Calculateur de Distribution de Weibull
Calculez les probabilités de la distribution de Weibull, la fiabilité R(t), le taux de risque h(t) et les percentiles de durée de vie B. Entrez la forme β et l'échelle η pour obtenir la PDF, la CDF, la moyenne, la variance, la MTTF et des solutions étape par étape avec des graphiques interactifs montrant le comportement de la courbe en baignoire.
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Calculateur de Distribution de Weibull
Le Calculateur de Distribution de Weibull calcule les probabilités, la fiabilité, les taux de risque et les statistiques clés pour la distribution de Weibull \(X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)\). Saisissez le paramètre de forme \(\beta\) et le paramètre d'échelle \(\eta\), et obtenez la probabilité de défaillance \(F(x)\), la fiabilité \(R(x)\), la fonction de risque \(h(x)\), les centiles de vie B, ainsi qu'une solution étape par étape avec des graphiques interactifs PDF, CDF et de fonction de risque. Cet outil est essentiel pour l'ingénierie de la fiabilité, l'analyse de survie et la modélisation des données de durée de vie.
Qu'est-ce que la distribution de Weibull ?
La distribution de Weibull est une distribution de probabilité continue nommée d'après le mathématicien suédois Waloddi Weibull. C'est la distribution la plus largement utilisée dans l'ingénierie de la fiabilité et l'analyse des données de survie car son paramètre de forme \(\beta\) lui permet de modéliser trois comportements de défaillance distincts : taux de défaillance décroissant (mortalité infantile), taux de défaillance constant (défaillances aléatoires) et taux de défaillance croissant (usure). La fonction de densité de probabilité est :
$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$
Le paramètre de forme β et la courbe en baignoire
Le paramètre de forme \(\beta\) (bêta) détermine le comportement du taux de défaillance et se rapporte directement à la courbe en baignoire utilisée en ingénierie de la fiabilité :
Formules clés
| Propriété | Formule | Description |
|---|---|---|
| \(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Densité de probabilité à x | |
| CDF | \(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Probabilité de défaillance au temps x |
| Fiabilité | \(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Probabilité de survie au temps x |
| Risque | \(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\) | Taux de défaillance instantané |
| Moyenne | \(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\) | Temps moyen de bon fonctionnement (MTTF) |
| Variance | \(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\) | Dispersion de la durée de vie |
| Médiane | \(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\) | Vie au 50ème centile |
| Mode | \(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) pour β > 1 | Durée de vie la plus probable |
| Vie B | \(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\) | Temps pour qu'une fraction p échoue |
| Vie char. | \(\eta\) → F(η) = 63,2 % | Interprétation du paramètre d'échelle |
Applications dans le monde réel
| Industrie | Application | β typique |
|---|---|---|
| Aéronautique | Durée de vie en fatigue des aubes de turbine | 2 – 4 |
| Automobile | Analyse de l'usure des roulements | 1,5 – 3 |
| Électronique | Mortalité infantile des semi-conducteurs | 0,3 – 0,8 |
| Systèmes énergétiques | Distribution de la vitesse du vent | 1,5 – 3 |
| Dispositifs médicaux | Temps de survie des implants | 1,5 – 5 |
| Fabrication | Planification de garantie et vie B10 | 1,5 – 4 |
| Génie civil | Résistance du béton et des matériaux | 5 – 20 |
Weibull vs autres distributions
| Caractéristique | Weibull | Exponentielle | Lognormale |
|---|---|---|---|
| Paramètres | β (forme), η (échelle) | λ (taux) | μ, σ |
| Taux de défaillance | Flexible (↓, →, ↑) | Constant uniquement | Monte puis descend |
| Cas particulier | β=1 → Exponentielle | Weibull β=1 | — |
| Idéal pour | Usure mécanique | Événements aléatoires | Temps de réparation |
| Analyse de vie B | Support natif | Limité | Possible |
Comment utiliser le calculateur de distribution de Weibull
- Saisissez le paramètre de forme β : Il contrôle le comportement du taux de défaillance. Utilisez β < 1 pour la mortalité infantile, β = 1 pour un taux de défaillance constant (exponentielle), ou β > 1 pour les défaillances par usure. Les valeurs courantes vont de 0,5 à 5. Le badge d'information en temps réel vous indique la signification de votre valeur β.
- Saisissez le paramètre d'échelle η : Il s'agit de la vie caractéristique — le moment où 63,2 % des unités ont échoué. Il définit l'échelle de temps de la distribution. Par exemple, si un roulement a un η = 5000 heures, alors 63,2 % des roulements échouent avant 5000 heures.
- Sélectionnez le type de probabilité : Choisissez P(X ≤ x) pour la probabilité de défaillance, R(x) = P(X > x) pour la fiabilité (probabilité de survie), ou P(a ≤ X ≤ b) pour la probabilité d'un intervalle.
- Saisissez la valeur de temps : Saisissez le temps, les cycles ou la valeur d'utilisation. Pour le mode intervalle, saisissez les limites inférieure et supérieure.
- Examinez les résultats : Consultez la probabilité, la barre de probabilité animée, les graphiques interactifs PDF/CDF/fonction de risque, les jalons de fiabilité (MTTF, vie B1, B10), les propriétés de la distribution et la solution complète étape par étape avec les formules MathJax.
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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-04-14
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