Negativer Binomialverteilungsrechner

Negativer Binomialverteilungsrechner

Der Negativer Binomialverteilungsrechner berechnet exakte Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Fehlschläge (oder Gesamtversuche), die erforderlich sind, um eine Zielanzahl von Erfolgen zu erreichen. Geben Sie die Anzahl der benötigten Erfolge (r), die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (p) und Ihren Zielwert (k) ein, um Punkt- und kumulative Wahrscheinlichkeiten, Schritt-für-Schritt-Lösungen, interaktive Diagramme und eine Visualisierung der Versuchssequenz zu erhalten.

Was ist die negative Binomialverteilung?

Die negative Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Fehlschläge modelliert, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen auftritt. Jeder Versuch hat die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit p. Sie beantwortet Fragen wie „Wie viele erfolglose Verkaufsgespräche werde ich führen, bevor ich meinen 5. Abschluss erziele?“ oder „Wie viele defekte Artikel werde ich prüfen, bevor ich 10 gute finde?“

Die Verteilung hat ihren Namen von der negativen Binomialreihenentwicklung, die bei ihrer Herleitung verwendet wird. Sie verallgemeinert die geometrische Verteilung, die den Spezialfall darstellt, in dem r = 1 (ein Erfolg benötigt) ist.

Zwei gängige Parametrisierungen

Die negative Binomialverteilung hat zwei gleichwertige Formulierungen, die sich darin unterscheiden, was die Zufallsvariable zählt:

• Fehlschlag-Parametrisierung (X): X zählt nur die Fehlschläge vor dem r-ten Erfolg. X kann 0, 1, 2, 3, ... sein. Die PMF ist P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Versuchs-Parametrisierung (Y): Y zählt die Gesamtzahl der Versuche (sowohl Erfolge als auch Fehlschläge) bis zum r-ten Erfolg. Y kann r, r+1, r+2, ... sein. Die Beziehung ist Y = X + r.

Dieser Rechner unterstützt beide. Verwenden Sie den Umschalter, um zwischen der Eingabe von k als Anzahl der Fehlschläge oder als Gesamtzahl der Versuche zu wechseln.

Die Formel der PMF der negativen Binomialverteilung

In der Fehlschlag-Parametrisierung lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF):

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Dabei ist C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) der Binomialkoeffizient. Der Term C(k + r − 1, r − 1) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Fehlschläge und r − 1 Erfolge in den ersten k + r − 1 Versuchen anzuordnen (der letzte Versuch muss ein Erfolg sein). Der Term p^r ist die Wahrscheinlichkeit von r Erfolgen und (1 − p)^k ist die Wahrscheinlichkeit von k Fehlschlägen.

Erwartungswert, Varianz und andere Statistiken

Für die negative binomialverteilte Zufallsvariable X (Fehlschlag-Parametrisierung) mit den Parametern r und p:

• Erwartungswert (Mittelwert): μ = r(1 − p) / p
• Varianz: σ² = r(1 − p) / p²
• Standardabweichung: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Modus: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ wenn r > 1; 0 wenn r = 1
• Schiefe: (2 − p) / √(r(1 − p))

Für die Versuchs-Parametrisierung Y = X + r verschiebt sich der Erwartungswert auf r/p, während die Varianz gleich bleibt.

Beziehung zu anderen Verteilungen

• Geometrische Verteilung: Der Spezialfall mit r = 1. Modelliert die Anzahl der Fehlschläge vor dem ersten Erfolg.
• Binomialverteilung: Während die Binomialverteilung die Anzahl der Versuche festlegt und die Erfolge zählt, legt die negative Binomialverteilung die Anzahl der Erfolge fest und zählt die Versuche/Fehlschläge.
• Poisson-Verteilung: Die negative Binomialverteilung kann als Poisson-Gamma-Mischung betrachtet werden. Wenn r → ∞ und p → 1, während r(1 − p)/p konstant bleibt, nähert sich die negative Binomialverteilung einer Poisson-Verteilung an.

