两种参数化方式有什么区别？

“失败次数”参数化仅计算第 r 次成功前的失败次数，因此 X 的范围是从 0 到无穷大。“总试验次数”参数化计算包括成功和失败在内的总试验次数，因此 Y 的范围是从 r 到无穷大。两者的关系是 Y 等于 X 加上 r。对于相应的值，两者给出的概率相同。

负二项分布 PMF 的公式是什么？

在“失败次数”参数化下的概率质量函数为：P(X 等于 k) 等于 C(k 加上 r 减去 1, r 减去 1) 乘以 p 的 r 次方再乘以 (1 减去 p) 的 k 次方，其中 r 是所需的成功次数，p 是成功概率，k 是失败次数。

负二项分布与几何分布有什么关系？

几何分布是 r 等于 1 时负二项分布的一个特殊情况。它模拟第一次成功前的失败次数。一般 r 的负二项分布可以看作是 r 个独立几何随机变量的和。

负二项分布有哪些常见应用？

常见应用包括：模拟达成目标交易数所需的销售电话次数、在发现 r 个合格品前检查出的缺陷品数量、具有超离散特性的保险理赔计数、生态学中的物种丰度数据，以及需要固定数量患者反应的临床试验。

负二项分布计算器

计算负二项分布概率，用于建模实现目标成功次数所需的试验次数或失败次数。获取精确的 PMF、CDF、分步解决方案、交互式图表和试验序列可视化。

负二项分布计算器

📌 尝试一个场景：

r — 所需成功次数目标成功次数 (r ≥ 1)

p — 成功概率每次试验的概率 (0 < p ≤ 1)

k — 失败次数第 r 次成功前的失败次数 (k ≥ 0)

r 必须为正整数。p 必须在 0（不含）和 1（含）之间。k 必须为非负整数。

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负二项分布计算器

负二项分布计算器用于计算达到目标成功次数前所需的失败次数（或总试验次数）的精确概率。输入所需的成功次数 (r)、每次试验的成功概率 (p) 以及您的目标值 (k)，即可获得单点概率和累积概率、逐步解决方案、交互式图表以及试验序列可视化。

什么是负二项分布？

负二项分布是一种离散概率分布，它模拟在一系列独立的伯努利试验中，在出现指定数量的成功之前所发生的失败次数。每次试验具有相同的成功概率 p。它回答了诸如“在完成第 5 笔交易之前，我会打多少次失败的销售电话？”或“在发现 10 个合格品之前，我会检查出多少个缺陷品？”之类的问题。

该分布的名字来源于其推导过程中使用的负二项级数展开。它是几何分布的推广，几何分布是 r = 1（需要一次成功）时的特殊情况。

两种常见的参数化方式

负二项分布有两种等效的表述，区别在于随机变量计数的内容：

失败次数参数化 (X)：X 仅计算第 r 次成功之前的失败次数。X 的值可以是 0, 1, 2, 3, ...。其 PMF 为 P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k。
总试验次数参数化 (Y)：Y 计算直到第 r 次成功为止的总试验次数（包括成功和失败）。Y 的值可以是 r, r+1, r+2, ...。两者的关系是 Y = X + r。

本计算器支持这两种方式。使用切换按钮可以在将 k 作为失败次数输入或作为总试验次数输入之间进行切换。

负二项分布 PMF 公式

在“失败次数”参数化下，概率质量函数 (PMF) 为：

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

其中 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) 是二项式系数。术语 C(k + r − 1, r − 1) 计算在总共 k + r − 1 次试验中排列 k 次失败和 r − 1 次成功的方法数（最后一次试验必须是成功）。术语 p^r 是 r 次成功的概率，而 (1 − p)^k 是 k 次失败的概率。

均值、方差和其他统计量

对于参数为 r 和 p 的负二项随机变量 X（失败次数参数化）：

均值 (Mean)： μ = r(1 − p) / p
方差 (Variance)： σ² = r(1 − p) / p²
标准差 (Standard Deviation)： σ = √(r(1 − p) / p²)
众数 (Mode)： 当 r > 1 时为 ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋；当 r = 1 时为 0
偏度 (Skewness)： (2 − p) / √(r(1 − p))

对于总试验次数参数化 Y = X + r，均值变为 r/p，而方差保持不变。

与其他分布的关系

几何分布：r = 1 时的特殊情况。模拟第一次成功前的失败次数。
二项分布：二项分布固定试验次数并计算成功次数，而负二项分布固定成功次数并计算试验/失败次数。
泊松分布：负二项分布可以看作是泊松-伽马混合分布。当 r → ∞ 且 p → 1，同时保持 r(1 − p)/p 不变时，负二项分布趋于泊松分布。

常见应用

销售与营销 — 在已知转化率的情况下，销售人员达成目标交易数需要打多少个电话？
质量控制 — 为了找到目标数量的合格品，必须检查多少个项目？
临床试验 — 在获得目标数量的阳性反应之前，需要招募多少名患者？
保险 — 当理赔计数的方差超过均值时进行建模（相对于泊松分布的超离散性）。
生态学 — 对物种丰度数据建模，其中计数显示的变异性大于泊松模型所允许的范围。
体育分析 — 运动员达到目标进球数需要多少次射门或尝试？

如何使用此计算器

输入 r，即您想要达到的成功次数 (r ≥ 1)。
输入 p，即每次试验成功的概率 (0 < p ≤ 1)。
选择输入模式：k 代表的是失败次数还是总试验次数。
输入 k，即您想要查找概率的具体数值。
点击“计算概率”以查看精确概率和累积概率、逐步组合解决方案、试验序列可视化、PMF/CDF 图表以及完整的分布表。

常见问题解答

负二项分布和二项分布有什么区别？

二项分布固定试验次数并计算随机的成功次数。负二项分布固定成功次数并计算随机的试验次数（或失败次数）。它们回答互补的问题：二项分布问“n 次试验中有多少次成功？”，而负二项分布问“达到 r 次成功需要多少次试验？”

什么时候应该使用负二项分布而不是泊松分布？

当您的计数数据表现出超离散性（即方差大于均值）时，请使用负二项分布。泊松分布假设均值和方差相等。负二项分布有一个额外的参数允许方差超过均值，使其更适合许多现实世界的计数数据集。

r = 1 意味着什么？

当 r = 1 时，负二项分布简化为几何分布，它模拟第一次成功前的失败次数。例如，在出现第一次正面之前，硬币翻转显示反面的次数。

p 可以等于 0 或 1 吗？

概率 p 必须严格大于 0。如果 p = 0，则成功是不可能的，因此您需要无限次的试验。如果 p = 1，则每次试验都是成功的，因此失败次数始终为 0，分布是退化的（所有概率质量都在 k = 0 处）。本计算器将 p = 1 作为特殊情况接受。

负二项分布如何用于回归分析？

负二项回归是泊松回归的一种推广，用于计数数据表现出超离散性的情况。它增加了一个离散参数，允许条件方差超过条件均值。常见应用包括对就诊次数、交通事故频率和物种丰度数据进行建模。

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负二项分布计算器

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常见问题解答

负二项分布和二项分布有什么区别？

什么时候应该使用负二项分布而不是泊松分布？

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p 可以等于 0 或 1 吗？

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