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Générateur de Spirographe

Générez des rosettes spirographe classiques : courbes hypotrochoïdes et épitrochoïdes d'un petit cercle roulant dans ou hors d'un grand. Trois stylos superposés, rayons ajustables, export SVG ou PNG.

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L'aperçu se met à jour à mesure que vous modifiez chaque valeur. Cliquez sur Générer pour un dessin haute résolution avec animation de relecture.

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● Motif prêt
Hypotrochoïde raccourcie à 8 pétales Hypotrochoïde — le petit cercle roule à l'intérieur (classique) · Symétrie d'ordre 8 · 1261 points échantillonnés · se referme après 3 révolutions
Hypotrochoïde raccourcie à 8 pétales — Hypotrochoïde — le petit cercle roule à l'intérieur (classique)
Tracé à partir de R = 96, r = 36, d = 30, avec pgcd(R, r) = 12. La courbe possède une symétrie rotationnelle d'ordre 8 et se referme exactement après que le cercle roulant a effectué 3 révolutions.
Rapport R/r : 96:36 1 stylo Arc-en-ciel (spectre complet)
ModeIntérieur
R / r / d96 / 36 / 30
PGCD12
Lobes8
Stylos1
Palette :
Copié ✓
Forme paramétrique de l'hypotrochoïde — le stylo est sur le petit cercle roulant à l'intérieur :
\( x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
\( y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
Avec R = 96, r = 36, d = 30, la courbe se referme après \( t \in [0, 2\pi \cdot 3] \).
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Générateur de Spirographe

Le Générateur de Spirographe simule les courbes que trace un jouet Spirograph classique — de magnifiques rosettes parfaitement symétriques formées lorsqu'un petit cercle roule à l'intérieur (ou à l'extérieur) d'un plus grand cercle fixe pendant qu'un stylo placé sur le petit cercle laisse une trace. L'outil utilise les véritables équations paramétriques des hypotrochoïdes et des épitrochoïdes, calcule la période de boucle exacte à partir du plus grand commun diviseur des deux rayons et vous permet de superposer jusqu'à trois stylos pour un effet mandala. Ajustez trois curseurs, observez la mise à jour de l'aperçu en direct en temps réel, puis exportez la courbe haute résolution au format SVG ou PNG.

Comment fonctionnent réellement les mathématiques du Spirographe

Le cercle gris pointillé est le cercle fixe de rayon R. Le disque violet roule sur sa face interne sans glisser. Un stylo (orange) est monté sur le disque roulant à une distance d de son centre. À mesure que le cercle roulant orbite, le stylo laisse une courbe. L'animation ici montre un cycle complet de dessin en boucle — votre véritable spirographe ci-dessous utilise la même physique.

L'élément clé : la courbe se referme sur elle-même uniquement lorsque l'angle paramétrique revient à un multiple de \( 2\pi \) et que le cercle roulant a également effectué un nombre entier de rotations complètes. Les deux se produisent simultanément après exactement r / pgcd(R, r) orbites du grand angle. C'est pourquoi cet outil calcule d'abord le pgcd(R, r) — cela garantit que l'exportation est mathématiquement fermée sans raccord visible.

Les équations paramétriques

Hypotrochoïde (roule à l'intérieur)

$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

Si \( d = r \), la courbe est une hypocycloïde avec des rebroussements pointus (deltoïde pour 3 rebroussements, astéroïde pour 4). Si \( d < r \), la courbe présente des pétales arrondis (raccourcie). Si \( d > r \), les pétales forment de longues boucles (allongée).

Épitrochoïde (roule à l'extérieur)

$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

Si \( d = r \), la courbe est une épicycloïde avec des rebroussements pointant vers l'extérieur (cardioïde pour un rebroussement, néphroïde pour deux). Si \( d < r \), les boucles sont raccourcies ; si \( d > r \), elles sont allongées.

