Traceur d'équations polaires
Tracez des équations polaires de manière interactive — graphiques de r = sin(3θ), r = θ (spirale d'Archimède), cardioïdes, limaçons, lemniscates et courbes du papillon avec plage de θ ajustable, résolution d'échantillonnage, palettes de couleurs et grille polaire. Superposez jusqu'à trois équations sur le même canevas et exportez le graphique en SVG ou PNG net.
\( x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \)
Le graphique ci-dessus a été généré en échantillonnant chaque équation à 1800 valeurs de θ régulièrement espacées sur θ ∈ [0 à 2π], puis en traçant un chemin SVG continu par courbe.
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Traceur d'équations polaires
Le Traceur d'équations polaires trace n'importe quelle expression de la forme \( r = f(\theta) \) directement dans votre navigateur. Utilisez-le pour dessiner la rosace classique \( r = \sin(3\theta) \), la cardioïde en forme de cœur \( r = 1 + \cos\theta \), les spirales d'Archimède et de Fermat, les limaçons avec boucles internes, les lemniscates et même la célèbre courbe du papillon. Saisissez votre propre expression avec une prise en charge complète de sin, cos, tan, exp, log, sqrt et des constantes \( \pi \) et \( e \), ou cliquez sur l'un des neuf préréglages pour un tracé instantané. Superposez jusqu'à trois équations sur le même canevas, regardez l'aperçu en direct se redessine à mesure que vous tapez, puis exportez le graphique au format SVG ou PNG net.
Comment fonctionnent les coordonnées polaires
Chaque point du plan possède deux désignations équivalentes. Les coordonnées cartésiennes \( (x, y) \) indiquent « allez jusqu'ici à droite et jusqu'à cette hauteur ». Les coordonnées polaires \( (r, \theta) \) indiquent « éloignez-vous de l'origine de cette distance, selon cet angle par rapport à l'axe des x positifs ». Les deux sont liées par
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]
Une équation polaire \( r = f(\theta) \) définit le rayon en fonction de l'angle. Le traceur balaie θ sur la plage choisie, évalue \( f \) à chaque étape, convertit le résultat \( (r, \theta) \) en \( (x, y) \), et relie les points par un seul chemin SVG. Le point animé ci-dessus montre exactement cela — le rayon violet tourne avec θ, et the point rose à la distance r laisse une trace.
Une galerie de courbes polaires célèbres
Ce qui rend ce traceur polaire différent
2cos(3t), theta^2, 1 + 2cos(θ). La multiplication implicite, la puissance avec accent circonflexe et les caractères Unicode θ/π sont tous convertis automatiquement — pas besoin de fiche de syntaxe.
Syntaxe des expressions — Référence rapide
| Ce que vous tapez | Signification | Exemple |
|---|---|---|
theta ou t ou θ | L'angle polaire (en radians) | r = theta |
pi ou π | La constante π ≈ 3.14159 | r = sin(theta + pi/4) |
e | Le nombre d'Euler ≈ 2.71828 | r = exp(theta/5) |
sin, cos, tan | Fonctions trigonométriques (radians) | r = sin(3*theta) |
asin, acos, atan, atan2 | Trigonométrie inverse | r = atan(theta) |
exp, log, log2, log10 | Exponentielles et logarithmes | r = log(theta + 1) |
sqrt, abs, floor, ceil | Puissance et arrondi | r = sqrt(abs(cos(2*theta))) |
^ ou ** | Exposant | r = theta^2 |
Implicite * | L'enchaînement nombre-lettre insère × | 2cos(3t) → 2*cos(3*t) |
Compter les pétales d'une rosace
Pour la rosace \( r = \sin(k\theta) \) (ou \( r = \cos(k\theta) \)) où \( k \) est un entier, le nombre de pétales suit une règle magnifique :
- Si \( k \) est impair : la rosace a exactement \( k \) pétales.
- Si \( k \) est pair : la rosace a \( 2k \) pétales.
Ainsi, \( \sin(3\theta) \) donne 3 pétales, \( \sin(4\theta) \) donne 8 pétales et \( \sin(7\theta) \) donne 7 pétales. La raison est subtile : lorsque k est impair, les pétales tracés pour un r négatif (qui se reflètent par rapport à l'origine) se superposent exactement sur les mêmes positions que les pétales de r positif. Lorsque k est pair, les pétales de r négatif remplissent les espaces entre ceux de r positif, doublant ainsi le nombre. Essayez \( \sin(2\theta) \) (4 pétales) contre \( \sin(3\theta) \) (3 pétales) pour voir la différence de symétrie en direct.
