Calculateur d’Espace Nul

Trouvez l’espace nul (noyau) de n’importe quelle matrice en résolvant Ax = 0 par élimination de Gauss. Obtenez les vecteurs de base, la nullité, la réduction RREF étape par étape et la vérification du théorème du rang avec une arithmétique fractionnaire exacte.

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Calculateur d’Espace Nul

Le Calculateur d'Espace Nul trouve l'espace nul (noyau) de n'importe quelle matrice en résolvant le système homogène Ax = 0. Saisissez une matrice de n'importe quelle dimension jusqu'à 8×8 et obtenez la base complète de l'espace nul avec une arithmétique fractionnaire exacte, l'élimination de Gauss étape par étape vers la RREF, la classification des colonnes (pivot vs libre) et la vérification du théorème du rang.

Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?

L'espace nul (également appelé noyau) d'une matrice $A$ de dimension $m \times n$ est l'ensemble de tous les vecteurs $\mathbf{x}$ de $\mathbb{R}^n$ qui satisfont à :

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Écrit sous forme d'ensemble : $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$. L'espace nul est toujours un sous-espace de $\mathbb{R}^n$, ce qui signifie qu'il contient le vecteur nul et qu'il est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire.

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Sous-espace

L'espace nul est toujours un sous-espace de R^n. Il contient le vecteur nul et est fermé par addition et multiplication scalaire.

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Dimension = Nullité

La dimension de l'espace nul est égale à la nullité — le nombre de variables libres après réduction par lignes.

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Variables libres

Chaque variable libre dans la RREF contribue à un vecteur de base pour l'espace nul.

⚖

Rang-Nullité

rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes. Cela est toujours vrai.

Comment trouver l'espace nul

Étape 1. Définissez le nombre de lignes (m) et de colonnes (n) de votre matrice à l'aide des commandes +/−, ou cliquez sur un exemple rapide pour charger une matrice prédéfinie.

Étape 2. Saisissez les valeurs de votre matrice dans la grille. Vous pouvez taper des entiers, des décimaux ou des fractions comme 1/3 ou -5/2. Utilisez Tab, Entrée ou les flèches pour naviguer entre les cellules.

Étape 3. Cliquez sur Trouver l'Espace Nul. Le calculateur effectue l'élimination de Gauss pour convertir votre matrice en sa forme échelonnée réduite (RREF).

Étape 4. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Chaque colonne libre correspond à une variable libre qui peut prendre n'importe quelle valeur.

Étape 5. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.

Espace nul vs Espace des colonnes

Propriété	Espace Nul	Espace des Colonnes
Définition	Tous les x tels que Ax = 0	Tous les b tels que Ax = b a une solution
Appartient à	$\mathbb{R}^n$ (domaine)	$\mathbb{R}^m$ (codomaine)
Dimension	nullité = n − rang	rang
Trouvé à partir de	Colonnes libres de la RREF	Colonnes pivots de A

Le théorème du rang

Pour toute matrice $A$ de dimension $m \times n$ :

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Le rang est le nombre de colonnes pivots dans la RREF, et la nullité est le nombre de colonnes libres. Ensemble, ils représentent chaque colonne. Ce théorème est également connu sous le nom de théorème de la dimension pour les applications linéaires.

Cas particuliers

Scénario	Espace Nul	Ce que cela signifie
Rang de colonne complet (rang = n)	Uniquement {0}	Les colonnes sont linéairement indépendantes ; Ax = 0 n'a que la solution triviale
Plus de colonnes que de lignes (n > m)	Toujours non trivial	Il y a au moins n − m variables libres, donc une infinité de solutions existent
Matrice carrée singulière	Non trivial	La matrice a un déterminant nul et des lignes/colonnes dépendantes
Matrice nulle	Tout $\mathbb{R}^n$	Chaque vecteur est dans l'espace nul ; la base est la base standard

Applications de l'espace nul

📐

Systèmes linéaires

La solution générale de Ax = b est x = x_p + Null(A), où x_p est une solution particulière.

📊

Indépendance linéaire

Les colonnes de A sont linéairement indépendantes si et seulement si Null(A) = {0}.

🔄

Équations différentielles

L'espace des solutions d'un système d'équations différentielles linéaires homogènes est l'espace nul de la matrice des coefficients.

🔐

Codes correcteurs d'erreurs

En théorie du codage, les mots de code valides forment l'espace nul de la matrice de contrôle de parité H.

Foire aux questions

Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?

L'espace nul (ou noyau) d'une matrice A est l'ensemble de tous les vecteurs x tels que Ax = 0. C'est un sous-espace de R^n où n est le nombre de colonnes. L'espace nul contient toujours le vecteur nul et peut également contenir une infinité de vecteurs non nuls si la matrice possède des variables libres.

Comment trouver l'espace nul ?

Réduisez la matrice A à sa forme échelonnée réduite (RREF) par élimination de Gauss. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.

Qu'est-ce que le théorème du rang ?

Le théorème du rang stipule que pour une matrice A de dimension m par n, rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes. Le rang est le nombre de colonnes pivots et la nullité est la dimension de l'espace nul (nombre de variables libres).

Que signifie un espace nul trivial ?

Un espace nul trivial signifie que la seule solution à Ax = 0 est le vecteur nul x = 0. Cela se produit lorsque chaque colonne est une colonne pivot (rang de colonne complet). Cela signifie que les colonnes de A sont linéairement indépendantes.

Les matrices non carrées peuvent-elles avoir un espace nul ?

Oui. Toute matrice a un espace nul. Pour une matrice m par n avec m inférieur à n, l'espace nul est garanti d'être non trivial (dimension au moins n - m) car il y a plus d'inconnues que d'équations, donc des variables libres existent toujours.

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-04-10

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