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Solveur de Systèmes EDO

Résolvez des systèmes d'équations différentielles ordinaires. Classe l'équilibre - selle, nœud, spirale, centre - dérive les valeurs propres étape par étape, portrait de phase interactif avec trajectoire.

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Solveur de Systèmes EDOEssayez maintenant — gratuit ▼
Exemples rapides :
Nœud stable Centre (oscillateur) Spirale stable Col Répété (dégénéré) Pendule Van der Pol 3×3 troisième ordre
Résoudre \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) où \(A\) est une matrice 2×2 à coefficients réels.
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Accepte les décimaux (ex. 2.5), les négatifs (-1) et les fractions simples (3/4).
Résoudre \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — obtenez les valeurs propres, vecteurs propres et la solution générale.
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La valeur par défaut est la matrice compagne de \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \), donnant les valeurs propres \(-1, -2, -3\).
Résoudre numériquement un système non linéaire 2D général : \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\). Utilisez des fonctions comme sin, cos, exp, sqrt, et les constantes pi, e.
Aucune solution sous forme fermée n'est calculée ; à la place, une intégration RK4 de haute précision produit la trajectoire et le portrait de phase.
x(0)
y(0)
durée T

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Solveur de Systèmes EDO

Le Solveur de Systèmes EDO est une boîte à outils complète pour les systèmes couplés linéaires et non linéaires. Saisissez une matrice de coefficients 2×2 ou 3×3 et l'outil effectue l'analyse complète des valeurs et vecteurs propres, écrit la solution générale et particulière sous forme fermée en LaTeX, classifie l'équilibre à l'origine (col, nœud, spirale ou centre) et dessine un portrait de phase interactif avec une trajectoire animée. Pour les systèmes planaires non linéaires, vous pouvez taper des membres de droite arbitraires \(f(x,y)\) et \(g(x,y)\) et l'outil génère un portrait de phase RK4 de haute précision.

Qu'est-ce qu'un système d'EDO ?

Un système d'équations différentielles ordinaires couple plusieurs fonctions inconnues d'une seule variable — généralement le temps \(t\) — via leurs dérivées. Sous sa forme la plus compacte,

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Lorsque \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) pour une matrice constante \(A\), le système est linéaire et autonome — et c'est là que la théorie est la plus élégante : tout le comportement à long terme est déterminé par les valeurs propres de \(A\).

La méthode des valeurs propres pour les systèmes linéaires

Pour \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\), la méthode standard est :

  1. Calculer le polynôme caractéristique \(\det(\lambda I - A) = 0\).
  2. Résoudre pour trouver les valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
  3. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre \(v\) en résolvant \((A - \lambda I) v = 0\).
  4. Assembler la solution générale comme une combinaison linéaire : \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
  5. Fixer les constantes \(c_i\) en injectant la condition initiale \(\mathbf{x}(0)\) dans la solution générale.

Trois cas pour les systèmes 2×2

Valeurs propres Solution générale Portrait
Réelles distinctes \(\lambda_1 \ne \lambda_2\) \(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\) Col si signes opposés ; nœud sinon
Complexes conjuguées \(\alpha \pm i\beta\) \(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\) Spirale (\(\alpha \ne 0\)) ou centre (\(\alpha = 0\))
Répétées \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) \(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\) Nœud dégénéré

Le plan Trace-Déterminant

Pour une matrice 2×2 de trace \(T = a_{11} + a_{22}\) et de déterminant \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\), toute la classification tient dans un seul diagramme :

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{col} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{nœud (stable si } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{spirale (stable si } T < 0\text{), centre si } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{nœud dégénéré (valeur propre répétée)} \end{array} \]

C'est pourquoi le panneau de résultats affiche en évidence \(T\), \(D\), et \(\Delta = T^2 - 4D\) — trois chiffres suffisent à nommer l'équilibre.

Systèmes non linéaires et portrait de phase

La plupart des EDO du monde réel sont non linéaires et n'ont pas de solution sous forme fermée. L'outil les gère en intégrant numériquement les équations avec une méthode Runge–Kutta d'ordre 4 (RK4), qui présente une erreur de troncature locale en \(O(h^5)\) et constitue l'outil par défaut pour les champs de vecteurs réguliers.

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

Le portrait de phase superpose :

Comment utiliser ce solveur

  1. Choisissez un mode — Linéaire 2×2, Linéaire 3×3 ou Non linéaire 2D — via les onglets en haut du formulaire.
  2. Remplissez les coefficients ou les équations. Cliquez sur n'importe quel exemple rapide pour pré-remplir un système canonique (nœud stable, centre, col, pendule, Van der Pol, etc.).
  3. Entrez une condition initiale \((x_0, y_0)\) et une durée \(T\). Les valeurs de \(T\) typiques sont de 6 à 20 pour les oscillateurs et de 3 à 6 pour les systèmes stables à décroissance rapide.
  4. Cliquez sur Résoudre. La page complète des résultats s'affiche avec la classification, les valeurs propres, les vecteurs propres, la solution sous forme fermée (modes linéaires), le portrait de phase animé et le graphique des séries temporelles.
  5. Rejouez la trajectoire à l'aide du bouton sous le portrait de phase si vous souhaitez voir à nouveau le curseur parcourir la courbe de la CI.

