Solveur de Problèmes de Pièces
Résolvez pas à pas des problèmes classiques de pièces avec le solveur de MiniWebtool : N pièces totalisant une somme donnée, deux fois plus de pièces de 25 cents que de pièces de 10 cents, des mélanges de trois pièces avec des relations entre les quantités, ou le nombre minimal de pièces pour former un montant. Observez des piles de pièces animées.
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Choisissez ci-dessous la monnaie, les pièces et le type de problème, saisissez les totaux pour obtenir le nombre de pièces de chaque sorte, avec les équations, les étapes et des piles de pièces animées.
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Solveur de Problèmes de Pièces
Les problèmes de pièces sont l'un des moyens les plus courants utilisés par les manuels d'algèbre pour vous apprendre à traduire une phrase telle que "J'ai 20 pièces d'une valeur de 1,40 $ en nickels et dimes" en une paire d'équations que vous pouvez résoudre. Ils semblent inoffensifs, mais ils sont la porte d'entrée vers les systèmes d'équations linéaires, la substitution et l'élimination. Ce solveur couvre tous les modèles courants : nombre plus valeur, ratios de comptage, mélanges de trois pièces avec une relation, et le classique casse-tête du "nombre minimal de pièces pour faire une valeur". Il écrit l'algèbre étape par étape, pour que vous puissiez voir exactement comment les mots deviennent des équations.
En bref
Le Solveur de Problèmes de Pièces résout pas à pas les énigmes de pièces, comme N pièces totalisant un montant donné ou deux fois plus de pièces de vingt-cinq cents que de pièces de dix cents. Il trouve aussi le nombre minimal de pièces qui compose un montant.
| Fonctionnalité | Ce que vous obtenez | Idéal pour |
|---|---|---|
| Quatre types de problèmes | Nombre et valeur, valeur et rapport, mélange de trois pièces avec une relation de nombre, et nombre minimal de pièces pour une valeur cible. | Retrouver la formulation d’un problème de manuel |
| Devises | Pièces américaines, britanniques et en euros avec leurs valeurs standard, plus une liste de valeurs personnalisée pour le problème du nombre minimal de pièces. | Problèmes hors des États-Unis et jeux de pièces inhabituels |
| Relations entre les nombres | Relie deux nombres de pièces par un multiplicateur K (x = K × y) ou un décalage M (x = y + M). | Problèmes du type deux fois plus de pièces de vingt-cinq cents que de pièces de dix cents |
| Méthode du nombre minimal | La programmation dynamique trouve le vrai minimum, même là où la méthode gloutonne échoue. Une comparaison glouton et optimal est affichée. | Problèmes de monnaie comme 1, 3, 4 pour former 6 |
| Étapes algébriques | Affiche les équations, une dérivation pas à pas et une vérification de la réponse. | Apprendre comment les mots deviennent des équations |
| Piles de pièces animées | Des piles de pièces montrent le nombre de chaque valeur dans la solution. | Voir la réponse d’un coup d’œil |
| Exemples préréglés | Boutons pour pièces de cinq et dix cents, pièces de vingt-cinq et dix cents (2×), Trois pièces, Former $0.87 et une énigme en pence britanniques. | Essayer le solveur avec un problème connu |
Ce que vous pouvez résoudre ici
- Nombre + Valeur : "J'ai N pièces de deux dénominations totalisant V dollars. Combien de chaque ?"
- Valeur + Ratio : "J'ai K fois plus de pièces A que de pièces B ; la valeur totale est V. Combien de chaque ?"
- Mélange de trois pièces : "N pièces de trois dénominations totalisent V ; le nombre de pièces C est K fois le nombre de pièces B."
- Minimum de pièces : "Quel est le plus petit nombre de pièces qui font exactement V ?" — résolu par programmation dynamique pour que la réponse soit réellement optimale, même pour les ensembles de dénominations non canoniques où la méthode gloutonne échoue.
Les deux équations universelles
Équation de comptage
\(x + y + z + \dots = N\)
Le nombre de chaque pièce s'additionne pour donner le nombre total de pièces.
Équation de valeur
\(d_1 x + d_2 y + d_3 z + \dots = V\)
La dénomination de chaque pièce multipliée par son nombre, additionnée, égale la valeur totale (en unités mineures).
Relation (optionnelle)
\(x = K y\) ou \(x = y + M\)
De nombreux problèmes ajoutent une troisième équation liant un comptage à un autre.
Comment utiliser ce solveur
- Choisissez un modèle de problème qui correspond à ce que votre manuel (ou votre patron, ou les devoirs de votre enfant) demande.
- Choisissez la devise et les dénominations de pièces spécifiques impliquées.