Ce qui différencie ce Générateur de Spirographe

Fermeture exacte sans raccord La plupart des spirographes en ligne échantillonnent un nombre fixe de révolutions en espérant que les extrémités se rejoignent. Cet outil calcule d'abord r/pgcd(R, r) afin que la plage des paramètres soit mathématiquement exacte — le dernier point retombe sur le premier, à chaque fois, quel que soit l'étrangeté du rapport.
Aperçu en direct pendant vos réglages Le mini-canevas situé à côté du formulaire se redessine à chaque frappe de touche et à chaque changement de curseur. Vous voyez immédiatement l'impact du passage de R de 96 à 97, avant de lancer un rendu complet. Fini le cycle cliquer-attendre-cliquer-attendre.
Mode mandala à trois stylos Choisissez deux ou trois couches de stylos et le même rapport R/r se dessine avec des décalages de stylo plus petits dans des couleurs superposées. Les courbes s'emboîtent comme des pétales dans des pétales — un mandala issu d'un seul ensemble d'entrées, et non un composite assemblé manuellement.
Révélation auto-dessinée Le SVG utilise une animation stroke-dashoffset pour que la courbe se trace sous vos yeux, comme un vrai stylo sur du vrai papier. Cliquez sur Rejouer le dessin pour le regarder à nouveau — parfait pour les salles de classe et les présentations.
Véritable exportation vectorielle L'exportation SVG correspond aux mathématiques d'origine — il ne s'agit pas d'une capture matricielle. Agrandissez-la à la taille d'un panneau publicitaire, envoyez-la à une découpeuse laser ou à une machine à broder, ou glissez-la dans Illustrator ou Inkscape pour d'autres modifications. L'exportation PNG offre un DPI de 2x à 4x pour des diapositives et des publications nettes.
Compteur de lobes intégré Chaque résultat affiche le pgcd, la symétrie de rotation (R/pgcd) et le nombre de révolutions complètes nécessaires pour fermer la courbe. Vous apprenez la relation entre les nombres entiers et la forme visible simplement en changeant un chiffre à la fois.

Compter les pétales : Un guide rapide

Pour une hypotrochoïde, le nombre de lobes (ou de rebroussements, lorsque \( d = r \)) est égal à \( R / \text{pgcd}(R, r) \). Quelques exemples classiques :

  • R = 4, r = 1, d = 1 → astéroïde (4 rebroussements). Le classique « losange aux côtés incurvés ».
  • R = 3, r = 1, d = 1 → deltoïde (3 rebroussements). Également appelée courbe de Steiner.
  • R = 96, r = 36, d = 30 → rosette à 8 pétales. Car \( \text{pgcd}(96, 36) = 12 \) et \( 96 / 12 = 8 \).
  • R = 105, r = 30, d = 72 → étoile à 7 pétales. Pétales longs et bouclés (car \( d > r \export )).
  • R = 120, r = 45, d = 48 → dentelle à 8 lobes. Pétales légèrement raccourcis qui s'entrelacent.

Pour une épitrochoïde, la même formule s'applique avec la géométrie « extérieure » — \( R / \text{pgcd}(R, r) \) rebroussements pointant vers l'extérieur lorsque \( d = r \).

Une brève histoire

Les mathématiques remontent à Albrecht Dürer en 1525, qui étudiait les épicycloïdes tout en dessinant des ornements géométriques. Roemer (1674) et Bernoulli (début des années 1700) ont formalisé les équations paramétriques. Le jouet que la plupart des gens connaissent — les engrenages en plastique de couleur vive de la marque « Spirograph » — a été inventé par l'ingénieur britannique Denys Fisher en 1965 et commercialisé par Kenner l'année suivante. Il est devenu un succès mondial et a remporté le prix du jouet de l'année (Royaume-Uni) en 1967. Fisher avait d'abord développé le système d'engrenages pour concevoir des mécanismes complexes à ressort ; le jouet est né d'un heureux hasard.

