : i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Cela donne les trois composantes du vecteur produit vectoriel.
Pourquoi le produit vectoriel n'est-il défini qu'en 3D ?
Le produit vectoriel est une opération bilinéaire qui vérifie |a×b| = |a||b|sinθ en 3 et 7 dimensions. En 7D, l'espace perpendiculaire à deux vecteurs est de dimension 5 ; le vecteur perpendiculaire n'est donc pas unique. Cette opération est liée aux quaternions et aux octonions.
Quelle est la signification géométrique de la magnitude du produit vectoriel ?
La magnitude |a × b| est égale à l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs a et b. La moitié de cette valeur donne l'aire du triangle. Ceci est largement utilisé en physique (couple = r × F) et en infographie (calcul des normales de surface pour l'éclairage).
Qu'est-ce que la règle de la main droite pour les produits vectoriels ?
La règle de la main droite détermine la direction du produit vectoriel : orientez vos doigts selon le vecteur a, repliez-les vers le vecteur b, et votre pouce pointera dans la direction de a × b. Cela signifie que le produit vectoriel est anti-commutatif — a × b est égal à −(b × a).

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"Calculateur de Produit Vectoriel" sur https://MiniWebtool.com/fr/calculateur-de-produit-vectoriel/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

par l'équipe miniwebtool. Mis à jour le : 2026-04-10

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