De la cardioïde au limaçon : une famille à un paramètre
L'équation générale \( r = a + b\cos\theta \) trace une famille de courbes contrôlées par le rapport \( b/a \) :
- \( b/a = 0 \) : cercle de rayon \( a \) — aucune asymétrie.
- \( 0 < b/a < 1 \) : limaçon convexe — un ovale légèrement écrasé.
- \( b/a = 1 \) : cardioïde — la forme de cœur parfaite avec un seul point de rebroussement.
- \( 1 < b/a < 2 \) : limaçon à fossette avec une indentation plus profonde.
- \( b/a \geq 2 \) : limaçon à boucle intérieure — la courbe se croise elle-même.
Essayez de tracer \( r = 1 + b\cos\theta \) avec b = 0,5, 1,0, 1,5, 2,0 dans les trois champs de superposition pour regarder le cœur s'épanouir en un escargot à boucle.
Utilisations concrètes
- Salles de classe de mathématiques : la révélation animée du tracé et l'aperçu en direct rendent les équations polaires concrètes — les élèves voient comment le rayon rotatif trace la courbe.
- Laboratoires de physique : les diagrammes de rayonnement d'antennes, la phyllotaxie des plantes, les orbites planétaires et les tracés de pendules s'expriment tous en coordonnées polaires.
- Ingénierie : les profils de cames, les dents d'engrenages et les distributions de contraintes dans les poutres sont conçus sous forme polaire. Exportez en SVG pour la découpe laser ou la CNC.
- Design et ornementation : les rosaces, les lemniscates et les courbes de papillon font de superbes logos, mandalas et motifs répétitifs. Exportez en vectoriel pour des modifications ultérieures.
- Art génératif : superposez trois rosaces à différentes valeurs de k avec une palette néon pour obtenir instantanément des affiches géométriques.
- Astronomie : les coniques en forme polaire (\( r = p / (1 - e\cos\theta) \) pour l'ellipse/parabole/hyperbole) décrivent les orbites planétaires — essayez avec des valeurs d'excentricité de 0,1 à 0,9.
Conseils pour de superbes tracés
- Choisissez la bonne plage de θ. Les rosaces et les cardioïdes se ferment entre 0 et 2π. Les limaçons à boucle intérieure peuvent nécessiter 0 à 4π. Les spirales d'Archimède sont plus belles entre 0 et 8π ou plus. Utilisez le menu déroulant — il gère les multiples de π pour vous.
- Utilisez la superposition pour des contrastes « avant/après ». Tracez \( \sin(2\theta) \) et \( \sin(3\theta) \) côte à côte pour voir la règle des pétales pairs vs impairs. Tracez \( 1 + \cos\theta \) et \( 1 + 1,5\cos\theta \) pour voir une cardioïde devenir un limaçon à fossette.
- Augmentez la résolution pour les spirales. L'option par défaut Moyenne (1 800 échantillons) est amplement suffisante pour les rosaces. Pour les longues spirales d'Archimède ou du papillon, passez à Haute ou Ultra — les échantillons supplémentaires révèlent des détails fins sur les bords de la spirale.
- Les lemniscates ont besoin des deux branches. Comme l'équation \( r^2 = 4\cos 2\theta \) a deux racines carrées, tracez \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \) dans l'équation 1 et \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) dans l'équation 2 pour obtenir les deux lobes.
- Masquez la grille pour l'art de portfolio. Réglez la grille sur « Aucune » avec la palette Néon sur un fond graphite — le résultat ressemble à une impression d'art génératif.
Foire aux questions
Qu'est-ce qu'une équation polaire ?
Une équation polaire définit une courbe comme une relation entre la distance r depuis l'origine et l'angle θ (mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des x positifs). Exemples : r = sin(3θ) trace une rosace à trois pétales ; r = 1 + cos(θ) dessine la cardioïde en forme de cœur ; r = θ spirale vers l'extérieur comme la spirale d'Archimède. Chaque point (r, θ) correspond aux coordonnées cartésiennes via x = r cos θ, y = r sin θ.