Aujourd'hui, les hypotrochoïdes et les épitrochoïdes apparaissent bien au-delà de l'artisanat : dans les moteurs rotatifs Wankel (le rotor trace une épitrochoïde), dans les gravures de guilloché sur les billets de banque et les montres de luxe, dans l'art sur oscilloscope de type Lissajous, et dans les outils d'art génératif pour les affiches, la broderie et la découpe laser.

Applications concrètes pour le rendu

  • Impression et affiches : un SVG vectoriel configuré avec une rosette à 8 pétales + palette or + papier ivoire donne une superbe touche d'élégance à un faire-part de mariage.
  • Découpe et gravure laser : la courbe fermée est tracée d'un seul trait continu, idéal pour les trajectoires de machines. Exportez au format SVG et importez dans LightBurn ou RDWorks.
  • Numérisation de broderie : le mode mandala dense avec stylos superposés produit une broderie machine fluide sans sauts de fil.
  • Salles de classe de mathématiques et d'art : modifiez r d'une unité et observez le changement du nombre de pétales — une preuve visuelle de l'importance du pgcd dans les fonctions périodiques.
  • Art génératif : l'exportation SVG est modifiable. Ouvrez-la dans Illustrator, remplissez la courbe fermée avec un dégradé, ou superposez-la en mode produit sur un arrière-plan photo.
  • Éléments graphiques de logos : la palette monochrome + un seul stylo + une petite valeur d donne une rosette fine et élégante qui s'adapte parfaitement aux cartes de visite.

Conseils pour de magnifiques designs

  • Rapports premiers = nombre élevé de lobes. Essayez R = 113, r = 30 (pgcd de 1, soit 113 lobes — une dentelle très dense). Essayez ensuite R = 120, r = 30 (pgcd de 30, seulement 4 lobes — une étoile épurée).
  • Augmentez d au-delà de r pour créer des boucles. Lorsque \( d > r \), les pétales se chevauchent — essayez R = 90, r = 36, d = 80 pour une fleur aux pétales auto-sécants.
  • Diminuez d par rapport à r pour des pétales doux. De petites valeurs de d par rapport à r donnent un aspect doux de « marguerite arrondie ». Idéal pour les cartes et les étiquettes de cadeaux.
  • Superposez les stylos pour donner de la profondeur. Mêmes valeurs R, r, d mais avec 3 couches de stylos crée instantanément un motif concentrique à l'effet 3D sans rien changer d'autre.
  • Arrière-plan bleu de traçage + palette océan = croquis d'ingénierie. Idéal pour les illustrations techniques et les éléments de présentation.
  • Papier millimétré + encre monochrome = schéma de manuel scolaire. Parfait pour les fiches d'exercices mathématiques à imprimer.

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'un spirographe d'un point de vue mathématique ?

Un spirographe trace une hypotrochoïde (un petit cercle roulant à l'intérieur d'un plus grand cercle fixe) ou une épitrochoïde (un petit cercle roulant à l'extérieur). Les courbes sont décrites par des équations paramétriques comprenant trois rayons : R pour le cercle fixe, r pour le cercle roulant et d pour le décalage du stylo par rapport au centre du cercle roulant.

Que signifient exactement R, r et d ?

R est le rayon du grand cercle fixe, r est le rayon du petit cercle roulant, et d est la distance du stylo par rapport au centre du cercle roulant. Si d est égal à r, le stylo se trouve sur le bord et la courbe forme des rebroussements pointus ; un d plus petit donne des pétales arrondis doux (courbe raccourcie) ; un d plus grand donne de longues boucles de pétales qui se chevauchent (courbe allongée).

Pourquoi le motif se referme-t-il toujours en boucle ?