Exemple concret — Oscillateur harmonique amorti

L'oscillateur amorti \(\ddot{x} + 2\zeta \omega \dot{x} + \omega^2 x = 0\) peut être réécrit comme un système 2D en posant \(y = \dot{x}\) :

\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Pour \(\omega = 1\) et \(\zeta = 0.2\) (sous-amorti), la matrice est \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.4 \end{pmatrix}\). Trace \(T = -0.4\), déterminant \(D = 1\), discriminant \(\Delta = 0.16 - 4 = -3.84 < 0\), nous obtenons donc une spirale stable avec des valeurs propres \(-0.2 \pm 0.9798\,i\). La trajectoire spirale vers l'origine, et la série temporelle montre des sinusoïdes à décroissance exponentielle.

Applications

Conseils & Astuces

Foire Aux Questions

Qu'est-ce qu'un système d'équations différentielles ordinaires ?

Un système d'équations différentielles ordinaires (EDO) est un ensemble d'équations couplées qui relient les dérivées de plusieurs fonctions inconnues d'une seule variable indépendante, typiquement le temps. La forme classique est \( \mathbf{x}'(t) = F(t, \mathbf{x}(t)) \), où \( \mathbf{x} \) est un vecteur d'états et \(F\) est le champ de vecteurs. Les systèmes linéaires peuvent être écrits de manière compacte sous la forme \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \), et leur comportement est déterminé presque entièrement par les valeurs propres de la matrice de coefficients \(A\).

Comment les valeurs propres classifient-elles l'équilibre d'un système linéaire 2×2 ?

Pour un système 2×2 \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} \), l'origine est classifiée par la trace \(T\) et le déterminant \(D\) de \(A\) : \(D < 0\) donne un point col (instable) ; \(D > 0\) avec \(T^2 > 4D\) donne un nœud (stable si \(T < 0\), instable si \(T > 0\)) ; \(D > 0\) avec \(T^2 < 4D\) donne une spirale (stable si \(T < 0\), instable si \(T > 0\), un centre pur si \(T = 0\)). Le cas limite \(T^2 = 4D\) produit un nœud dégénéré.

À quoi ressemble la solution sous forme fermée lorsque les valeurs propres sont complexes ?

Si \(A\) possède des valeurs propres complexes conjuguées \( \alpha \pm i\beta \) avec un vecteur propre complexe \( v = p + iq \), la solution générale réelle est \( \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left[ c_1 (p \cos\beta t - q \sin\beta t) + c_2 (p \sin\beta t + q \cos\beta t) \right] \). L'exponentielle \(e^{\alpha t}\) contrôle l'amplitude (croissante, décroissante ou constante), tandis que le sinus et le cosinus gèrent la rotation.

Que se passe-t-il lorsque la matrice possède une valeur propre répétée ?

Si la matrice a une valeur propre répétée \(\lambda\) mais un seul vecteur propre linéairement indépendant \(v\), vous avez également besoin d'un vecteur propre généralisé \(w\) résolvant \( (A - \lambda I) w = v \). La solution générale prend alors la forme \( \mathbf{x}(t) = c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t} \). Si l'espace propre est de dimension deux, la matrice est un multiple scalaire de l'identité sur ce sous-espace invariant et la solution se réduit à \( \mathbf{x}(t) = (c_1 v_1 + c_2 v_2) e^{\lambda t} \).

Cet outil peut-il résoudre des systèmes non linéaires de manière symbolique ?

Le mode non linéaire résout le système numériquement en utilisant un intégrateur Runge–Kutta d'ordre 4 (RK4) et trace le portrait de phase. La plupart des systèmes non linéaires n'ont pas de solution sous forme fermée, c'est donc l'approche standard. Vous pouvez toujours déduire le comportement local près des équilibres par linéarisation, ce que le mode linéaire 2×2 gère — calculez le Jacobien au point fixe et utilisez-le comme matrice \(A\).

Qu'est-ce qu'un portrait de phase ?

Un portrait de phase est une représentation géométrique des solutions d'un système 2D dans le plan \(x\)–\(y\). Chaque solution trace une courbe appelée trajectoire, et l'ensemble des trajectoires ainsi que les flèches du champ de vecteurs révèlent le comportement qualitatif : si les solutions spiralent vers l'intérieur, s'écartent en col, oscillent ou se fixent sur des équilibres. Les portraits de phase rendent la structure globale d'un système visible en un coup d'œil.

Lectures complémentaires

Citez ce contenu, cette page ou cet outil comme suit :

"Solveur de Systèmes EDO" sur https://MiniWebtool.com/fr/solveur-de-systemes-edo/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

Par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 23 avr. 2026

Vous pouvez également essayer notre Résolveur Mathématique IA GPT pour résoudre vos problèmes mathématiques grâce à des questions-réponses en langage naturel.

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