เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามลบ

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามลบ

เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามลบจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แม่นยำสำหรับจำนวนความล้มเหลว (หรือจำนวนการทดลองทั้งหมด) ที่จำเป็นก่อนที่จะบรรลุเป้าหมายจำนวนความสำเร็จที่ต้องการ ใส่จำนวนความสำเร็จที่ต้องการ (r), ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละการทดลอง (p) และค่าเป้าหมายของคุณ (k) เพื่อรับค่าความน่าจะเป็นรายจุดและแบบสะสม, วิธีแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอน, แผนภูมิเชิงโต้ตอบ และภาพแสดงลำดับการทดลอง

การแจกแจงทวินามลบคืออะไร?

การแจกแจงทวินามลบเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่จำลองจำนวนความล้มเหลวก่อนที่จำนวนความสำเร็จที่ระบุจะเกิดขึ้นในลำดับของการทดลอง Bernoulli ที่เป็นอิสระต่อกัน โดยการทดลองแต่ละครั้งจะมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p เท่ากัน ตัวอย่างเช่น การตอบคำถามเช่น "ฉันจะถูกปฏิเสธกี่ครั้งก่อนที่จะปิดการขายครั้งที่ 5 ได้?" หรือ "ฉันจะต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้นจึงจะพบสินค้าดีครบ 10 ชิ้น?"

การแจกแจงนี้ได้ชื่อมาจากการขยายอนุกรมทวินามลบที่ใช้ในการอนุมานค่า เป็นการขยายรูปแบบจาก การแจกแจงเรขาคณิต ซึ่งเป็นกรณีพิเศษที่ r = 1 (ต้องการความสำเร็จเพียงครั้งเดียว)

พารามิเตอร์ที่ใช้บ่อยสองรูปแบบ

การแจกแจงทวินามลบมีสูตรที่เทียบเท่ากันสองรูปแบบ ซึ่งแตกต่างกันที่สิ่งที่ตัวแปรสุ่มใช้ในการนับ:

• พารามิเตอร์แบบความล้มเหลว (X): X นับเฉพาะความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งที่ r โดย X สามารถเป็น 0, 1, 2, 3, ... สูตร PMF คือ P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k
• พารามิเตอร์แบบการทดลอง (Y): Y นับจำนวนการทดลองทั้งหมด (ทั้งความสำเร็จและความล้มเหลว) จนถึงความสำเร็จครั้งที่ r โดย Y สามารถเป็น r, r+1, r+2, ... ความสัมพันธ์คือ Y = X + r

เครื่องคำนวณนี้รองรับทั้งสองแบบ คุณสามารถใช้ปุ่มสลับเพื่อเลือกระหว่างการใส่ค่า k เป็นจำนวนความล้มเหลวหรือจำนวนการทดลองทั้งหมด

สูตร PMF ของทวินามลบ

ในพารามิเตอร์แบบความล้มเหลว ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นคือ:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

โดยที่ C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) คือสัมประสิทธิ์ทวินาม พจน์ C(k + r − 1, r − 1) จะนับจำนวนวิธีในการจัดเรียงความล้มเหลว k ครั้งและความสำเร็จ r − 1 ครั้งในการทดลอง k + r − 1 ครั้งแรก (การทดลองสุดท้ายต้องเป็นความสำเร็จเสมอ) พจน์ p^r คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จ r ครั้ง และ (1 − p)^k คือความน่าจะเป็นของความล้มเหลว k ครั้ง

ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และสถิติอื่นๆ

สำหรับตัวแปรสุ่มทวินามลบ X (พารามิเตอร์แบบความล้มเหลว) ที่มีพารามิเตอร์ r และ p:

• ค่าเฉลี่ย: μ = r(1 − p) / p
• ความแปรปรวน: σ² = r(1 − p) / p²
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ = √(r(1 − p) / p²)
• ฐานนิยม (Mode): ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ เมื่อ r > 1; และเป็น 0 เมื่อ r = 1
• ความเบ้: (2 − p) / √(r(1 − p))

สำหรับพารามิเตอร์แบบการทดลอง Y = X + r ค่าเฉลี่ยจะเปลี่ยนเป็น r/p ส่วนความแปรปรวนยังคงเท่าเดิม

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงอื่นๆ

• การแจกแจงเรขาคณิต: กรณีพิเศษที่ r = 1 ใช้จำลองจำนวนความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรก
• การแจกแจงทวินาม: ในขณะที่ทวินามจะกำหนดจำนวนการทดลองและนับความสำเร็จ แต่ทวินามลบจะกำหนดจำนวนความสำเร็จและนับจำนวนการทดลอง/ความล้มเหลว
• การแจกแจงปัวซอง: ทวินามลบสามารถมองได้ว่าเป็นส่วนผสมระหว่างปัวซองและแกมมา เมื่อ r → ∞ และ p → 1 ในขณะที่รักษาค่า r(1 − p)/p ให้คงที่ การแจกแจงทวินามลบจะเข้าใกล้การแจกแจงปัวซอง

