Solveur EDO du Second Ordre

Solveur EDO du Second Ordre

Le Solveur d'EDO du second ordre prend une équation différentielle ordinaire linéaire de la forme a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) avec des coefficients réels constants, dérive automatiquement son équation caractéristique, classifie le régime d'amortissement (sur-amorti, amortissement critique, sous-amorti, non amorti ou instable) et produit à la fois une solution symbolique sous forme close et une solution numérique de haute précision. Le résultat interactif associe un tracé temporel à double courbe de y(x) et y′(x) avec une trajectoire dans le plan de phase de (y, y′) — une vue qui expose le régime d'un coup d'œil : spirale entrante pour le sous-amortissement, nœud entrant pour le sur-amortissement, boucle fermée pour le non-amortissement, spirale sortante pour l'instabilité.

Qu'est-ce qu'une EDO linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Une équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre à coefficients constants réels est une équation de la forme

où a ≠ 0, b, c sont des constantes réelles et g(x) est le terme de forcage. Deux conditions initiales y(x₀) = y₀ et y′(x₀) = y′₀ transforment cela en un problème à valeur initiale avec une solution unique au voisinage de x₀ — cela découle du théorème de Picard-Lindelöf appliqué au système de premier ordre équivalent.

Si g(x) = 0, l'équation est homogène. Sinon, elle est non homogène, et la solution complète se décompose en

où y_h est la solution générale de l'équation homogène associée (contient deux constantes libres) et y_p est n'importe quelle solution particulière de l'équation complète. L'application des deux conditions initiales fixe les deux constantes libres.

L'équation caractéristique

Deviner y = e^(r·x) dans l'équation homogène donne l'équation caractéristique (ou auxiliaire)

une équation quadratique dont le discriminant Δ = b² − 4ac contrôle l'ensemble du comportement qualitatif :

Trois cas de racines & régime d'amortissement

Méthode des coefficients indéterminés (cas non homogène)

Lorsque g(x) prend l'une des formes simples suivantes, la méthode des coefficients indéterminés fournit une solution particulière en supposant un essai de la même forme avec des coefficients inconnus et en les résolvant :

• Constante g(x) = k. Essai : y_p = K. Si c = 0 multiplier par x ; si b = 0 aussi, multiplier à nouveau par x.
• Polynôme de degré n. Essai : polynôme général de degré n. Multiplier par x ou x² si le terme constant ou linéaire entre en résonance.
• Exponentielle g(x) = A·e^(k·x). Essai : y_p = K·e^(k·x). Si k coïncide avec une racine caractéristique, multiplier par x (racine simple) ou x² (racine double) — c'est la résonance.
• Sinusoïdale g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x). Essai : y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x). Multiplier par x si iω est une racine (résonance de fréquence pure).
• Les produits et les sommes suivent par linéarité et la règle du produit.

Lire le plan de phase

Le système de premier ordre équivalent est u = y, v = y′ avec u′ = v et v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Tracer v par rapport à u de manière paramétrique en x donne la trajectoire dans le plan de phase. Pour les systèmes autonomes homogènes (pas de x dans g), les orbites sont uniquement déterminées par leur point de départ (y₀, y′₀) et révèlent le régime d'un coup d'œil :

• Sous-amorti : la trajectoire s'enroule en spirale vers l'origine.
• Sur-amorti : la trajectoire s'approche de l'origine le long d'une ligne invariante (vecteur propre lent).
• Amortissement critique : nœud dégénéré, trajectoire tangente au vecteur propre unique.
• Non amorti : ellipse fermée encerclant l'origine — oscillation perpétuelle.
• Instable : la trajectoire s'éloigne en spirale ou part vers l'infini.

Exemple concret : oscillateur harmonique amorti piloté

Considérons l'équation y″ + 2·y′ + 5·y = 10 avec y(0) = 0, y′(0) = 0 — un système sous-amorti piloté.

1. Équation caractéristique : r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
2. Solution homogène : y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
3. Solution particulière pour un forcage constant g = 10 : essayez y_p = K, donc 5K = 10, ce qui donne y_p = 2.
4. Appliquer les CI : y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
5. Réponse finale : y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — oscille avec une enveloppe décroissante et une limite y → 2.

Comment utiliser cette calculatrice

1. Entrez les coefficients a, b, c sur la première ligne. a doit être différent de zéro (sinon l'équation est de premier ordre).
2. Saisissez le terme de forcage g(x), ou laissez-le à 0 pour un problème homogène. Les solutions particulières sous forme close sont dérivées pour les constantes, les polynômes jusqu'au degré 2 et les exponentielles uniques A·e^(k·x) y compris le cas de résonance.
3. Fournissez les conditions initiales (x₀, y₀, y′₀). y et y′ en x₀ doivent être spécifiés car l'équation est du second ordre.
4. Choisissez la plage de x pour les tracés. Le solveur intègre vers l'extérieur à partir de x₀ dans les deux directions de x en utilisant RK4.
5. Cliquez sur Résoudre & Visualiser. Vous obtenez l'équation caractéristique avec ses racines sur le plan complexe, la classification du régime d'amortissement, les solutions homogènes et particulières sous forme close, un tracé temporel à double courbe de y et y′, et la trajectoire du plan de phase.

