Kalkulator Rozkładu Ujemnego Dwumianowego

O Kalkulator Rozkładu Ujemnego Dwumianowego

Kalkulator Rozkładu Ujemnego Dwumianowego oblicza dokładne prawdopodobieństwo liczby porażek (lub całkowitej liczby prób) potrzebnych do osiągnięcia docelowej liczby sukcesów. Wprowadź wymaganą liczbę sukcesów (r), prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (p) oraz docelową wartość (k), aby otrzymać prawdopodobieństwo punktowe i skumulowane, rozwiązania krok po kroku, interaktywne wykresy oraz wizualizację sekwencji prób.

Co to jest rozkład ujemny dwumianowy?

Rozkład ujemny dwumianowy to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, który modeluje liczbę porażek przed wystąpieniem określonej liczby sukcesów w sekwencji niezależnych prób Bernoulliego. Każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu p. Odpowiada na pytania typu: „Ile nieudanych rozmów sprzedażowych wykonam, zanim zamknę moją piątą transakcję?” lub „Ile wadliwych elementów sprawdzę, zanim znajdę 10 dobrych?”.

Nazwa rozkładu pochodzi od ujemnego rozwinięcia szeregu dwumianowego użytego w jego wyprowadzeniu. Stanowi on uogólnienie rozkładu geometrycznego, który jest przypadkiem szczególnym, gdy r = 1 (potrzebny jeden sukces).

Dwie powszechne parametryzacje

Rozkład ujemny dwumianowy posiada dwa równoważne sformułowania, które różnią się tym, co liczy zmienna losowa:

• Parametryzacja porażek (X): X liczy tylko porażki przed r-tym sukcesem. X może wynosić 0, 1, 2, 3, ... PMF to P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Parametryzacja prób (Y): Y liczy całkowitą liczbę prób (zarówno sukcesy, jak i porażki) do r-tego sukcesu. Y może wynosić r, r+1, r+2, ... Relacja to Y = X + r.

Ten kalkulator obsługuje oba warianty. Użyj przełącznika, aby wybrać, czy k ma być liczbą porażek, czy całkowitą liczbą prób.

Wzór na PMF rozkładu ujemnego dwumianowego

W parametryzacji porażek funkcja masy prawdopodobieństwa wynosi:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Gdzie C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) to współczynnik dwumianowy. Wyrażenie C(k + r − 1, r − 1) zlicza liczbę sposobów na rozmieszczenie k porażek i r − 1 sukcesów w pierwszych k + r − 1 próbach (ostatnia próba musi być sukcesem). Wyrażenie p^r to prawdopodobieństwo r sukcesów, a (1 − p)^k to prawdopodobieństwo k porażek.

Średnia, wariancja i inne statystyki

Dla ujemnej dwumianowej zmiennej losowej X (parametryzacja porażek) z parametrami r i p:

• Średnia: μ = r(1 − p) / p
• Wariancja: σ² = r(1 − p) / p²
• Odchylenie standardowe: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Moda: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ gdy r > 1; 0 gdy r = 1
• Skośność: (2 − p) / √(r(1 − p))

Dla parametryzacji prób Y = X + r średnia przesuwa się do r/p, a wariancja pozostaje bez zmian.

Związek z innymi rozkładami

• Rozkład geometryczny: Przypadek szczególny z r = 1. Modeluje liczbę porażek przed pierwszym sukcesem.
• Rozkład dwumianowy: Podczas gdy rozkład dwumianowy ustala liczbę prób i liczy sukcesy, rozkład ujemny dwumianowy ustala liczbę sukcesów i liczy próby/porażki.
• Rozkład Poissona: Rozkład ujemny dwumianowy może być postrzegany jako mieszanina Poissona i Gammy. Gdy r → ∞ i p → 1, zachowując r(1 − p)/p jako stałą, rozkład ujemny dwumianowy zbliża się do rozkładu Poissona.