- Tapez les totaux connus — nombre de pièces, valeur totale et tout ratio ou décalage entre les comptages.
- Cliquez sur "Résoudre le problème de pièces". Le panneau de résultats affiche le nombre de chaque dénomination, des piles de pièces animées, les équations que vous avez configurées et une dérivation étape par étape.
Exemple concret — nickels et dimes
Problème : J'ai 20 pièces totalisant 1,40 $ en nickels et dimes. Combien de chaque ?
Configuration : Soit \(x\) le nombre de dimes et \(y\) le nombre de nickels. Chaque dime vaut 10¢ et chaque nickel vaut 5¢, donc :
- \(x + y = 20\)
- \(10x + 5y = 140\) (cents)
Substituez \(y = 20 - x\) dans la deuxième équation : \(10x + 5(20 - x) = 140\) → \(5x + 100 = 140\) → \(x = 8\). Donc 8 dimes et 12 nickels. Vérification : \(10(8) + 5(12) = 140\) ✓ et \(8 + 12 = 20\) ✓.
Pourquoi le "minimum de pièces" peut être complexe
Pour les pièces US, UK et Euro, l'algorithme glouton — choisir la plus grande pièce qui convient, puis recommencer — donne toujours la réponse optimale. Mais ce n'est pas vrai pour tous les ensembles de dénominations. Le contre-exemple classique est celui des dénominations {1, 3, 4} pour faire 6 : l'algorithme glouton donne 3 pièces (4+1+1) mais l'optimum est 2 pièces (3+3). Ce solveur utilise la programmation dynamique, qui est garantie de trouver le vrai minimum quel que soit l'ensemble de pièces. Activez "Utiliser des dénominations personnalisées" et essayez 1, 3, 4 pour la valeur 6 pour voir la différence en direct.
Dénominations de pièces par devise
| Devise | Pièces standard |
|---|---|
| USD ($) | 1¢ penny, 5¢ nickel, 10¢ dime, 25¢ quarter, 50¢ demi-dollar, 1 $ dollar |
| GBP (£) | 1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1, £2 |
| EUR (€) | 1¢, 2¢, 5¢, 10¢, 20¢, 50¢, €1, €2 |
FAQ
Qu'est-ce qu'un problème de pièces ?
Un problème de pièces décrit une collection de pièces de deux dénominations ou plus en utilisant des phrases sur le nombre total de pièces, la valeur monétaire totale et les ratios entre les comptes de pièces. Il se traduit par un petit système d'équations linéaires que vous pouvez résoudre pour trouver le compte de chaque dénomination.
Comment résoudre "J'ai 20 pièces totalisant 1,40 $ en nickels et dimes" ?
Soit \(x\) le nombre de dimes et \(y\) le nombre de nickels. Alors \(x + y = 20\) et \(10x + 5y = 140\). Soustrayez 5 fois la première équation de la seconde pour obtenir \(5x = 40\), donc \(x = 8\) dimes et \(y = 12\) nickels.
Que signifie "deux fois plus de quarters que de dimes" ?
Cela signifie que le nombre de quarters est égal à deux fois le nombre de dimes. Si vous avez \(d\) dimes, vous avez \(2d\) quarters. Substituez dans l'équation de la valeur totale pour obtenir une équation à variable unique en \(d\), puis résolvez.
Quel est le problème du minimum de pièces ?
Étant donné une valeur cible et un ensemble de dénominations, trouvez le plus petit nombre de pièces dont la somme est exactement la cible. Pour les pièces US, la stratégie gloutonne fonctionne, mais pour les ensembles non canoniques, elle peut être fausse. Le solveur utilise la programmation dynamique pour trouver le vrai minimum à chaque fois.
Pourquoi mon problème n'a-t-il pas de solution en nombres entiers ?
L'algèbre donne une solution réelle unique, mais les comptes de pièces doivent être des nombres entiers. Si le calcul donne une fraction, l'énigme originale est incohérente (les totaux sont impossibles avec ces dénominations). Essayez d'ajuster légèrement la valeur totale ou choisissez des types de pièces différents.
Le solveur supporte-t-il les livres et les euros ?
Oui. Choisissez GBP pour les pièces britanniques (1p à £2) ou EUR pour les pièces en euros (1¢ à €2). Le solveur gère chaque devise nativement, et vous pouvez également activer des dénominations personnalisées pour le scénario du minimum de pièces.
Puis-je l'utiliser pour des énigmes de caisse enregistreuse ou de rendu de monnaie ?
Oui — le scénario du minimum de pièces est exactement le problème du rendu de monnaie. Tapez le montant de la monnaie comme valeur cible et le solveur trouve la manière optimale de rendre cette monnaie.
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par l'équipe MiniWebtool. Mis à jour : 2026-05-11
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