Calculateur de Rotationnel

Calculez le rotationnel ∇×F de n’importe quel champ vectoriel 2D ou 3D avec l’expansion par étapes du déterminant du produit vectoriel. Entrez les composantes P, Q (et R pour la 3D), obtenez le rotationnel symbolique, évaluez en un point, identifiez les champs irrotationnels et visualisez le champ vectoriel interactif avec une superposition de la cyclicité.

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Calculateur de Rotationnel

Le Calculateur de Rotationnel calcule le rotationnel ∇×F de n'importe quel champ vectoriel 2D ou 3D avec un développement complet étape par étape du déterminant du produit vectoriel. Saisissez les composantes de votre champ vectoriel P, Q (et R pour la 3D), évaluez éventuellement à un point spécifique, et obtenez le rotationnel symbolique, la classification de la rotation et, pour les champs 2D, une visualisation interactive avec une carte thermique de vorticité et un flux de particules animé montrant le comportement rotationnel du champ.

Qu'est-ce que le rotationnel ?

Le rotationnel d'un champ vectoriel $\mathbf{F}$ mesure la rotation infinitésimale du champ en chaque point. Pour un champ 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, le rotationnel est calculé comme un produit vectoriel :

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Le développement du déterminant donne le vecteur rotationnel :

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Pour un champ 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, le rotationnel se réduit au scalaire $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, qui représente la rotation dans le plan xy.

Signification physique du rotationnel

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Rotation anti-horaire (rot > 0)

Une minuscule roue à aubes placée ici tournerait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le champ circule dans la direction positive.

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Rotation horaire (rot < 0)

Une minuscule roue à aubes placée ici tournerait dans le sens des aiguilles d'une montre. Le champ circule dans la direction négative.

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Irrotationnel (rot = 0)

Aucune rotation nette — le champ est conservatif. Il existe une fonction potentielle φ avec F = ∇φ.

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Théorème de Stokes

L'intégrale de surface du rotationnel est égale à l'intégrale de ligne autour de la frontière : circulation = rotation totale.

Formules du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées

Système de coordonnées	Formule du rotationnel
Cartésien 2D	$\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (scalaire)
Cartésien 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Cylindrique	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Sphérique	Voir le développement complet utilisant les facteurs d'échelle $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Identités importantes impliquant le rotationnel

Identité	Formule
Rotationnel d'un gradient	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (toujours nul — les gradients sont irrotationnels)
Divergence d'un rotationnel	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (toujours nulle — les rotationnels sont solénoïdaux)
Linéarité	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Règle du produit	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Théorème de Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Applications du rotationnel

Champ	Application	Ce que le rotationnel représente
Électromagnétisme	Loi de Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — les champs magnétiques variables créent des champs électriques tournants
Électromagnétisme	Loi d'Ampère	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — les courants électriques créent des champs magnétiques tournants
Dynamique des fluides	Vorticité	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — mesure comment le fluide tourne localement
Mécanique	Vitesse angulaire	Pour la rotation d'un corps rigide $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, le rotationnel donne $2\boldsymbol{\omega}$
Champs conservatifs	Indépendance du chemin	Si $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, les intégrales de ligne ne dépendent pas du chemin et un potentiel existe

Comment utiliser le Calculateur de Rotationnel

Choisir la dimension : Sélectionnez 2D pour les champs F = ⟨P, Q⟩ (rotationnel scalaire) ou 3D pour F = ⟨P, Q, R⟩ (vecteur rotationnel) à l'aide des boutons de bascule.
Saisir les fonctions composantes : Tapez chaque fonction composante (P, Q, et éventuellement R) en utilisant la notation standard. Utilisez ^ pour les exposants, * pour la multiplication, et des fonctions comme sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La multiplication implicite est prise en charge (ex: 2x = 2*x).
Saisir un point d'évaluation (optionnel) : Fournissez les coordonnées séparées par des virgules pour évaluer le rotationnel numériquement et classifier la direction de rotation.
Cliquer sur Calculer le rotationnel : Visualisez le rotationnel symbolique, le développement étape par étape du déterminant du produit vectoriel, l'évaluation numérique et la classification de la rotation.
Explorer la visualisation : Pour les champs 2D, visualisez les flèches du champ vectoriel avec une carte thermique de vorticité (orange = anti-horaire, violet = horaire) et un flux de particules animé.

