Calculateur de Forme Normale de Jordan

Calculateur de Forme Normale de Jordan

Le Calculateur de Forme Normale de Jordan produit la forme canonique de Jordan J d'une matrice carrée A ainsi qu'une matrice de passage inversible P satisfaisant la relation de similitude P⁻¹AP = J. Contrairement à la diagonalisation, qui échoue pour les matrices défectueuses, la forme de Jordan existe pour toute matrice carrée sur un corps algébriquement clos — elle remplace la représentation diagonale par une suite de blocs de Jordan, chacun étant une matrice presque diagonale contenant une valeur propre sur la diagonale et des 1 sur la sur-diagonale. Cet outil calcule tout avec une arithmétique rationnelle exacte, de sorte que les matrices J et P résultantes sont prouvées correctes — aucun arrondi en virgule flottante n'est impliqué.

Qu'est-ce que la Forme Normale de Jordan ?

Étant donné une matrice A n × n sur les nombres complexes, la forme normale de Jordan J est une matrice diagonale par blocs

où chaque bloc de Jordan J_k(λ) est une matrice k × k avec λ sur la diagonale, des 1 sur la sur-diagonale et des zéros ailleurs :

Les valeurs propres λ_i peuvent se répéter d'un bloc à l'autre ; ce qui importe est le modèle des tailles de blocs, qui est un invariant de similitude complet de A.

Pourquoi avons-nous besoin de la forme de Jordan alors que nous avons la diagonalisation ?

Toute matrice carrée n'est pas forcément diagonalisable. Une matrice ne peut pas être diagonalisée lorsque certaines valeurs propres ont moins de vecteurs propres indépendants que leur multiplicité algébrique — on dit que la matrice est défectueuse. La forme de Jordan comble cet écart en introduisant des vecteurs propres généralisés, produisant une forme canonique qui fonctionne pour chaque matrice.

Concepts clés

Multiplicité algébrique vs géométrique

La multiplicité algébrique d'une valeur propre λ est la multiplicité de λ en tant que racine du polynôme caractéristique p_A(λ) = det(λI − A). La multiplicité géométrique est la dimension de l'espace propre, ou de manière équivalente dim ker(A − λI). Le nombre de blocs de Jordan associés à λ est égal à sa multiplicité géométrique, et la taille totale de ces blocs est égale à sa multiplicité algébrique.

Vecteurs propres généralisés et chaînes

Un vecteur v est un vecteur propre généralisé de rang k pour la valeur propre λ si (A − λI)^kv = 0 mais (A − λI)^k−1v ≠ 0. L'application de N = (A − λI) à un vecteur propre généralisé de rang k en produit un de rang k−1, on obtient ainsi une chaîne de Jordan :

Placer la chaîne dans l'ordre v₁, v₂, …, v_k comme colonnes de P produit un bloc de Jordan de taille k dans les lignes/colonnes correspondantes de J.

L'échelle des noyaux et le comptage des blocs

Pour chaque valeur propre λ, définissons la suite croissante d_k = dim ker((A − λI)^k). La suite est non décroissante, se stabilisant à la multiplicité algébrique de λ. Le nombre de blocs de Jordan de chaque taille est extrait de cette échelle :

Il s'agit d'un comptage par diagramme de Young et il est exact — aucune conjecture n'est nécessaire. Le calculateur affiche cette échelle pour chaque valeur propre afin que vous puissiez suivre la décomposition étape par étape.

Polynôme minimal

Le polynôme minimal m_A(λ) est le polynôme unitaire de plus bas degré qui satisfait m_A(A) = 0. Une fois que vous avez la forme de Jordan, sa lecture est triviale :

Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal n'a pas de racines multiples, c'est-à-dire que chaque bloc de Jordan a une taille de 1.

Comment fonctionne ce calculateur

1. Analyse de la matrice — les entrées entières, fractionnaires (ex: 1/2) ou décimales sont toutes acceptées et converties en rationnels exacts (fractions.Fraction).
2. Calcul du polynôme caractéristique à l'aide de l'algorithme de Faddeev–LeVerrier, qui évite le développement symbolique du déterminant et s'exécute en temps O(n⁴) avec une arithmétique exacte.
3. Recherche des valeurs propres rationnelles via le théorème des racines rationnelles — chaque racine rationnelle p/q d'un polynôme entier primitif satisfait p ∣ terme constant et q ∣ coefficient dominant. Chaque racine trouvée est divisée et la recherche se répète.
4. Construction de l'échelle des noyaux pour chaque valeur propre λ en calculant dim ker((A − λI)^k) avec RREF rationnelle jusqu'à ce que la suite se stabilise à la multiplicité algébrique.
5. Sélection des vecteurs de tête de chaîne du plus grand noyau vers le plus petit, en étendant la base chaque fois qu'un nouveau bloc de Jordan est requis. Chaque tête de chaîne est ensuite multipliée à plusieurs reprises par (A − λI) pour obtenir ses vecteurs de chaîne.
6. Assemblage de J et P en regroupant les chaînes par valeur propre (blocs de plus grande taille en premier), en plaçant les vecteurs de chaîne comme colonnes de P et en remplissant J avec les valeurs propres et les 1 sur la sur-diagonale.
7. Vérification exacte que P⁻¹ A P = J en utilisant l'arithmétique entière — le résultat est garanti car tous les calculs intermédiaires sont rationnels.