การประยุกต์ใช้ที่พบบ่อย

• การขายและการตลาด — ต้องโทรหากี่ครั้งพนักงานขายจึงจะปิดการขายได้ตามเป้าหมาย เมื่อทราบอัตราการเปลี่ยนเป็นยอดขาย?
• การควบคุมคุณภาพ — ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้นเพื่อให้พบจำนวนสินค้าที่ได้มาตรฐานตามที่กำหนด?
• การทดลองทางคลินิก — ต้องรับผู้ป่วยเข้าร่วมโครงการกี่คนเพื่อให้ได้จำนวนการตอบสนองเชิงบวกตามเป้าหมาย?
• การประกันภัย — การจำลองจำนวนการเคลมเมื่อความแปรปรวนสูงกว่าค่าเฉลี่ย (overdispersion เมื่อเทียบกับปัวซอง)
• นิเวศวิทยา — การจำลองข้อมูลความหนาแน่นของสายพันธุ์ที่มีความแปรปรวนมากกว่าที่แบบจำลองปัวซองจะรับรองได้
• การวิเคราะห์กีฬา — ต้องพยายามกี่ครั้งนักกีฬาจึงจะบรรลุจำนวนผลลัพธ์ที่สำเร็จตามเป้าหมาย?

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. ใส่ค่า r ซึ่งเป็นจำนวนความสำเร็จที่คุณต้องการบรรลุ (r ≥ 1)
2. ใส่ค่า p ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง (0 < p ≤ 1)
3. เลือก โหมดการนำเข้าข้อมูล: ว่าค่า k จะแสดงถึงจำนวนความล้มเหลวหรือจำนวนการทดลองทั้งหมด
4. ใส่ค่า k ซึ่งเป็นค่าเฉพาะที่คุณต้องการหาความน่าจะเป็น
5. คลิก "คำนวณความน่าจะเป็น" เพื่อดูความน่าจะเป็นแบบแม่นยำและแบบสะสม, วิธีแก้ปัญหาแบบคอมบิเนทอริกทีละขั้นตอน, ภาพแสดงลำดับการทดลอง, แผนภูมิ PMF/CDF และตารางการแจกแจงฉบับเต็ม

คำถามที่พบบ่อย

ความแตกต่างระหว่างการแจกแจงทวินามและการแจกแจงทวินามลบคืออะไร?

การแจกแจงทวินามจะกำหนดจำนวนการทดลองและนับจำนวนความสำเร็จที่สุ่มได้ ส่วนการแจกแจงทวินามลบจะกำหนดจำนวนความสำเร็จและนับจำนวนการทดลอง (หรือความล้มเหลว) ที่สุ่มได้ ทั้งคู่ตอบคำถามที่เสริมกัน: ทวินามถามว่า "มีความสำเร็จกี่ครั้งในการทดลอง n ครั้ง?" ส่วนทวินามลบถามว่า "ต้องทดลองกี่ครั้งเพื่อให้ได้ความสำเร็จ r ครั้ง?"

เมื่อใดที่ควรใช้ทวินามลบแทนการแจกแจงปัวซอง?

ใช้ทวินามลบเมื่อข้อมูลการนับของคุณแสดง ความแปรปรวนที่สูงเกินไป (overdispersion) — นั่นคือเมื่อความแปรปรวนมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ย เนื่องจากการแจกแจงปัวซองสมมติให้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน ส่วนทวินามลบมีพารามิเตอร์พิเศษที่ช่วยให้ความแปรปรวนสูงกว่าค่าเฉลี่ยได้ ทำให้เหมาะสมกับชุดข้อมูลการนับในโลกแห่งความเป็นจริงหลายประเภท

หมายความว่าอย่างไรเมื่อ r = 1?

เมื่อ r = 1 การแจกแจงทวินามลบจะลดรูปกลายเป็นการ แจกแจงเรขาคณิต ซึ่งจำลองจำนวนความล้มเหลวก่อนที่จะสำเร็จครั้งแรก ตัวอย่างเช่น จำนวนครั้งที่เหรียญออกก้อยก่อนที่จะออกหัวครั้งแรก

p สามารถเท่ากับ 0 หรือ 1 ได้หรือไม่?

ความน่าจะเป็น p ต้องมีค่ามากกว่า 0 เสมอ หาก p = 0 ความสำเร็จจะเป็นไปไม่ได้ และคุณจะต้องใช้การทดลองจำนวนอนันต์ หาก p = 1 ทุกการทดลองคือความสำเร็จ ดังนั้นจะมีความล้มเหลว 0 ครั้งเสมอ และการแจกแจงจะเป็นแบบลดรูป (degenerate โดยความน่าจะเป็นทั้งหมดอยู่ที่ k = 0) เครื่องคำนวณนี้ยอมรับ p = 1 เป็นกรณีพิเศษ

การแจกแจงทวินามลบถูกใช้ในการถดถอย (Regression) อย่างไร?

การถดถอยทวินามลบเป็นรูปแบบทั่วไปของการถดถอยปัวซองที่ใช้เมื่อข้อมูลการนับแสดงความแปรปรวนสูงเกินไป โดยจะเพิ่มพารามิเตอร์การกระจายตัวที่ยอมให้ความแปรปรวนตามเงื่อนไขมีค่าสูงกว่าค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไข การประยุกต์ใช้ทั่วไป ได้แก่ การจำลองจำนวนครั้งที่มาโรงพยาบาล, ความถี่ของอุบัติเหตุจราจร และข้อมูลความหนาแน่นของสายพันธุ์สิ่งมีชีวิต