Applications courantes

• Systèmes mécaniques ressort-masse-amortisseur : m·x″ + c·x′ + k·x = F(t). Sur-amorti, amorti critique et sous-amorti correspondent à différents rapports d'amortissement ζ = c/(2·√(m·k)).
• Circuits électriques RLC : les circuits RLC en série obéissent à L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) — structure identique, symboles différents.
• Pendule (petits angles) : θ″ + (g/L)·θ = 0 donne un mouvement harmonique simple ; l'ajout d'une résistance à l'air donne une oscillation amortie.
• Réponse des bâtiments aux tremblements de terre : structure à un seul degré de liberté avec l'accélération de la base comme terme de forcage.
• Systèmes asservis à contrôle PID : la dynamique de l'erreur en boucle fermée se réduit à une EDO du second ordre dont le rapport d'amortissement régit le dépassement.
• Modèles de population avec inertie : croissance économique avec retard d'accumulation de capital, ou modèles écologiques avec réponse retardée.

Méthode numérique — Runge-Kutta classique (RK4) sur le système 2D

L'outil réduit a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) au système de premier ordre

avec u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. Le Runge-Kutta à quatre étapes est ensuite appliqué à l'état vectoriel (u, v). RK4 a une erreur de troncature locale de O(h⁵) et une erreur globale de O(h⁴) ; les 400 sous-étapes par défaut dans chaque direction donnent une précision d'environ six chiffres pour les problèmes non raides.

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'une EDO linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Une EDO linéaire du second ordre à coefficients constants a la forme a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), où a, b, c sont des constantes réelles et g(x) est le terme de forcage (non homogène). Avec deux conditions initiales y(x₀) = y₀ et y′(x₀) = y′₀, la solution est unique. Le cas homogène g(x) = 0 admet toujours une solution sous forme close via l'équation caractéristique a·r² + b·r + c = 0 ; le cas non homogène est résolu comme y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Qu'est-ce que l'équation caractéristique ?

Pour a·y″ + b·y′ + c·y = 0, substituer l'ansatz y = e^(r·x) donne a·r² + b·r + c = 0 — l'équation caractéristique ou auxiliaire. Ses racines déterminent la forme de la solution homogène : deux racines réelles distinctes donnent y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x) ; une racine répétée r donne y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x) ; des racines complexes conjuguées α ± β·i donnent y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

Que signifient sous-amorti, amortissement critique et sur-amorti ?

La terminologie provient du modèle ressort-masse-amortisseur m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Sur-amorti (discriminant > 0, deux racines réelles) signifie que le système revient à l'équilibre lentement sans oscillation. Amortissement critique (discriminant = 0, racine répétée) est le retour le plus rapide sans dépassement. Sous-amorti (discriminant < 0, racines complexes) donne une oscillation décroissante. Non amorti (b = 0, c/a > 0) donne une oscillation sinusoïdale pure indéfiniment.

Qu'est-ce que la méthode des coefficients indéterminés ?

Pour un forcage simple g(x) — constantes, polynômes, exponentielles, sinus, cosinus et leurs produits — la solution particulière y_p est supposée avoir la même forme que g avec des coefficients inconnus, qui sont déterminés en substituant dans l'EDO et en faisant correspondre les termes. L'essai doit être multiplié par x (ou x² pour les racines doubles) lorsque g(x) entre en résonance avec une racine caractéristique.

Qu'est-ce qu'un plan de phase ?

Pour une équation du second ordre réduite au système 2D (y, y'), le plan de phase trace y′ par rapport à y à mesure que x avance. Les courbes de solution dans le plan de phase révèlent le régime d'un coup d'œil : spirales décroissantes pour le sous-amortissement, nœuds entrants pour le sur-amortissement, ellipses fermées pour le mouvement harmonique non amorti et spirales sortantes pour l'oscillation instable. C'est l'homologue géométrique du diagramme des racines de l'équation caractéristique.

Quelle méthode numérique cet outil utilise-t-il ?

La méthode classique de Runge-Kutta d'ordre quatre (RK4) est appliquée au système de premier ordre équivalent u = y, v = y′, avec u′ = v et v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. RK4 a une erreur de troncature locale de O(h⁵) et les 400 sous-étapes par direction par défaut donnent une précision d'environ six chiffres pour les équations non raides sur la fenêtre choisie.

Lectures complémentaires

• Équation différentielle linéaire — Wikipédia
• Équation caractéristique — Wikipédia
• Méthode des coefficients indéterminés — Wikipédia
• Oscillateur harmonique — Wikipédia
• Plan de phase — Wikipédia
• Méthodes de Runge-Kutta — Wikipédia