Calculatrice de fractions continues

Bienvenue sur la Calculatrice de fractions continues — un outil puissant qui convertit tout nombre décimal, fraction ou racine carrée en sa représentation sous forme de fraction continue. Observez la célèbre notation [a₀; a₁, a₂, ...], explorez les approximations rationnelles (réduites) et visualisez de manière interactive la structure imbriquée des fractions.

Qu'est-ce qu'une fraction continue ?

Une fraction continue est une manière d'exprimer un nombre comme une suite imbriquée de parties entières et de fractions :

Où a₀, a₁, a₂, ... sont des entiers non négatifs appelés quotients partiels. La notation standard est [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Quelques exemples remarquables :

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — le 292 signifie que pi est extrêmement bien approché par 355/113
• φ (nombre d'or) = [1; 1, 1, 1, ...] — la fraction continue qui converge le plus lentement
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — périodique, comme prédit par le théorème de Lagrange
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — un motif magnifique

Comment fonctionne l'algorithme

Pour tout nombre décimal x

1. Calculer a₀ = ⌊x⌋ (partie entière de x)
2. Définir x₁ = 1/(x − a₀), puis calculer a₁ = ⌊x₁⌋
3. Répéter : xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. S'arrêter quand la partie fractionnaire est nulle (rationnel) ou quand vous avez assez de termes

Pour une fraction p/q (Algorithme d'Euclide)

Pour une fraction, l'algorithme est identique à l'algorithme d'Euclide pour le PGCD :

Chaque étape de division de l'algorithme d'Euclide produit un quotient partiel de la fraction continue.

Réduites : Meilleures approximations rationnelles

Les réduites pₙ/qₙ sont obtenues en tronquant la fraction continue à chaque étape. Elles possèdent une propriété remarquable : pₙ/qₙ est la meilleure approximation rationnelle de x avec un dénominateur ≤ qₙ.

Fractions continues périodiques

D'après le théorème de Lagrange, un nombre réel a une fraction continue périodique si et seulement si c'est un irrationnel quadratique (solution d'une équation quadratique à coefficients entiers). Cela inclut toutes les racines carrées d'entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.

• √2 = [1; 2] — période de longueur 1
• √3 = [1; 1, 2] — période de longueur 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — période de longueur 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — période de longueur 16

Comment utiliser cette calculatrice

1. Saisissez une valeur : décimal (ex: 2.71828), fraction (ex: 355/113) ou racine carrée (ex: sqrt(7))
2. Réglez le nombre max de termes : plus de termes fournissent plus de quotients partiels et de réduites
3. Cliquez sur Calculer : visualisez la notation FC, les termes animés, la visualisation imbriquée, le tableau des réduites et les étapes d'Euclide (pour les fractions)

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'une fraction continue ?

Une fraction continue est une expression de la forme a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) où a₀, a₁, a₂, ... sont des entiers appelés quotients partiels. Tout nombre réel possède un développement en fraction continue. Les nombres rationnels ont des développements finis ; les nombres irrationnels ont des développements infinis. Les irrationnels quadratiques (comme les racines carrées) ont des développements périodiques.

Comment convertir un nombre décimal en fraction continue ?

Prenez la partie entière comme premier terme. Soustrayez-la du nombre, prenez l'inverse et recommencez. Par exemple, π ≈ 3.14159... : partie entière = 3, reste = 0.14159..., inverse = 7.062..., partie entière = 7, reste = 0.062..., inverse = 15.996..., partie entière = 15, ce qui donne [3; 7, 15, ...].

Pourquoi sqrt(2) a-t-il une fraction continue périodique ?

Selon le théorème de Lagrange, un nombre réel possède une fraction continue périodique précisément lorsqu'il s'agit d'un irrationnel quadratique. √2 satisfait x² = 2, c'est donc un irrationnel quadratique, donnant [1; 2, 2, 2, ...]. Le nombre d'or φ = (1 + √5)/2 donne [1; 1, 1, 1, ...] — la période la plus simple possible.

Que sont les réduites et pourquoi sont-elles importantes ?

Les réduites sont les fractions obtenues en tronquant la fraction continue. Ce sont les meilleures approximations rationnelles — aucune fraction avec un dénominateur plus petit n'est plus proche du nombre cible. C'est pourquoi 22/7 et 355/113 sont des approximations célèbres de π : ce sont des réduites de la fraction continue de π.

Quel est le rapport entre l'algorithme des fractions continues et l'algorithme d'Euclide ?

Lorsque l'entrée est une fraction p/q, le calcul de sa fraction continue est identique à l'algorithme du PGCD d'Euclide. Chaque étape de calcul du reste et du quotient produit exactement un quotient partiel. La fraction continue se termine précisément lorsque le PGCD est trouvé.

Ressources additionnelles

• Fraction continue - Wikipédia
• Algorithme d'Euclide - Wikipédia