Calculateur d’Espace Nul
Trouvez l’espace nul (noyau) de n’importe quelle matrice en résolvant Ax = 0 par élimination de Gauss. Obtenez les vecteurs de base, la nullité, la réduction RREF étape par étape et la vérification du théorème du rang avec une arithmétique fractionnaire exacte.
Votre bloqueur de pubs nous empêche d’afficher des annonces
MiniWebtool est gratuit grâce aux annonces. Si cet outil vous a aidé, soutenez-nous avec Premium (sans pubs + outils plus rapides) ou ajoutez MiniWebtool.com à la liste blanche puis rechargez la page.
- Ou passez à Premium (sans pubs)
- Autorisez les pubs pour MiniWebtool.com, puis rechargez
Calculateur d’Espace Nul
Le Calculateur d'Espace Nul trouve l'espace nul (noyau) de n'importe quelle matrice en résolvant le système homogène Ax = 0. Saisissez une matrice de n'importe quelle dimension jusqu'à 8×8 et obtenez la base complète de l'espace nul avec une arithmétique fractionnaire exacte, l'élimination de Gauss étape par étape vers la RREF, la classification des colonnes (pivot vs libre) et la vérification du théorème du rang.
Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?
L'espace nul (également appelé noyau) d'une matrice \(A\) de dimension \(m \times n\) est l'ensemble de tous les vecteurs \(\mathbf{x}\) de \(\mathbb{R}^n\) qui satisfont à :
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Écrit sous forme d'ensemble : \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). L'espace nul est toujours un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\), ce qui signifie qu'il contient le vecteur nul et qu'il est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire.
Comment trouver l'espace nul
Étape 1. Définissez le nombre de lignes (m) et de colonnes (n) de votre matrice à l'aide des commandes +/−, ou cliquez sur un exemple rapide pour charger une matrice prédéfinie.
Étape 2. Saisissez les valeurs de votre matrice dans la grille. Vous pouvez taper des entiers, des décimaux ou des fractions comme 1/3 ou -5/2. Utilisez Tab, Entrée ou les flèches pour naviguer entre les cellules.
Étape 3. Cliquez sur Trouver l'Espace Nul. Le calculateur effectue l'élimination de Gauss pour convertir votre matrice en sa forme échelonnée réduite (RREF).
Étape 4. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Chaque colonne libre correspond à une variable libre qui peut prendre n'importe quelle valeur.
Étape 5. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.
Espace nul vs Espace des colonnes
| Propriété | Espace Nul | Espace des Colonnes |
|---|---|---|
| Définition | Tous les x tels que Ax = 0 | Tous les b tels que Ax = b a une solution |
| Appartient à | \(\mathbb{R}^n\) (domaine) | \(\mathbb{R}^m\) (codomaine) |
| Dimension | nullité = n − rang | rang |
| Trouvé à partir de | Colonnes libres de la RREF | Colonnes pivots de A |
Le théorème du rang
Pour toute matrice \(A\) de dimension \(m \times n\) :
$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$
Le rang est le nombre de colonnes pivots dans la RREF, et la nullité est le nombre de colonnes libres. Ensemble, ils représentent chaque colonne. Ce théorème est également connu sous le nom de théorème de la dimension pour les applications linéaires.
Cas particuliers
| Scénario | Espace Nul | Ce que cela signifie |
|---|---|---|
| Rang de colonne complet (rang = n) | Uniquement {0} | Les colonnes sont linéairement indépendantes ; Ax = 0 n'a que la solution triviale |
| Plus de colonnes que de lignes (n > m) | Toujours non trivial | Il y a au moins n − m variables libres, donc une infinité de solutions existent |
| Matrice carrée singulière | Non trivial | La matrice a un déterminant nul et des lignes/colonnes dépendantes |
| Matrice nulle | Tout \(\mathbb{R}^n\) | Chaque vecteur est dans l'espace nul ; la base est la base standard |
Applications de l'espace nul
Foire aux questions
Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?
L'espace nul (ou noyau) d'une matrice A est l'ensemble de tous les vecteurs x tels que Ax = 0. C'est un sous-espace de R^n où n est le nombre de colonnes. L'espace nul contient toujours le vecteur nul et peut également contenir une infinité de vecteurs non nuls si la matrice possède des variables libres.
Comment trouver l'espace nul ?
Réduisez la matrice A à sa forme échelonnée réduite (RREF) par élimination de Gauss. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.
Qu'est-ce que le théorème du rang ?
Le théorème du rang stipule que pour une matrice A de dimension m par n, rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes. Le rang est le nombre de colonnes pivots et la nullité est la dimension de l'espace nul (nombre de variables libres).
Que signifie un espace nul trivial ?
Un espace nul trivial signifie que la seule solution à Ax = 0 est le vecteur nul x = 0. Cela se produit lorsque chaque colonne est une colonne pivot (rang de colonne complet). Cela signifie que les colonnes de A sont linéairement indépendantes.
Les matrices non carrées peuvent-elles avoir un espace nul ?
Oui. Toute matrice a un espace nul. Pour une matrice m par n avec m inférieur à n, l'espace nul est garanti d'être non trivial (dimension au moins n - m) car il y a plus d'inconnues que d'équations, donc des variables libres existent toujours.
Citez ce contenu, cette page ou cet outil comme suit :
"Calculateur d’Espace Nul" sur https://MiniWebtool.com/fr/calculateur-espace-nul/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-04-10
Vous pouvez également essayer notre Résolveur Mathématique IA GPT pour résoudre vos problèmes mathématiques grâce à des questions-réponses en langage naturel.
Autres outils connexes:
Algèbre Linéaire:
- Calculatrice de Déterminant
- Calculatrice de Valeurs Propres et de Vecteurs Propres
- Calculatrice de matrices
- Calculatrice de décomposition en fractions partielles
- Calculatrice Vectorielle
- Calculateur de Gram-Schmidt
- Calculateur de projection vectorielle
- Calculateur de décomposition LU de matrice
- Calculateur de Décomposition en Valeurs Singulières (SVD)
- Calculateur de Rang de Matrice
- Calculateur de Trace de Matrice
- Calculateur de Matrice Jacobienne Nouveau
- Calculateur RREF (Forme Échelonnée Réduite) Nouveau
- Calculateur de Matrice Inverse Nouveau
- Calculateur de Multiplication de Matrices Nouveau
- Calculateur de Produit Scalaire Nouveau
- Calculateur de Produit Vectoriel Nouveau
- Calculateur de Norme de Vecteur Nouveau
- Calculateur de Vecteur Unitaire Nouveau
- Calculateur d'Angle Entre Vecteurs Nouveau
- Calculateur d’Espace Nul Nouveau
- Calculateur d’Espace Colonne Nouveau
- Calculateur Règle de Cramer Nouveau
- Calculateur de Diagonalisation de Matrice Nouveau
- Calculateur de Décomposition QR Nouveau
- Calculateur de Décomposition de Cholesky Nouveau
- Calculateur de Puissance de Matrice Nouveau
- Calculateur de Polynôme Caractéristique Nouveau
- Calculateur de Forme Normale de Jordan Nouveau
- Calculateur d'Exponentielle de Matrice Nouveau
- Calculateur de Produit Tensoriel Nouveau