Solveur de Systèmes EDO

Solveur de Systèmes EDO

Le Solveur de Systèmes EDO est une boîte à outils complète pour les systèmes couplés linéaires et non linéaires. Saisissez une matrice de coefficients 2×2 ou 3×3 et l'outil effectue l'analyse complète des valeurs et vecteurs propres, écrit la solution générale et particulière sous forme fermée en LaTeX, classifie l'équilibre à l'origine (col, nœud, spirale ou centre) et dessine un portrait de phase interactif avec une trajectoire animée. Pour les systèmes planaires non linéaires, vous pouvez taper des membres de droite arbitraires \(f(x,y)\) et \(g(x,y)\) et l'outil génère un portrait de phase RK4 de haute précision.

Qu'est-ce qu'un système d'EDO ?

Un système d'équations différentielles ordinaires couple plusieurs fonctions inconnues d'une seule variable — généralement le temps \(t\) — via leurs dérivées. Sous sa forme la plus compacte,

Lorsque \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) pour une matrice constante \(A\), le système est linéaire et autonome — et c'est là que la théorie est la plus élégante : tout le comportement à long terme est déterminé par les valeurs propres de \(A\).

La méthode des valeurs propres pour les systèmes linéaires

Pour \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\), la méthode standard est :

1. Calculer le polynôme caractéristique \(\det(\lambda I - A) = 0\).
2. Résoudre pour trouver les valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
3. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre \(v\) en résolvant \((A - \lambda I) v = 0\).
4. Assembler la solution générale comme une combinaison linéaire : \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
5. Fixer les constantes \(c_i\) en injectant la condition initiale \(\mathbf{x}(0)\) dans la solution générale.

Trois cas pour les systèmes 2×2

Le plan Trace-Déterminant

Pour une matrice 2×2 de trace \(T = a_{11} + a_{22}\) et de déterminant \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\), toute la classification tient dans un seul diagramme :

C'est pourquoi le panneau de résultats affiche en évidence \(T\), \(D\), et \(\Delta = T^2 - 4D\) — trois chiffres suffisent à nommer l'équilibre.

Systèmes non linéaires et portrait de phase

La plupart des EDO du monde réel sont non linéaires et n'ont pas de solution sous forme fermée. L'outil les gère en intégrant numériquement les équations avec une méthode Runge–Kutta d'ordre 4 (RK4), qui présente une erreur de troncature locale en \(O(h^5)\) et constitue l'outil par défaut pour les champs de vecteurs réguliers.

Le portrait de phase superpose :

• Un champ de vecteurs échantillonné sur une grille 13×13, montrant la direction du flux en chaque point.
• La trajectoire depuis votre condition initiale, tracée en rouge avec un curseur orange animé indiquant le sens du temps.
• Plusieurs lignes de flux partant d'un anneau de points initiaux, donnant une image globale de la dynamique.
• Pour les systèmes linéaires 2×2, les axes des vecteurs propres (cyan pointillé) — ce sont les directions invariantes le long desquelles les solutions glissent de façon exponentielle.

Comment utiliser ce solveur

1. Choisissez un mode — Linéaire 2×2, Linéaire 3×3 ou Non linéaire 2D — via les onglets en haut du formulaire.
2. Remplissez les coefficients ou les équations. Cliquez sur n'importe quel exemple rapide pour pré-remplir un système canonique (nœud stable, centre, col, pendule, Van der Pol, etc.).
3. Entrez une condition initiale \((x_0, y_0)\) et une durée \(T\). Les valeurs de \(T\) typiques sont de 6 à 20 pour les oscillateurs et de 3 à 6 pour les systèmes stables à décroissance rapide.
4. Cliquez sur Résoudre. La page complète des résultats s'affiche avec la classification, les valeurs propres, les vecteurs propres, la solution sous forme fermée (modes linéaires), le portrait de phase animé et le graphique des séries temporelles.
5. Rejouez la trajectoire à l'aide du bouton sous le portrait de phase si vous souhaitez voir à nouveau le curseur parcourir la courbe de la CI.

Exemple concret — Oscillateur harmonique amorti

L'oscillateur amorti \(\ddot{x} + 2\zeta \omega \dot{x} + \omega^2 x = 0\) peut être réécrit comme un système 2D en posant \(y = \dot{x}\) :

Pour \(\omega = 1\) et \(\zeta = 0.2\) (sous-amorti), la matrice est \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.4 \end{pmatrix}\). Trace \(T = -0.4\), déterminant \(D = 1\), discriminant \(\Delta = 0.16 - 4 = -3.84 < 0\), nous obtenons donc une spirale stable avec des valeurs propres \(-0.2 \pm 0.9798\,i\). La trajectoire spirale vers l'origine, et la série temporelle montre des sinusoïdes à décroissance exponentielle.

Applications

• Systèmes mécaniques — systèmes ressort-masse couplés, pendules, gyroscopes.
• Circuits électriques — réseaux RLC, filtres à amplis-op, espace d'état.
• Dynamique des populations — prédateur-proie de Lotka–Volterra, espèces en compétition, épidémiologie (SIR, SIS).
• Cinétique chimique — réseaux de réactions, oscillateurs de Belousov–Zhabotinsky.
• Neurosciences — modèle de neurone de FitzHugh–Nagumo, réductions de Hodgkin–Huxley.
• Théorie du contrôle — modèles de processus linéarisés, conception d'observateurs, marges de stabilité.

