Solveur EDO de Bernoulli

Solveur EDO de Bernoulli

Le Solveur d'EDO de Bernoulli s'attaque à l'une des équations différentielles non linéaires du premier ordre les plus célèbres — l'équation de Bernoulli y' + P(x)y = Q(x)yⁿ — et transforme la dérivation classique des manuels scolaires en une démonstration interactive étape par étape. Il linéarise l'équation via la substitution v = y¹⁻ⁿ, construit le facteur intégrant μ(x) et superpose la courbe de forme fermée résultante sur une solution numérique RK4 et un champ de pentes afin que vous puissiez voir chaque détail en un coup d'œil.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle de Bernoulli ?

Introduite par Jacob Bernoulli en 1695, une équation de Bernoulli est une EDO du premier ordre de la forme

Lorsque n = 0, l'équation est déjà linéaire ; lorsque n = 1, elle est séparable. Pour tout autre n réel, l'équation est non linéaire, mais la substitution classique v = y¹⁻ⁿ la convertit en une EDO linéaire en v, qui peut être résolue avec l'astuce standard du facteur intégrant.

La méthode de Bernoulli en six étapes

À partir de y' + P(x)y = Q(x)yⁿ :

1. Diviser par yⁿ : \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \).
2. Substituer v = y¹⁻ⁿ : notez que \( v' = (1-n)y^{-n}y' \), donc \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. Linéariser : \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — une EDO linéaire du premier ordre en v.
4. Facteur intégrant : \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \), donc \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \).
5. Résoudre pour v(x) : \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \).
6. Substituer en retour : \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \).

Lorsque les intégrales impliquées sont élémentaires, vous obtenez une forme fermée propre ; lorsqu'elles ne le sont pas, le calculateur les évalue numériquement à l'aide de la règle de Simpson pour tracer la courbe de solution.

Cas particuliers gérés automatiquement

Exemple concret — n = 2, Style logistique

Considérons y' + y/x = x·y² avec la condition initiale y(1) = 1. Ici P(x) = 1/x, Q(x) = x, et n = 2, donc 1 − n = −1.

1. Substituer v = y⁻¹ = 1/y. Alors v' = −y⁻²y' et l'équation devient v' − (1/x)v = −x.
2. Facteur intégrant : μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x.
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1. Intégrer : (1/x)·v = −x + C, c'est-à-dire v = −x² + Cx.
4. Appliquer la CI : à x = 1, v = 1/1 = 1, donc 1 = −1 + C ⇒ C = 2. D'où v(x) = −x² + 2x.
5. Substituer en retour : y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x)).

La solution de forme fermée y = 1/(x(2−x)) a des asymptotes verticales à x = 0 et x = 2 — exactement le genre de chose qu'un champ de pentes rend évident en un coup d'œil.

Comment utiliser ce calculateur

1. Remplissez le constructeur d'équation. Tapez P(x) et Q(x) dans les emplacements bleus, et l'exposant n dans la petite case en exposant. La mise en page reflète la forme standard y' + P(x)y = Q(x)yⁿ.
2. Définissez la condition initiale (x₀, y₀) et la plage de tracé [x min, x max]. La plage doit contenir x₀.
3. Cliquez sur Résoudre. Le calculateur détecte si vous êtes dans un cas particulier (n = 0 ou n = 1) et affiche la dérivation correspondante. Sinon, il exécute la substitution complète de Bernoulli en six étapes avec des équations rendues par MathJax.
4. Lisez le graphique. La courbe orange est la solution numérique RK4. La courbe bleue en pointillés est la forme fermée évaluée via le facteur intégrant. Le champ de flèches montre y' partout, ce qui vous permet de visualiser d'autres solutions également.
5. Copiez un CSV des points d'échantillonnage si vous souhaitez importer la trajectoire dans un autre programme.

