Calcolatore Distribuzione Binomiale Negativa

Calcolatore Distribuzione Binomiale Negativa

Il Calcolatore della Distribuzione Binomiale Negativa calcola le probabilità esatte per il numero di fallimenti (o prove totali) necessari prima di ottenere un numero target di successi. Inserisci il numero di successi richiesti (r), la probabilità di successo per prova (p) e il tuo valore target (k) per ottenere probabilità puntuali e cumulative, soluzioni passo-passo, grafici interattivi e una visualizzazione della sequenza di prove.

Cos'è la distribuzione binomiale negativa?

La distribuzione binomiale negativa è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di fallimenti prima che si verifichi un numero specificato di successi in una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti. Ogni prova ha la stessa probabilità di successo p. Risponde a domande come "Quante telefonate di vendita fallite farò prima di chiudere il mio 5° contratto?" o "Quanti articoli difettosi ispezionerò prima di trovarne 10 buoni?"

La distribuzione prende il nome dall'espansione della serie binomiale negativa utilizzata nella sua derivazione. Generalizza la distribuzione geometrica, che è il caso speciale in cui r = 1 (un solo successo richiesto).

Due parametrizzazioni comuni

La distribuzione binomiale negativa ha due formulazioni equivalenti che differiscono in ciò che conta la variabile casuale:

• Parametrizzazione dei fallimenti (X): X conta solo i fallimenti prima dell'r-esimo successo. X può essere 0, 1, 2, 3, ... La PMF è P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Parametrizzazione delle prove (Y): Y conta il numero totale di prove (sia successi che fallimenti) fino all'r-esimo successo. Y può essere r, r+1, r+2, ... La relazione è Y = X + r.

Questo calcolatore supporta entrambe. Usa il selettore per passare dall'inserimento di k come numero di fallimenti o come numero totale di prove.

La formula della PMF binomiale negativa

Nella parametrizzazione dei fallimenti, la funzione di massa di probabilità è:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Dove C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) è il coefficiente binomiale. Il termine C(k + r − 1, r − 1) conta il numero di modi per disporre k fallimenti e r − 1 successi nelle prime k + r − 1 prove (l'ultima prova deve essere un successo). Il termine p^r è la probabilità di r successi, e (1 − p)^k è la probabilità di k fallimenti.

Media, varianza e altre statistiche

Per la variabile casuale binomiale negativa X (parametrizzazione dei fallimenti) con parametri r e p:

• Media: μ = r(1 − p) / p
• Varianza: σ² = r(1 − p) / p²
• Deviazione standard: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Moda: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ quando r > 1; 0 quando r = 1
• Asimmetria: (2 − p) / √(r(1 − p))

Per la parametrizzazione delle prove Y = X + r, la media si sposta a r/p e la varianza rimane la stessa.

Relazione con altre distribuzioni

• Distribuzione geometrica: Il caso speciale con r = 1. Modella il numero di fallimenti prima del primo successo.
• Distribuzione binomiale: Mentre la binomiale fissa il numero di prove e conta i successi, la binomiale negativa fissa il numero di successi e conta le prove/fallimenti.
• Distribuzione di Poisson: La binomiale negativa può essere vista come una miscela Poisson-Gamma. Quando r → ∞ e p → 1 mantenendo r(1 − p)/p costante, la binomiale negativa si approssima a una distribuzione di Poisson.

Applicazioni comuni

• Vendite e marketing — Quante chiamate finché un venditore non chiude il numero target di contratti, dato un tasso di conversione noto?
• Controllo qualità — Quanti articoli devono essere ispezionati per trovare un numero target di unità conformi?
• Studi clinici — Quanti pazienti devono essere arruolati prima di ottenere un numero target di risposte positive?
• Assicurazione — Modellazione del conteggio dei sinistri quando la varianza supera la media (sovradispersione rispetto alla Poisson).
• Ecologia — Modellazione dei dati sull'abbondanza delle specie dove i conteggi mostrano una variabilità maggiore di quella consentita da un modello di Poisson.
• Analisi sportiva — Quanti tiri o tentativi finché un atleta non raggiunge un numero target di risultati positivi?

Come usare questo calcolatore

1. Inserisci r, il numero di successi che vuoi ottenere (r ≥ 1).
2. Inserisci p, la probabilità di successo in ogni prova (0 < p ≤ 1).
3. Seleziona la modalità di input: se k rappresenta il numero di fallimenti o il numero totale di prove.
4. Inserisci k, il valore specifico per cui vuoi trovare la probabilità.
5. Clicca su "Calcola Probabilità" per vedere le probabilità esatte e cumulative, le soluzioni combinatorie passo-passo, una visualizzazione della sequenza di prove, i grafici PMF/CDF e la tabella di distribuzione completa.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra la distribuzione binomiale negativa e quella binomiale?

La distribuzione binomiale fissa il numero di prove e conta il numero casuale di successi. La binomiale negativa fissa il numero di successi e conta il numero casuale di prove (o fallimenti). Esse rispondono a domande complementari: la binomiale chiede "Quanti successi in n prove?" mentre la binomiale negativa chiede "Quante prove fino a r successi?"

Quando dovrei usare la binomiale negativa invece della distribuzione di Poisson?

Usa la binomiale negativa quando i tuoi dati di conteggio mostrano sovradispersione — ovvero quando la varianza è maggiore della media. La distribuzione di Poisson assume media e varianza uguali. La binomiale negativa ha un parametro extra che consente alla varianza di superare la media, rendendola più adatta a molti set di dati di conteggio del mondo reale.

Cosa significa quando r = 1?

Quando r = 1, la binomiale negativa si riduce alla distribuzione geometrica, che modella il numero di fallimenti prima del primo successo. Ad esempio, il numero di lanci di moneta che mostrano croce prima della prima testa.

p può essere uguale a 0 o 1?

La probabilità p deve essere strettamente maggiore di 0. Se p = 0, il successo è impossibile quindi servirebbero infinite prove. Se p = 1, ogni prova è un successo, quindi ci sono sempre 0 fallimenti e la distribuzione è degenere (tutta la massa di probabilità è in k = 0). Questo calcolatore accetta p = 1 come caso speciale.

Come viene usata la binomiale negativa nella regressione?

La regressione binomiale negativa è una generalizzazione della regressione di Poisson utilizzata quando i dati di conteggio presentano sovradispersione. Aggiunge un parametro di dispersione che consente alla varianza condizionale di superare la media condizionale. Le applicazioni comuni includono la modellazione del numero di visite ospedaliere, la frequenza degli incidenti stradali e i dati sull'abbondanza delle specie.

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