Typowe zastosowania

• Sprzedaż i marketing — Ile połączeń wykona handlowiec, zanim zamknie docelową liczbę transakcji przy znanym współczynniku konwersji?
• Kontrola jakości — Ile produktów należy sprawdzić, aby znaleźć docelową liczbę jednostek zgodnych z normą?
• Badania kliniczne — Ilu pacjentów musi zostać włączonych do badania przed uzyskaniem docelowej liczby pozytywnych reakcji?
• Ubezpieczenia — Modelowanie liczby roszczeń, gdy wariancja przekracza średnią (nadmierne rozproszenie w stosunku do Poissona).
• Ekologia — Modelowanie danych o liczebności gatunków, gdzie zliczenia wykazują większą zmienność niż pozwala na to model Poissona.
• Analityka sportowa — Ile rzutów lub prób wykona sportowiec do osiągnięcia docelowej liczby udanych zagrań?

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź r, liczbę sukcesów, którą chcesz osiągnąć (r ≥ 1).
2. Wprowadź p, prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie (0 < p ≤ 1).
3. Wybierz tryb wprowadzania: czy k reprezentuje liczbę porażek, czy całkowitą liczbę prób.
4. Wprowadź k, konkretną wartość, dla której chcesz znaleźć prawdopodobieństwo.
5. Kliknij „Oblicz prawdopodobieństwo”, aby zobaczyć prawdopodobieństwa punktowe i skumulowane, rozwiązania kombinatoryczne krok po kroku, wizualizację sekwencji prób, wykresy PMF/CDF oraz pełną tabelę rozkładu.

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między rozkładem ujemnym dwumianowym a dwumianowym?

Rozkład dwumianowy ustala liczbę prób i liczy losową liczbę sukcesów. Rozkład ujemny dwumianowy ustala liczbę sukcesów i liczy losową liczbę prób (lub porażek). Odpowiadają na uzupełniające się pytania: rozkład dwumianowy pyta „Ile sukcesów w n próbach?”, podczas gdy ujemny dwumianowy pyta „Ile prób do r sukcesów?”.

Kiedy powinienem używać rozkładu ujemnego dwumianowego zamiast rozkładu Poissona?

Używaj rozkładu ujemnego dwumianowego, gdy Twoje dane wykazują nadmierne rozproszenie (overdispersion) — czyli gdy wariancja jest większa niż średnia. Rozkład Poissona zakłada równość średniej i wariancji. Rozkład ujemny dwumianowy ma dodatkowy parametr, który pozwala wariancji przekroczyć średnią, co czyni go lepiej dopasowanym do wielu rzeczywistych zbiorów danych.

Co oznacza r = 1?

Gdy r = 1, rozkład ujemny dwumianowy redukuje się do rozkładu geometrycznego, który modeluje liczbę porażek przed pierwszym sukcesem. Na przykład liczbę rzutów monetą z wynikiem reszka przed pierwszym orłem.

Czy p może wynosić 0 lub 1?

Prawdopodobieństwo p musi być ściśle większe niż 0. Jeśli p = 0, sukces jest niemożliwy, więc potrzebowałbyś nieskończonej liczby prób. Jeśli p = 1, każda próba jest sukcesem, więc zawsze jest 0 porażek i rozkład jest zdegenerowany (cała masa prawdopodobieństwa przy k = 0). Ten kalkulator akceptuje p = 1 jako przypadek szczególny.

Jak rozkład ujemny dwumianowy jest wykorzystywany w regresji?

Regresja ujemna dwumianowa jest uogólnieniem regresji Poissona stosowanym, gdy dane wykazują nadmierne rozproszenie. Dodaje ona parametr dyspersji, który pozwala wariancji warunkowej przekroczyć średnią warunkową. Typowe zastosowania obejmują modelowanie liczby wizyt w szpitalu, częstotliwości wypadków drogowych oraz danych o liczebności gatunków.