Calculateur de Distribution Géométrique

Calculateur de Distribution Géométrique

Le calculateur de distribution géométrique calcule les probabilités exactes du nombre d'essais de Bernoulli indépendants nécessaires pour obtenir le premier succès. Saisissez la probabilité de succès par essai et le numéro de l'essai (ou le nombre d'échecs) pour obtenir instantanément les probabilités ponctuelles et cumulatives, les solutions étape par étape, des visualisations animées de séquences d'essais, les graphiques PMF/CDF et un tableau de distribution complet. Les deux paramétrages — numéro de l'essai et échecs avant le succès — sont entièrement pris en charge.

Qu'est-ce que la distribution géométrique ?

La distribution géométrique est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre d'essais indépendants nécessaires pour obtenir le premier succès dans une séquence d'essais de Bernoulli. Chaque essai a la même probabilité p de succès et la même probabilité q = 1 − p d'échec. C'est l'analogue discret de la distribution exponentielle et c'est la seule distribution discrète possédant la propriété d'absence de mémoire.

Deux paramétrages courants

La distribution géométrique possède deux formes standard, ce qui provoque souvent des confusions. Ce calculateur prend en charge les deux :

• Paramétrage par essais (X) : X compte le numéro de l'essai lors duquel le premier succès survient. X prend les valeurs 1, 2, 3, … et P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. La moyenne est 1/p.
• Paramétrage par échecs (Y) : Y compte le nombre d'échecs avant le premier succès. Y prend les valeurs 0, 1, 2, … et P(Y = k) = (1 − p)^k × p. La moyenne est (1 − p)/p. Notez que Y = X − 1.

La formule PMF géométrique

Pour le paramétrage par essais (celui par défaut dans ce calculateur) :

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, pour k = 1, 2, 3, …

L'intuition est simple : les premiers (k − 1) essais doivent tous être des échecs (chacun avec une probabilité 1 − p), et le k-ième essai doit être un succès (probabilité p). Comme les essais sont indépendants, nous multiplions ces probabilités ensemble.

CDF (Fonction de distribution cumulative)

La CDF possède une expression analytique simple :

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Cela donne la probabilité que le premier succès survienne au cours des k premiers essais. Cela équivaut à 1 moins la probabilité que les k essais soient tous des échecs.

Moyenne, variance et autres statistiques

• Moyenne (Espérance) : E[X] = 1/p — En moyenne, il faut 1/p essais pour obtenir le premier succès.
• Variance : Var(X) = (1 − p) / p² — La variance est plus élevée lorsque p est petit (le succès est rare).
• Écart-type : σ = √((1 − p) / p²)
• Médiane : ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — Le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,5.
• Mode : Toujours 1 — Le résultat le plus probable est le succès au premier essai.
• Asymétrie (Skewness) : (2 − p) / √(1 − p) — Toujours positive (asymétrie à droite).

La propriété d'absence de mémoire

La distribution géométrique est la seule distribution discrète possédant la propriété d'absence de mémoire :

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Cela signifie que si vous avez déjà échoué s fois, la probabilité d'avoir besoin d'au moins t essais supplémentaires est la même que si vous repartiez de zéro. Les échecs passés ne modifient pas les probabilités futures — ce qui est logique puisque chaque essai est indépendant.

Applications courantes

• Lancer de pièce — Combien de lancers jusqu'au premier "face" ? Avec p = 0,5, le nombre attendu est de 2 lancers.
• Ventes et marketing — Combien d'appels à froid jusqu'à la première vente ? Si le taux de conversion est de 5 %, attendez-vous à environ 20 appels en moyenne.
• Contrôle qualité — Combien d'articles doivent être inspectés avant de trouver le premier défaut ? Modélise le temps d'attente pour les événements rares.
• Jeux de hasard — Combien de lancers d'un dé jusqu'à obtenir un 6 ? Avec p = 1/6, le nombre attendu est de 6 lancers.
• Fiabilité du réseau — Combien de transmissions de paquets jusqu'à ce qu'une réussisse ? Modélise les protocoles de retransmission dans les réseaux informatiques.
• Génétique — Combien de descendants jusqu'à ce qu'un individu avec un trait spécifique apparaisse ? S'applique lorsque l'héritage d'un trait suit les ratios mendéliens.

Relation avec d'autres distributions

• Binomiale négative : La distribution géométrique est un cas particulier de la distribution binomiale négative avec r = 1 (attente d'exactement 1 succès).
• Exponentielle : La distribution géométrique est l'analogue discret de la distribution exponentielle continue. Toutes deux possèdent la propriété d'absence de mémoire.
• Bernoulli : Chaque essai suit une distribution de Bernoulli. La distribution géométrique compte le nombre d'essais de Bernoulli jusqu'au premier succès.

Comment utiliser ce calculateur

1. Saisissez la probabilité de succès (p) par essai. Celle-ci doit être comprise entre 0 (exclu) et 1 (inclus).
2. Choisissez le paramétrage : numéro de l'essai (k = 1, 2, 3, …) ou échecs avant succès (k = 0, 1, 2, …).
3. Saisissez la valeur de k.
4. Cliquez sur "Calculer la probabilité" pour voir les probabilités exactes et cumulatives, les solutions étape par étape, une séquence d'essais animée, les graphiques PMF/CDF et le tableau de distribution complet.
5. Utilisez les boutons de scénarios rapides pour explorer instantanément des exemples concrets courants.

Questions fréquemment posées

À quoi sert la distribution géométrique ?

La distribution géométrique modélise le nombre d'essais indépendants nécessaires pour obtenir le premier succès. Elle est utilisée dès que vous souhaitez répondre à la question "Combien de fois dois-je essayer avant de réussir ?", en supposant que chaque tentative a la même probabilité de succès. Les applications courantes incluent l'analyse des appels de vente, l'inspection de la qualité, les jeux de hasard, la retransmission réseau et la génétique.

Quelle est la différence entre les deux paramétrages ?

Le paramétrage par essais compte le numéro de l'essai du premier succès (en commençant par 1), tandis que le paramétrage par échecs compte le nombre d'échecs avant le premier succès (en commençant par 0). Ils diffèrent d'exactement 1 : si X est le numéro de l'essai, alors Y = X − 1 est le nombre d'échecs. Les deux donnent la même valeur de probabilité pour le k correspondant.

Qu'est-ce que la propriété d'absence de mémoire ?

La propriété d'absence de mémoire signifie que les échecs passés n'affectent pas la probabilité d'un succès futur. Si vous avez déjà lancé une pièce équilibrée 10 fois sans obtenir face, la probabilité d'avoir besoin d'exactement 1 lancer supplémentaire est toujours de 0,5 — la pièce ne se "souvient" pas des lancers passés. La distribution géométrique est la seule distribution discrète possédant cette propriété.

Quel est le lien entre la distribution géométrique et la binomiale négative ?

La distribution géométrique est un cas particulier de la distribution binomiale négative où l'on attend exactement r = 1 succès. La binomiale négative généralise cela à l'attente de r succès, où r peut être n'importe quel entier positif.

Pourquoi le mode est-il toujours 1 ?

Le mode est toujours 1 (ou 0 dans le paramétrage par échecs) car le résultat individuel le plus probable est le succès dès le tout premier essai — cela correspond à la probabilité p, qui est la valeur la plus élevée possible de la PMF. Chaque essai subséquent a une probabilité strictement inférieure car il nécessite d'abord un échec supplémentaire.

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