L'outil calcule le plus grand commun diviseur de R et r. La courbe se referme exactement après r / pgcd(R, r) révolutions du cercle roulant, et le résultat présente R / pgcd(R, r) lobes de symétrie rotationnelle. L'utilisation du pgcd garantit que le stylo revient à son point de départ sans raccord visible, que le rapport R/r soit rationnel ou non (nous les traitons comme des nombres entiers).

Quelle est la différence entre hypotrochoïde et épitrochoïde ?

L'hypotrochoïde utilise un petit cercle qui roule à l'intérieur d'un plus grand — c'est le jouet Spirograph classique. L'épitrochoïde utilise un petit cercle qui roule à l'extérieur. Les hypotrochoïdes ressemblent à des rosettes pointant vers l'intérieur (les pétales se dirigent vers le centre) ; les épitrochoïdes ressemblent à des formes de fleurs ou d'engrenages pointant vers l'extérieur (les pétales s'éloignent du centre). Les moteurs rotatifs Wankel utilisent une épitrochoïde pour le logement du rotor.

Qu'est-ce que le mode mandala multi-stylos ?

Sélectionner deux ou trois couches de stylos permet de retracer la même courbe avec des valeurs de d progressivement plus petites dans différentes couleurs de palette. Comme chaque stylo possède son propre décalage, les couches s'emboîtent comme des pétales dans des pétales, produisant un effet de mandala ou de rangoli à partir d'un seul ensemble d'entrées. Aucun assemblage de couches n'est requis — il s'agit d'un seul résultat mathématique rendu sous forme de tracés multiples.

Puis-je exporter le spirographe ?

Oui. Télécharger le SVG génère un fichier vectoriel qui reste net à n'importe quelle taille — idéal pour l'impression, la numérisation de broderie, la découpe de vinyle ou des modifications ultérieures dans Illustrator ou Inkscape. Télécharger le PNG restitue le motif sous forme d'image matricielle haute résolution, adaptée aux diapositives et aux publications sur les réseaux sociaux. Copier le code place le balisage SVG brut dans votre presse-papiers pour l'intégrer dans une page web ou l'envoyer par messagerie.

L'outil est-il gratuit ?

Oui. Le Générateur de Spirographe est gratuit, fonctionne entièrement dans votre navigateur, ne nécessite aucune inscription et n'appose jamais de filigrane sur les exportations. Les motifs que vous générez vous appartiennent et peuvent être utilisés dans des projets personnels et commerciaux — imprimés, vendus, remixés ou cousus sur une couette.

Pourquoi certaines courbes sont-elles pointues et d'autres lisses ?

Le nombre de pointes provient de R / pgcd(R, r) — cet entier correspond au nombre de lobes. La forme des pointes dépend de d : lorsque d est égal à r, vous obtenez des rebroussements pointus (une hypocycloïde ou épicycloïde), lorsque d est plus petit, vous obtenez des pétales arrondis (courbe raccourcie), et lorsque d est plus grand que r, les pétales forment de longues boucles auto-sécantes (courbe allongée). Modifiez un nombre à la fois pour observer cette relation.

En quoi est-ce différent d'une courbe de Lissajous ?

Les courbes de Lissajous proviennent de mouvements sinusoïdaux indépendants sur les axes x et y — x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt). Les spirographes proviennent d'un petit cercle qui roule autour d'un grand cercle sans glisser. Les motifs de Lissajous s'inscrivent dans un cadre rectangulaire ; les spirographes s'inscrivent dans un cadre circulaire. Ils partagent un air de famille car ce sont tous deux des courbes 2D périodiques, mais le mécanisme est différent.

Pourquoi l'aperçu en direct semble-t-il légèrement différent du résultat final ?

L'Aperçu en direct utilise un nombre d'échantillons inférieur pour rester réactif à chaque frappe sur le clavier. Le résultat final échantillonne de 900 à 7 200 points (ajustés selon la complexité de la courbe) pour un rendu beaucoup plus net. Les deux concordent mathématiquement ; la seule différence réside dans la résolution.

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-05-19

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