Quelles fonctions puis-je utiliser dans l'expression ?
Vous pouvez utiliser sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, exp, log, log2, log10, sqrt, abs, floor, ceil, pow, min et max — toutes les fonctions mathématiques standards. Les constantes pi, e et tau sont disponibles, en plus de la variable theta (vous pouvez également écrire t comme raccourci, et le symbole Unicode θ est converti automatiquement). Toute la trigonométrie est en radians.
Comment écrire une multiplication implicite ?
Le parseur la gère automatiquement : 2cos(3t), 3theta, 2.5pi fonctionnent tous comme prévu — pas besoin de taper l'astérisque * entre un nombre et une lettre ou une parenthèse. Vous pouvez également utiliser l'accent circonflexe ^ pour les puissances, ainsi theta^2 équivaut à theta**2. Cela vous permet de copier des équations à partir de manuels scolaires sans avoir à les réécrire.
Quel est le nombre de pétales pour r = sin(kθ) ?
Pour r = sin(kθ) ou r = cos(kθ) avec un entier k : si k est impair, la rosace a exactement k pétales ; si k est pair, elle a 2k pétales. Ainsi, sin(3θ) donne 3 pétales, sin(4θ) donne 8 pétales et sin(7θ) donne 7 pétales. Cela est dû au fait qu'un r négatif se reflète par rapport à l'origine — un k impair retrace les mêmes pétales tandis qu'un k pair en dessine de nouveaux entre les deux.
Pourquoi ma spirale semble-t-elle tronquée ?
Les spirales d'Archimède et autres spirales non bornées continuent de croître à mesure que θ augmente. La valeur par défaut de 0 à 2π ne capture qu'une seule révolution. Pour une spirale à plusieurs spires, choisissez 0 à 8π ou 0 à 20π dans le menu déroulant de la plage de θ — cela donne à la spirale l'espace nécessaire pour s'enrouler plusieurs fois. Le tracé s'adapte automatiquement pour que toute la courbe s'ajuste au canevas.
Puis-je superposer plusieurs équations ?
Oui. Saisissez une deuxième ou une troisième équation dans les champs de saisie facultatifs. Toutes les courbes sont tracées sur les mêmes axes avec des couleurs distinctes de la palette active. C'est idéal pour comparer sin(3θ) et cos(3θ), tracer les deux moitiés d'une lemniscate ou superposer une rosace à l'intérieur d'une cardioïde pour voir comment elles interagissent.
Que se passe-t-il si mon équation produit un r négatif ?
Un r négatif est mathématiquement valide en coordonnées polaires — il reflète le point par rapport à l'origine. Ainsi, r = -1 à θ = 0 est identique au point r = 1 à θ = π. Le traceur gère cela correctement, c'est pourquoi les limaçons comme r = 1 + 2cos(θ) tracent une boucle intérieure là où r devient négatif.
Comment puis-je exporter le graphique ?
Trois options. Télécharger le SVG donne un fichier vectoriel qui reste net à n'importe quelle taille — parfait pour les diapositives, les affiches, la découpe laser et la broderie. Télécharger le PNG génère une image matricielle haute résolution jusqu'à 1800×1800 pixels, adaptée aux réseaux sociaux ou aux miniatures. Copier le code place le balisage SVG brut dans votre presse-papiers pour l'intégrer dans une page web ou l'envoyer dans un chat.
Pourquoi l'aperçu en direct semble-t-il légèrement différent du résultat final ?
L'aperçu en direct utilise 800 échantillons pour rester réactif à mesure que vous tapez. Le résultat final utilise de 600 à 9 000 échantillons selon le menu déroulant Résolution. Les deux sont mathématiquement équivalents — le nombre d'échantillons plus élevé produit simplement un tracé plus fluide, en particulier sur les courbes serrées comme les rosaces denses et les spirales de papillon.
Ce traceur polaire est-il gratuit ?
Oui. Le Traceur d'équations polaires est gratuit, s'exécute entièrement dans votre navigateur après la soumission du formulaire, ne nécessite aucune inscription et n'appose jamais de filigrane sur l'exportation. Utilisez les graphiques dans vos devoirs, articles, diapositives et projets commerciaux sans restriction.
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par l'équipe MiniWebtool. Mis à jour : 2026-05-21
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