Exemple détaillé

Considérons la matrice défectueuse 3 × 3

• Polynôme caractéristique : \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Valeur propre unique λ = 5 avec multiplicité algébrique 3.
• Échelle des noyaux pour λ = 5 : \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Les incréments sont 1, 1, 1 → un seul bloc de Jordan de taille 3.
• Forme de Jordan : \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), avec multiplicité géométrique 1 et indice 3.
• Polynôme minimal : \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — identique au polynôme caractéristique car il n'y a qu'un seul bloc de Jordan.

Applications de la forme normale de Jordan

• Exponentielles de matrices et EDO linéaires — pour un système à coefficients constants x′ = Ax, la solution sous forme fermée est \(e^{tA}x_0\), et \(e^{tA}\) est simple à calculer une fois que A est écrite sous forme de Jordan.
• Puissances d'une matrice — \(A^k = P J^k P^{-1}\), et les blocs de Jordan admettent des formules explicites pour leurs puissances.
• Calcul fonctionnel — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) se généralise à n'importe quelle fonction analytique f, à condition que f soit définie sur un voisinage du spectre.
• Théorie du contrôle — la stabilité des systèmes linéaires est régie par les valeurs propres et les tailles des blocs de Jordan (les cas limites nécessitent de regarder le plus grand bloc pour une valeur propre marginale).
• Classification des opérateurs linéaires — deux matrices sont semblables si et seulement si elles partagent la même forme de Jordan, la forme est donc un invariant complet.

Foire aux questions

Qu'est-ce que la forme normale de Jordan d'une matrice ?

La forme normale de Jordan (également appelée forme canonique de Jordan) est une matrice presque diagonale J semblable à la matrice originale A, ce qui signifie qu'il existe une matrice inversible P avec P⁻¹AP = J. La diagonale de J contient les valeurs propres de A, et juste au-dessus de la diagonale se trouvent des 1 qui apparaissent à l'intérieur des blocs de Jordan chaque fois que A n'est pas diagonalisable. Toute matrice carrée sur les nombres complexes a une forme normale de Jordan, unique à l'ordre des blocs près.

Quand une matrice n'est-elle pas diagonalisable ?

Une matrice n'est pas diagonalisable lorsqu'au moins une valeur propre a moins de vecteurs propres linéairement indépendants que sa multiplicité algébrique — l'écart est comblé par des blocs de Jordan de taille 2 ou plus. De même, une matrice n'est pas diagonalisable lorsque son polynôme minimal possède une racine multiple. De telles matrices sont dites défectueuses.

Comment sont définis les vecteurs propres généralisés ?

Un vecteur propre généralisé de rang k pour la valeur propre λ est un vecteur non nul v tel que (A − λI)^kv = 0 mais (A − λI)^k−1v est non nul. L'application de (A − λI) à un vecteur propre généralisé de rang k donne un vecteur de rang k−1, produisant une chaîne. Ces chaînes forment les colonnes de la matrice de passage P dans la décomposition de Jordan.

Quelle est la différence entre multiplicité algébrique et géométrique ?

La multiplicité algébrique d'une valeur propre λ est le nombre de fois qu'elle apparaît comme racine du polynôme caractéristique. La multiplicité géométrique est la dimension de son espace propre — le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants. La multiplicité géométrique est égale au nombre de blocs de Jordan pour λ, tandis que la multiplicité algébrique est égale à la taille totale de tous ces blocs. Des multiplicités égales signifient que la valeur propre ne contribue qu'à des blocs de taille 1.

Comment ce calculateur trouve-t-il les tailles des blocs de Jordan ?

Pour chaque valeur propre λ, le calculateur calcule les dimensions d_k = dim ker((A − λI)^k) pour k = 1, 2, … jusqu'à ce que la suite se stabilise à la multiplicité algébrique. Le nombre de blocs de Jordan de taille au moins k est égal à d_k − d_k−1. La soustraction des termes consécutifs donne le nombre exact de blocs de chaque taille. Ce calcul par diagramme de Young est exact et utilise l'arithmétique rationnelle partout.

Le calculateur gère-t-il les matrices avec des valeurs propres irrationnelles ou complexes ?

Le calculateur utilise une arithmétique rationnelle exacte, ce qui nécessite que les valeurs propres soient des nombres rationnels. Lorsque le polynôme caractéristique a des facteurs qui ne se décomposent pas sur les rationnels, l'outil affiche des valeurs propres complexes approximées numériquement pour le facteur restant mais ne produit pas la forme de Jordan complète, car l'arithmétique exacte est essentielle pour déterminer correctement les tailles de blocs. Redimensionnez ou modifiez votre matrice pour que toutes les valeurs propres soient rationnelles afin d'obtenir la décomposition de Jordan complète.

Qu'est-ce que le polynôme minimal et comment est-il calculé ici ?

Le polynôme minimal m(λ) est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule A, ce qui signifie m(A) = 0. Il est égal au produit sur les valeurs propres distinctes λ de (λ − λ_i)^index_i, où l'indice est la taille du plus grand bloc de Jordan pour la valeur propre λ_i. Ce calculateur lit l'indice directement à partir de la structure de bloc calculée, de sorte que le polynôme minimal est un sous-produit gratuit de la décomposition de Jordan.

Lectures complémentaires

• Réduction de Jordan — Wikipédia
• Vecteur propre généralisé — Wikipédia (EN)
• Polynôme minimal — Wikipédia
• Algorithme de Faddeev–LeVerrier — Wikipédia (EN)