Conseils & Astuces

• Si votre trajectoire diverge trop vite, réduisez la durée T — un système instable peut sortir du champ de vision en quelques unités de temps.
• Pour une valeur propre répétée, le solveur trouve automatiquement le vecteur propre généralisé \(w\) en résolvant \((A - \lambda I)w = v\), vous obtenez ainsi le terme en \(tv\) sans calcul manuel.
• Pour les systèmes non linéaires, les flèches du champ de vecteurs révèlent également les équilibres hors origine sous forme de points cyan — surveillez les zones de magnitude nulle sur le portrait.
• Pour les systèmes 3×3, il n'y a pas de portrait de phase (la 3D est difficile à afficher sur une page 2D), mais la solution générale et le verdict de stabilité s'appliquent toujours.
• Les conditions initiales et les durées sont déconnectées de la classification : les modifier ne change que la trajectoire rouge, pas le diagnostic des valeurs propres.

Foire Aux Questions

Qu'est-ce qu'un système d'équations différentielles ordinaires ?

Un système d'équations différentielles ordinaires (EDO) est un ensemble d'équations couplées qui relient les dérivées de plusieurs fonctions inconnues d'une seule variable indépendante, typiquement le temps. La forme classique est \( \mathbf{x}'(t) = F(t, \mathbf{x}(t)) \), où \( \mathbf{x} \) est un vecteur d'états et \(F\) est le champ de vecteurs. Les systèmes linéaires peuvent être écrits de manière compacte sous la forme \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \), et leur comportement est déterminé presque entièrement par les valeurs propres de la matrice de coefficients \(A\).

Comment les valeurs propres classifient-elles l'équilibre d'un système linéaire 2×2 ?

Pour un système 2×2 \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} \), l'origine est classifiée par la trace \(T\) et le déterminant \(D\) de \(A\) : \(D < 0\) donne un point col (instable) ; \(D > 0\) avec \(T^2 > 4D\) donne un nœud (stable si \(T < 0\), instable si \(T > 0\)) ; \(D > 0\) avec \(T^2 < 4D\) donne une spirale (stable si \(T < 0\), instable si \(T > 0\), un centre pur si \(T = 0\)). Le cas limite \(T^2 = 4D\) produit un nœud dégénéré.

À quoi ressemble la solution sous forme fermée lorsque les valeurs propres sont complexes ?

Si \(A\) possède des valeurs propres complexes conjuguées \( \alpha \pm i\beta \) avec un vecteur propre complexe \( v = p + iq \), la solution générale réelle est \( \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left[ c_1 (p \cos\beta t - q \sin\beta t) + c_2 (p \sin\beta t + q \cos\beta t) \right] \). L'exponentielle \(e^{\alpha t}\) contrôle l'amplitude (croissante, décroissante ou constante), tandis que le sinus et le cosinus gèrent la rotation.

Que se passe-t-il lorsque la matrice possède une valeur propre répétée ?

Si la matrice a une valeur propre répétée \(\lambda\) mais un seul vecteur propre linéairement indépendant \(v\), vous avez également besoin d'un vecteur propre généralisé \(w\) résolvant \( (A - \lambda I) w = v \). La solution générale prend alors la forme \( \mathbf{x}(t) = c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t} \). Si l'espace propre est de dimension deux, la matrice est un multiple scalaire de l'identité sur ce sous-espace invariant et la solution se réduit à \( \mathbf{x}(t) = (c_1 v_1 + c_2 v_2) e^{\lambda t} \).

Cet outil peut-il résoudre des systèmes non linéaires de manière symbolique ?

Le mode non linéaire résout le système numériquement en utilisant un intégrateur Runge–Kutta d'ordre 4 (RK4) et trace le portrait de phase. La plupart des systèmes non linéaires n'ont pas de solution sous forme fermée, c'est donc l'approche standard. Vous pouvez toujours déduire le comportement local près des équilibres par linéarisation, ce que le mode linéaire 2×2 gère — calculez le Jacobien au point fixe et utilisez-le comme matrice \(A\).

Qu'est-ce qu'un portrait de phase ?

Un portrait de phase est une représentation géométrique des solutions d'un système 2D dans le plan \(x\)–\(y\). Chaque solution trace une courbe appelée trajectoire, et l'ensemble des trajectoires ainsi que les flèches du champ de vecteurs révèlent le comportement qualitatif : si les solutions spiralent vers l'intérieur, s'écartent en col, oscillent ou se fixent sur des équilibres. Les portraits de phase rendent la structure globale d'un système visible en un coup d'œil.

Lectures complémentaires

• Système d'équations différentielles — Wikipédia
• Portrait de phase — Wikipédia
• Valeurs propres et vecteurs propres — Wikipédia
• Méthodes de Runge–Kutta — Wikipédia
• Oscillateur de Van der Pol — Wikipédia