Calculateur d’Espace Colonne
Trouvez l’image d’une matrice avec le calculateur d’espace colonne de MiniWebtool. La réduction par lignes repère les colonnes pivots, puis les colonnes correspondantes de la matrice d’origine forment une base ; le rang, la nullité et les opérations détaillées expliquent le résultat.
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Saisissez une matrice pour obtenir une base de son espace des colonnes, le rang et la dimension, avec chaque étape de réduction par lignes et les colonnes pivots mises en évidence.
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Calculateur d’Espace Colonne
Le Calculateur d'Espace Colonne trouve l'espace colonne (également appelé image) de n'importe quelle matrice en effectuant une réduction de ligne vers la forme échelonnée réduite (RREF). Il identifie les colonnes pivots, extrait les vecteurs de base correspondants de la matrice d'origine, et calcule le rang et la nullité. Le lecteur étape par étape affiche chaque opération sur les lignes — échanges, mise à l'échelle et élimination — afin que vous puissiez suivre l'intégralité du processus. Pour les matrices 2D et 3D, une visualisation interactive montre l'espace colonne sous forme de droite, de plan ou d'espace complet.
En bref
Le Calculateur d’Espace Colonne détermine l’espace des colonnes d’une matrice en la réduisant à sa forme échelonnée réduite. Il renvoie une base formée des colonnes pivots d’origine, ainsi que le rang, la nullité et chaque opération sur les lignes.
| Fonctionnalité | Ce que vous obtenez | Idéal pour |
|---|---|---|
| Taille de la matrice | Choisissez les lignes et les colonnes, jusqu’à 6×6, puis saisissez un nombre dans chaque cellule. | Devoirs d’algèbre linéaire avec des matrices jusqu’à 6×6 |
| Vecteurs de base | Les colonnes pivots sont trouvées dans la forme échelonnée réduite. Les colonnes correspondantes de la matrice d’origine forment une base. | Décrire l’espace engendré par un ensemble de vecteurs colonnes |
| Rang et nullité | Le rang est le nombre de colonnes pivots et la nullité le nombre de variables libres. La décomposition rang-nullité est affichée. | Vérifier que rang plus nullité égale le nombre de colonnes |
| Lecteur d’étapes | Joue chaque échange de lignes, mise à l’échelle et élimination, avec des boutons premier, précédent, suivant, dernier et lecture. | Suivre la réduction des lignes une étape à la fois |
| Vue géométrique | Pour les matrices 2D et 3D, l’espace des colonnes est tracé comme une droite, un plan ou l’espace entier. | Se représenter ce qu’engendrent les colonnes |
| Exemples rapides | Matrices prédéfinies : rang 2 (3×3), rang plein 3×3, rang 1 (3×3), rectangulaire 3×4 et colonnes dépendantes. | Voir comment le rang change d’une matrice à l’autre |
Qu'est-ce que l'espace colonne ?
L'espace colonne d'une matrice A (noté Col(A) ou Im(A)) est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de A. En d'autres termes, c'est l'espace engendré par les colonnes :
$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$
L'espace colonne est un sous-espace de \(\mathbb{R}^m\), où m est le nombre de lignes. Sa dimension est égale au rang de la matrice.
Comment trouver l'espace colonne
- Écrire la matrice A — disposez vos vecteurs en colonnes.
- Réduire vers la RREF — appliquez l'élimination de Gauss (échanges de lignes, mise à l'échelle et élimination) jusqu'à ce que la matrice soit sous sa forme échelonnée réduite.
- Identifier les colonnes pivots — les colonnes qui contiennent un 1 dominant (pivot) dans la RREF.
- Extraire la base de la matrice d'origine — les colonnes de la matrice d'origine A situées aux positions des pivots forment une base pour l'espace colonne.
Concepts clés
Espace Colonne vs Espace Ligne vs Espace Nul
| Sous-espace | Définition | Dimension | Appartient à |
|---|---|---|---|
| Espace Colonne (Col A) | Espace engendré par les colonnes de A | rang(A) | ℝm |
| Espace Ligne (Row A) | Espace engendré par les lignes de A | rang(A) | ℝn |
| Espace Nul / Noyau (Null A) | Solutions de Ax = 0 | nullité(A) | ℝn |
| Noyau à gauche | Solutions de ATx = 0 | m − rang(A) | ℝm |
Comment utiliser le Calculateur d'Espace Colonne
- Définir les dimensions — Choisissez le nombre de lignes et de colonnes pour votre matrice (jusqu'à 6×6).
- Saisir les valeurs — Tapez les nombres dans chaque cellule. Utilisez les exemples rapides pour des matrices prédéfinies de différents rangs.
- Calculer — Cliquez sur "Trouver l'Espace Colonne" pour voir l'analyse complète.
- Explorer les résultats — Utilisez le lecteur d'étapes pour observer chaque opération sur les lignes. Examinez les colonnes pivots mises en évidence, les vecteurs de base et la décomposition rang-nullité. Pour les petites matrices, consultez la visualisation géométrique.
Foire aux questions
Qu'est-ce que l'espace colonne d'une matrice ?
L'espace colonne d'une matrice A est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ses vecteurs colonnes. On l'appelle aussi l'image de la matrice. Géométriquement, il représente tous les vecteurs pouvant être atteints en appliquant la transformation matricielle.
Comment trouver l'espace colonne d'une matrice ?
Réduisez la matrice sous sa forme échelonnée réduite (RREF). Identifiez les colonnes pivots dans la RREF. Les colonnes correspondantes de la matrice d'origine forment une base pour l'espace colonne.
Quelle est la relation entre le rang et l'espace colonne ?
Le rang d'une matrice est égal à la dimension de son espace colonne. C'est le nombre de colonnes linéairement indépendantes, ce qui correspond au nombre de colonnes pivots dans la RREF.
Qu'est-ce que le théorème du rang ?
Le théorème du rang stipule que pour une matrice A de dimension m×n, rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes. Le rang est la dimension de l'espace colonne et la nullité est la dimension du noyau.
L'espace colonne peut-il être vide ?
L'espace colonne contient toujours au moins le vecteur nul. Si la matrice est la matrice nulle, l'espace colonne est simplement l'ensemble du vecteur nul. Pour toute matrice non nulle, l'espace colonne est un sous-espace non trivial.
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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-04-12
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