Résolveur de Problèmes de Taux de Travail

Le Résolveur de Problèmes de Taux de Travail couvre les cinq problèmes de type « A et B travaillant ensemble » les plus courants en un seul endroit : le problème classique de temps combiné, le problème du travailleur manquant où vous connaissez un travailleur et le temps de l'équipe mais pas l'autre travailleur, le problème de temps net de tuyau de remplissage vs tuyau de vidange, le problème des quarts alternés où deux travailleurs se relaient, et le problème d'achèvement partiel où un travailleur commence seul et l'autre le rejoint à mi-chemin. Saisissez les temps solo dans l'unité de votre choix — heures, minutes, jours ou secondes — et le solveur applique la loi d'addition des taux, détaille l'algèbre étape par étape en LaTeX, et affiche une visualisation animée en double camembert avec une part par travailleur qui croît proportionnellement au taux de ce dernier.

Comment utiliser ce solveur

1. Choisissez le scénario qui correspond à votre problème dans le menu déroulant — ensemble, travailleur manquant, remplissage vs vidange de tuyau, quarts alternés ou A solo puis B rejoint.
2. Choisissez l'unité de temps (heures, minutes, jours ou secondes). Toutes les entrées utilisent la même unité.
3. Saisissez le temps solo de chaque travailleur. Pour le cas du travailleur manquant, saisissez également le temps ensemble. Pour les tuyaux, saisissez les temps de remplissage et de vidange. Pour les quarts alternés, saisissez la durée du quart et qui commence. Pour l'achèvement partiel, saisissez la durée pendant laquelle A travaille seul avant que B ne le rejoigne.
4. Cliquez sur Résoudre. La valeur principale affichée est la quantité manquante — temps combiné, temps solo de B, temps de remplissage net, temps total écoulé ou temps total du projet.
5. Regardez le graphique en double camembert se remplir proportionnellement au taux de chaque travailleur et lisez l'explication étape par étape au format LaTeX.

Les cinq formules d'un coup d'œil

La loi d'addition des taux (l'idée clé)

Chaque problème de taux de travail se réduit à une identité : les taux s'additionnent lorsque les travailleurs coopèrent, mais pas les temps. Si A termine un travail complet en \( T_A \), alors A effectue \( 1/T_A \) du travail par unité de temps. Deux travailleurs contribuent indépendamment leurs fractions par unité de temps :

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Chaque scénario dans ce calculateur n'est qu'une inconnue différente dans cette même équation :

• Ensemble — résoudre pour \( T \) étant donnés \( T_A \) et \( T_B \).
• Manquant — résoudre pour \( T_B \) étant donnés \( T_A \) et le temps ensemble \( T \).
• Tuyau — inverser le signe d'un terme : \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Alterné — diviser le temps en cycles A+B, chaque cycle effectue \( L(r_A+r_B) \) du travail.
• Partiel — diviser la chronologie : A solo, puis ensemble.

Exemple pratique : deux peintres

Le peintre A peut finir un mur en 6 heures. Le peintre B peut faire le même mur en 4 heures. Combien de temps prennent-ils en travaillant ensemble ?

1. Taux de A : \( r_A = 1/6 \) mur par heure.
2. Taux de B : \( r_B = 1/4 \) mur par heure.
3. Taux combiné : \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) mur par heure.
4. Temps combiné : \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 \) heures = 2 heures 24 minutes.
5. Notez : la réponse (2,4 h) est inférieure à 4 h et 6 h — l'ajout d'un deuxième travailleur ne peut qu'accélérer la tâche.

Exemple pratique : assistant manquant

Vous savez que A seul prend 5 heures. Avec un assistant inconnu B, l'équipe finit en 2 heures. Combien de temps B prendrait-il seul ?

1. Taux combiné : \( r_T = 1/2 = 0,5 \) travail par heure.
2. Taux de A : \( r_A = 1/5 = 0,2 \) travail par heure.
3. Soustraction : \( r_B = 0,5 - 0,2 = 0,3 \) travail par heure.
4. Temps solo de B : \( T_B = 1/0,3 \approx 3,33 \) heures.