Exemple résolu

Trouvez le rotationnel de $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ au point $(1, 2, 3)$ :

Étape 1 : Écrire le déterminant : $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Étape 2 : Développer : $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Étape 3 : Le rotationnel est identiquement nul — ce champ est irrotationnel (conservatif). En fait, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, confirmant qu'une fonction potentielle existe.

Rotationnel vs Divergence

Propriété	Rotationnel (∇×F)	Divergence (∇·F)
Type d'opérateur	Produit vectoriel avec ∇	Produit scalaire avec ∇
Résultat	Vecteur (3D) / Scalaire (2D)	Scalaire
Mesure	Rotation / circulation	Expansion / contraction
Zéro signifie	Irrotationnel / conservatif	Solénoïdal / incompressible
Théorème	Théorème de Stokes	Théorème de la divergence (Gauss)

FAQ

Qu'est-ce que le rotationnel d'un champ vectoriel ?

Le rotationnel d'un champ vectoriel mesure la tendance à la rotation ou à la circulation en chaque point. Pour un champ 3D F = (P, Q, R), le rotationnel est un vecteur calculé via le produit vectoriel de l'opérateur nabla avec F : ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Un rotationnel positif indique une rotation anti-horaire, un négatif indique une rotation horaire.

Comment calcule-t-on le rotationnel ?

Pour calculer le rotationnel d'un champ vectoriel 3D, installez un déterminant 3×3 avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne, les opérateurs de dérivées partielles ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z sur la deuxième ligne, et les composantes du champ P, Q, R sur la troisième ligne. Développez le déterminant en utilisant le développement par cofacteurs le long de la première ligne pour obtenir chaque composante du vecteur rotationnel.

Que signifie un rotationnel nul ?

Lorsque le rotationnel est nul partout, le champ vectoriel est dit irrotationnel ou conservatif. Cela signifie qu'il existe une fonction potentielle scalaire φ telle que F = ∇φ, et l'intégrale de ligne de F autour de toute boucle fermée est nulle. Les champs gravitationnels et les champs électrostatiques sont des exemples de champs irrotationnels.

Quelle est la différence entre rotationnel et divergence ?

Le rotationnel mesure la rotation et produit un vecteur (en 3D), tandis que la divergence mesure l'expansion ou la contraction et produit un scalaire. Le rotationnel utilise le produit vectoriel de nabla avec F (∇×F), alors que la divergence utilise le produit scalaire (∇·F). Un champ peut avoir un rotationnel non nul mais une divergence nulle (comme F = (−y, x, 0)), ou un rotationnel nul mais une divergence non nulle (comme F = (x, y, z)).

Quelle est la signification physique du rotationnel ?

Physiquement, le rotationnel mesure la tendance d'un champ vectoriel à circuler ou à tourner autour d'un point. Imaginez placer une minuscule roue à aubes dans l'écoulement d'un fluide — le rotationnel vous indique à quelle vitesse et dans quelle direction la roue tournerait. En électromagnétisme, le rotationnel apparaît dans la loi de Faraday (les champs magnétiques variables créent des champs électriques tournants) et la loi d'Ampère (les courants créent des champs magnétiques tournants). En dynamique des fluides, le rotationnel de la vitesse est appelé vorticité.

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Système de coordonnées	Formule du rotationnel
Cartésien 2D	\(\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (scalaire)
Cartésien 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Cylindrique	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Sphérique	Voir le développement complet utilisant les facteurs d'échelle \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identité	Formule
Rotationnel d'un gradient	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (toujours nul — les gradients sont irrotationnels)
Divergence d'un rotationnel	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (toujours nulle — les rotationnels sont solénoïdaux)
Linéarité	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Règle du produit	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Théorème de Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Champ	Application	Ce que le rotationnel représente
Électromagnétisme	Loi de Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — les champs magnétiques variables créent des champs électriques tournants
Électromagnétisme	Loi d'Ampère	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — les courants électriques créent des champs magnétiques tournants
Dynamique des fluides	Vorticité	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — mesure comment le fluide tourne localement
Mécanique	Vitesse angulaire	Pour la rotation d'un corps rigide \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), le rotationnel donne \(2\boldsymbol{\omega}\)
Champs conservatifs	Indépendance du chemin	Si \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), les intégrales de ligne ne dépendent pas du chemin et un potentiel existe

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Qu'est-ce que le rotationnel ?

Signification physique du rotationnel

Formules du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées

Identités importantes impliquant le rotationnel

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Comment utiliser le Calculateur de Rotationnel

Exemple résolu

Rotationnel vs Divergence

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