Conseils, pièges et cas limites

• n non entier nécessite y > 0. Le solveur signale les combinaisons comme n = 1/2 avec y₀ ≤ 0, où yⁿ serait complexe.
• y₀ = 0 est souvent singulier. Toute équation de Bernoulli avec Q ≠ 0 et n > 0 a la solution triviale y ≡ 0, qui n'est généralement pas la branche souhaitée.
• Évitez les explosions de P(x) près de x₀. Les expressions comme 1/x nécessitent x₀ ≠ 0 ; le solveur valide cela avant l'exécution.
• Les exposants élevés (|n| > 20) sont rejetés pour éviter tout dépassement de capacité. En pratique, les équations de Bernoulli avec un n aussi grand n'apparaissent presque jamais dans des problèmes réels.
• Asymptotes verticales. Si RK4 diverge, essayez de rétrécir la plage x du côté de x₀ où la solution reste finie.

Où les équations de Bernoulli apparaissent-elles ?

• Dynamique des populations — l'équation logistique y' = ry(1 − y/K) est une équation de Bernoulli déguisée (n = 2 après réarrangement).
• Cinétique chimique — les réactions autocatalytiques obéissent souvent à y' ∝ y − y².
• Circuits électriques — certains circuits RL à résistance non linéaire donnent une forme de Bernoulli.
• Mécanique des fluides — équations de couche limite après réduction de similitude.
• Modèles épidémiques — la fraction d'individus susceptibles du modèle SIR peut être réduite à une forme de Bernoulli.
• Croissance économique — le modèle de Solow-Swan avec un taux d'épargne constant est une équation de Bernoulli avec n = α.

Foire Aux Questions

Qu'est-ce qu'une équation différentielle de Bernoulli ?

Une équation de Bernoulli est une EDO du premier ordre de la forme y' + P(x)y = Q(x)yⁿ, où P et Q sont des fonctions continues et n est un nombre réel quelconque. C'est un exemple classique d'EDO non linéaire qui peut être transformée en une équation linéaire via la substitution v = y¹⁻ⁿ.

Comment fonctionne la substitution v = y¹⁻ⁿ ?

Multipliez l'équation d'origine par y⁻ⁿ pour que chaque terme en y devienne y¹⁻ⁿ ou y⁻ⁿy'. En posant v = y¹⁻ⁿ, on obtient v' = (1−n)y⁻ⁿy'. La substitution transforme l'équation de Bernoulli en v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x), qui est linéaire en v et soluble avec un facteur intégrant.

Que se passe-t-il lorsque n = 0 ou n = 1 ?

Lorsque n = 0, l'équation est déjà linéaire du premier ordre, aucune substitution n'est donc requise. Lorsque n = 1, la méthode de Bernoulli diviserait par 1 − n = 0, nous le traitons donc séparément : l'équation se réduit à y' = (Q(x) − P(x))·y, qui est séparable avec la solution de forme fermée y = y₀·exp(∫(Q−P) dx).

Les équations de Bernoulli peuvent-elles toujours être résolues sous forme fermée ?

En principe oui, mais les intégrales résultantes impliquant le facteur intégrant peuvent ne pas avoir de primitives élémentaires. Dans ce cas, le calculateur les évalue numériquement avec la règle de Simpson et trace la courbe de solution. La méthode elle-même réduit toujours une EDO de Bernoulli à des quadratures.

Pourquoi les y négatifs et les n non entiers posent-ils problème ?

Si n n'est pas un entier, yⁿ est défini comme exp(n·ln y) et n'est réel que pour y > 0. Introduire un y négatif produirait un nombre complexe. Le solveur signale cette situation et demande y₀ > 0 ou un exposant entier pour que la solution reste réelle.

Que montre le champ de vecteurs ?

Le champ de vecteurs est une grille de minuscules segments tangents dont l'angle est égal à y' au point (x, y). Toute courbe de solution est forcée de suivre ces tangentes, de sorte que le champ de pentes permet de voir la forme qualitative de toutes les solutions à la fois, la condition initiale isolant la courbe particulière.

Lectures complémentaires

• Équation différentielle de Bernoulli — Wikipédia
• Facteur intégrant — Wikipédia
• Fonction logistique — Wikipédia
• Champ de vecteurs — Wikipédia