Calculateur Règle de Cramer
Résolvez des systèmes de 2 ou 3 équations linéaires avec la règle de Cramer. Entrez les coefficients, obtenez les calculs de déterminants étape par étape avec visualisation matricielle animée et interprétation géométrique.
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Calculateur Règle de Cramer
Le calculateur de la règle de Cramer résout des systèmes de 2 ou 3 équations linéaires à l'aide de déterminants. Entrez la matrice des coefficients et le vecteur des constantes, et obtenez la solution complète avec des calculs de déterminants étape par étape, une visualisation matricielle animée montrant le remplacement des colonnes, et un graphique d'interprétation géométrique pour les systèmes 2×2. La règle de Cramer est une technique fondamentale en algèbre linéaire qui exprime chaque variable comme un rapport de deux déterminants.
What Is Cramer's Rule?
La règle de Cramer est un théorème d'algèbre linéaire qui fournit une formule explicite pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues, à condition que le système ait une solution unique. Nommée d'après le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704–1752), la règle utilise des déterminants pour exprimer chaque variable sous forme de rapport :
$$x_i = \frac{D_i}{D}$$
where \(D\) is the determinant of the coefficient matrix and \(D_i\) is the determinant formed by replacing the \(i\)-th column of the coefficient matrix with the constants vector.
Key Concepts
Cramer's Rule Formulas
For a 2×2 System
Given the system:
$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$
| Determinant | Formula | Description |
|---|---|---|
| \(D\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\) | Coefficient matrix determinant |
| \(D_x\) | \(\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\) | Replace x-column with constants |
| \(D_y\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\) | Replace y-column with constants |
Solution: \(x = D_x / D\), \(y = D_y / D\)
For a 3×3 System
The determinant of a 3×3 matrix is computed using cofactor expansion along the first row. Each \(D_i\) is formed by replacing the corresponding column with the constants vector, and the solution is \(x_i = D_i / D\).
When Does Cramer's Rule Work?
| Condition | D Value | Result |
|---|---|---|
| Unique solution | D ≠ 0 | Each variable = D_i / D |
| No solution (inconsistent) | D = 0, some D_i ≠ 0 | Lines/planes are parallel |
| Infinitely many solutions | D = 0, all D_i = 0 | Equations are dependent |
Cramer's Rule vs. Other Methods
| Method | Best For | Limitation |
|---|---|---|
| Cramer's Rule | Small systems (2×2, 3×3), exact symbolic solutions | Slow for large systems (n! complexity) |
| Gaussian Elimination | General systems, large matrices | No closed-form formula |
| Matrix Inverse | Multiple right-hand sides | Requires D ≠ 0, expensive to compute |
| LU Decomposition | Repeated solving, numerical stability | More complex to implement |
How to Use the Cramer's Rule Calculator
- Choisir la taille du système : Sélectionnez 2×2 ou 3×3 selon le nombre d'équations et d'inconnues que vous avez.
- Entrer les coefficients : Remplissez la matrice des coefficients à gauche. Chaque ligne correspond à une équation, et chaque colonne à une variable (x, y, z).
- Entrer les constantes : Remplissez le vecteur des constantes à droite (le membre de droite de chaque équation).
- Cliquer sur Résoudre : Le calculateur calcule tous les déterminants (D, D_x, D_y, et éventuellement D_z), détermine le type de solution, et affiche le processus étape par étape avec une visualisation matricielle animée.
Real-World Applications
| Field | Application | Example |
|---|---|---|
| Engineering | Circuit analysis (Kirchhoff's laws) | Finding currents in a resistor network |
| Economics | Market equilibrium | Supply and demand intersection |
| Physics | Force balance | Finding reaction forces in statics |
| Chemistry | Balancing equations | Stoichiometric coefficients |
| Computer Graphics | Coordinate transformations | Line/plane intersection points |
FAQ
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by miniwebtool team. Updated: 2026-04-12
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