Exemple pratique : tuyau de remplissage vs vidange

Un tuyau de remplissage remplit un réservoir en 5 heures. Un tuyau de vidange vide le même réservoir en 8 heures. Les deux sont ouverts. Combien de temps jusqu'à ce que le réservoir soit plein ?

1. Taux de remplissage : \( r_f = 1/5 = 0,20 \) réservoir par heure.
2. Taux de vidange : \( r_d = 1/8 = 0,125 \) réservoir par heure.
3. Taux net : \( r_{net} = 0,20 - 0,125 = 0,075 \) réservoir par heure.
4. Temps pour remplir : \( T = 1/0,075 \approx 13,33 \) heures = 13 h 20 min.
5. Vérification de cohérence : le remplissage seul est de 5 h ; avec la vidange qui s'y oppose, le temps fait plus que doubler. Si la vidange était plus rapide que le remplissage, le réservoir ne se remplirait jamais.

Exemple pratique : quarts alternés d'une heure

A termine une tâche seul en 6 heures. B seul prend 8 heures. Ils se relaient par quarts d'une heure, A en premier. Combien de temps dure le travail ?

1. Travail par paire de quarts : \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0,2917 \) du travail par paire.
2. Trois paires complètes (6 heures) terminent \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0,875 \) du travail.
3. Reste : 0,125. Le quart suivant de 1 heure de A termine \( 1/6 \approx 0,1667 \), ce qui est supérieur à 0,125, donc A finit pendant son 4e quart.
4. Temps dont A a besoin pour faire les derniers 0,125 : \( 0,125 / (1/6) = 0,75 \) heure.
5. Temps total : \( 6 + 0,75 = 6,75 \) heures = 6 h 45 min.

Exemple pratique : achèvement partiel

A commence un travail seul (temps solo A 6 h). Après 2 heures, B le rejoint (temps solo B 4 h). Combien de temps jusqu'à la fin ?

1. Travail terminé par A seul : \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) du travail.
2. Travail restant : \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Taux combiné : \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) par heure.
4. Temps pour la phase ensemble : \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1,6 \) heures.
5. Total : \( 2 + 1,6 = 3,6 \) heures = 3 h 36 min.

Pièges courants et comment les éviter

• Additionner les temps au lieu des taux — l'erreur d'élève la plus fréquente. Si A prend 6 h et B prend 4 h, la réponse n'est PAS 5 h (la moyenne) ni 10 h (la somme). C'est 2,4 h, trouvé en additionnant les taux.
• Temps ensemble plus court que le travailleur le plus rapide — le temps ensemble doit obligatoirement être inférieur à \( T_A \) et \( T_B \). Si vous obtenez un résultat supérieur, vous avez fait une erreur d'arithmétique.
• Tuyaux qui ne remplissent jamais — si le taux de vidange est supérieur ou égal au taux de remplissage, aucune durée ne pourra remplir le réservoir. Le solveur vous en avertira.
• Mélanger les unités de temps — convertir certaines entrées en minutes et d'autres en heures produit des résultats absurdes. Choisissez une unité au début et utilisez-la partout.
• Quarts alternés : n'oubliez pas le dernier quart partiel — après avoir compté les cycles A+B complets, le travail se finit généralement en milieu de quart. Résolvez exactement ce dernier quart partiel.
• Achèvement partiel : A peut finir avant que B ne rejoigne — si \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A a déjà fini et B ne travaille jamais. Le calculateur gère ce cas automatiquement.

Référence rapide — taux vs temps

Où les problèmes de taux de travail apparaissent-ils dans la vie réelle ?

• Construction et sous-traitance — estimer le temps qu'une équipe de deux prendra lorsque le rythme solo de chaque membre est connu.
• Tuyauterie et plomberie — dimensionner une pompe et un drain de trop-plein pour que le réservoir atteigne un niveau cible dans un temps donné.
• Logiciel et CI — deux exécuteurs de tests fonctionnant en parallèle ; le temps réel correspond au temps du plus lent, mais le débit correspond à la somme des taux.
• Fabrication — plusieurs machines sur la même ligne ; le débit total est la somme des débits par machine.
• Éducation — les problèmes de taux de travail sont un classique du SAT/ACT, du GRE, du GMAT et de la plupart des manuels d'algèbre (chapitre sur les équations rationnelles).

Foire aux questions