Häufige Anwendungen

• Vertrieb und Marketing — Wie viele Anrufe tätigt ein Verkäufer, bis er seine Zielanzahl an Abschlüssen erreicht, basierend auf einer bekannten Conversion-Rate?
• Qualitätskontrolle — Wie viele Artikel müssen geprüft werden, um eine Zielanzahl konformer Einheiten zu finden?
• Klinische Studien — Wie viele Patienten müssen aufgenommen werden, bevor eine Zielanzahl positiver Reaktionen vorliegt?
• Versicherungen — Modellierung der Anzahl von Schadensfällen, wenn die Varianz den Mittelwert übersteigt (Überdispersion im Vergleich zur Poisson-Verteilung).
• Ökologie — Modellierung von Artenhäufigkeitsdaten, bei denen die Zählungen eine größere Variabilität aufweisen, als ein Poisson-Modell zulässt.
• Sportanalytik — Wie viele Würfe oder Versuche braucht ein Athlet, bis er eine Zielanzahl erfolgreicher Ergebnisse erreicht?

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie r ein, die Anzahl der Erfolge, die Sie erreichen möchten (r ≥ 1).
2. Geben Sie p ein, die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (0 < p ≤ 1).
3. Wählen Sie den Eingabemodus: ob k die Anzahl der Fehlschläge oder die Gesamtzahl der Versuche darstellt.
4. Geben Sie k ein, den spezifischen Wert, für den Sie die Wahrscheinlichkeit finden möchten.
5. Klicken Sie auf „Wahrscheinlichkeit berechnen“, um exakte und kumulative Wahrscheinlichkeiten, kombinatorische Schritt-für-Schritt-Lösungen, eine Visualisierung der Versuchssequenz, PMF/CDF-Diagramme und die vollständige Verteilungstabelle anzuzeigen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen der negativen Binomialverteilung und der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung fixiert die Anzahl der Versuche und zählt die zufällige Anzahl der Erfolge. Die negative Binomialverteilung fixiert die Anzahl der Erfolge und zählt die zufällige Anzahl der Versuche (oder Fehlschläge). Sie beantworten komplementäre Fragen: Die Binomialverteilung fragt „Wie viele Erfolge in n Versuchen?“, während die negative Binomialverteilung fragt „Wie viele Versuche bis zu r Erfolgen?“

Wann sollte ich die negative Binomialverteilung anstelle der Poisson-Verteilung verwenden?

Verwenden Sie die negative Binomialverteilung, wenn Ihre Zähldaten eine Überdispersion aufweisen — also wenn die Varianz größer als der Mittelwert ist. Die Poisson-Verteilung setzt voraus, dass Mittelwert und Varianz gleich sind. Die negative Binomialverteilung verfügt über einen zusätzlichen Parameter, der es ermöglicht, dass die Varianz den Mittelwert übersteigt, was sie zu einer besseren Wahl für viele reale Zähldatensätze macht.

Was bedeutet es, wenn r = 1 ist?

Wenn r = 1 ist, reduziert sich die negative Binomialverteilung auf die geometrische Verteilung, welche die Anzahl der Fehlschläge vor dem ersten Erfolg modelliert. Zum Beispiel die Anzahl der Münzwürfe, die Zahl zeigen, bevor zum ersten Mal Kopf erscheint.

Kann p gleich 0 oder 1 sein?

Die Wahrscheinlichkeit p muss strikt größer als 0 sein. Wenn p = 0 ist, ist ein Erfolg unmöglich, sodass Sie unendlich viele Versuche benötigen würden. Wenn p = 1 ist, ist jeder Versuch ein Erfolg, sodass es immer 0 Fehlschläge gibt und die Verteilung degeneriert ist (die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse liegt bei k = 0). Dieser Rechner akzeptiert p = 1 als Spezialfall.

Wie wird die negative Binomialverteilung in der Regression verwendet?

Die negative Binomialregression ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Regression, die verwendet wird, wenn Zähldaten eine Überdispersion aufweisen. Sie fügt einen Dispersionsparameter hinzu, der es ermöglicht, dass die bedingte Varianz den bedingten Mittelwert übersteigt. Häufige Anwendungen sind die Modellierung von Krankenhausbesuchen, Verkehrsunfallhäufigkeiten und Artenreichtumsdaten.