Kalkulator Distribusi Binomial Negatif

Tentang Kalkulator Distribusi Binomial Negatif

Kalkulator Distribusi Binomial Negatif menghitung probabilitas eksak untuk jumlah kegagalan (atau total percobaan) yang diperlukan sebelum mencapai jumlah target keberhasilan. Masukkan jumlah keberhasilan yang dibutuhkan (r), probabilitas keberhasilan per percobaan (p), dan nilai target Anda (k) untuk mendapatkan probabilitas titik dan kumulatif, solusi langkah demi langkah, grafik interaktif, dan visualisasi urutan percobaan.

Apa Itu Distribusi Binomial Negatif?

Distribusi binomial negatif adalah distribusi probabilitas diskrit yang memodelkan jumlah kegagalan sebelum jumlah keberhasilan tertentu terjadi dalam serangkaian percobaan Bernoulli yang independen. Setiap percobaan memiliki probabilitas keberhasilan p yang sama. Ini menjawab pertanyaan seperti "Berapa banyak panggilan penjualan yang gagal akan saya lakukan sebelum menutup kesepakatan ke-5 saya?" atau "Berapa banyak item cacat yang akan saya periksa sebelum menemukan 10 item yang baik?"

Nama distribusi ini diambil dari ekspansi deret binomial negatif yang digunakan dalam penurunannya. Ini menggeneralisasi distribusi geometrik, yang merupakan kasus khusus di mana r = 1 (satu keberhasilan dibutuhkan).

Dua Parameterisasi Umum

Distribusi binomial negatif memiliki dua formulasi setara yang berbeda dalam apa yang dihitung oleh variabel acak:

• Parameterisasi kegagalan (X): X hanya menghitung kegagalan sebelum keberhasilan ke-r. X bisa bernilai 0, 1, 2, 3, ... PMF-nya adalah P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Parameterisasi percobaan (Y): Y menghitung jumlah total percobaan (baik keberhasilan maupun kegagalan) sampai keberhasilan ke-r. Y bisa bernilai r, r+1, r+2, ... Hubungannya adalah Y = X + r.

Kalkulator ini mendukung keduanya. Gunakan toggle untuk beralih antara memasukkan k sebagai jumlah kegagalan atau jumlah total percobaan.

Rumus PMF Binomial Negatif

Dalam parameterisasi kegagalan, fungsi massa probabilitas adalah:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Di mana C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) adalah koefisien binomial. Istilah C(k + r − 1, r − 1) menghitung jumlah cara untuk menyusun k kegagalan dan r − 1 keberhasilan dalam k + r − 1 percobaan pertama (percobaan terakhir harus berupa keberhasilan). Istilah p^r adalah probabilitas r keberhasilan, dan (1 − p)^k adalah probabilitas k kegagalan.

Mean, Varians, dan Statistik Lainnya

Untuk variabel acak binomial negatif X (parameterisasi kegagalan) dengan parameter r dan p:

• Mean (Rata-rata): μ = r(1 − p) / p
• Varians: σ² = r(1 − p) / p²
• Simpangan Baku: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Modus: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ ketika r > 1; 0 ketika r = 1
• Kemiringan (Skewness): (2 − p) / √(r(1 − p))

Untuk parameterisasi percobaan Y = X + r, mean bergeser menjadi r/p dan varians tetap sama.

Hubungan dengan Distribusi Lain

• Distribusi geometrik: Kasus khusus dengan r = 1. Memodelkan jumlah kegagalan sebelum keberhasilan pertama.
• Distribusi binomial: Jika binomial menetapkan jumlah percobaan dan menghitung keberhasilan, binomial negatif menetapkan jumlah keberhasilan dan menghitung percobaan/kegagalan.
• Distribusi Poisson: Binomial negatif dapat dilihat sebagai campuran Poisson-Gamma. Saat r → ∞ dan p → 1 sambil menjaga r(1 − p)/p konstan, binomial negatif mendekati distribusi Poisson.

Aplikasi Umum

• Penjualan dan pemasaran — Berapa banyak panggilan sampai tenaga penjual menutup target jumlah kesepakatan, dengan tingkat konversi yang diketahui?
• Kontrol kualitas — Berapa banyak item yang harus diperiksa untuk menemukan target jumlah unit yang sesuai?
• Uji klinis — Berapa banyak pasien yang perlu didaftarkan sebelum mendapatkan target jumlah respons positif?
• Asuransi — Memodelkan jumlah klaim ketika varians melebihi mean (overdispersi relatif terhadap Poisson).
• Ekologi — Memodelkan data kelimpahan spesies di mana hitungan menunjukkan variabilitas lebih besar daripada yang dimungkinkan model Poisson.
• Analitik olahraga — Berapa banyak tembakan atau percobaan sampai seorang atlet mencapai target jumlah hasil yang sukses?

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan r, jumlah keberhasilan yang ingin Anda capai (r ≥ 1).
2. Masukkan p, probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan (0 < p ≤ 1).
3. Pilih mode input: apakah k mewakili jumlah kegagalan atau jumlah total percobaan.
4. Masukkan k, nilai spesifik yang ingin Anda cari probabilitasnya.
5. Klik "Hitung Probabilitas" untuk melihat probabilitas eksak dan kumulatif, solusi kombinatorial langkah demi langkah, visualisasi urutan percobaan, grafik PMF/CDF, dan tabel distribusi lengkap.

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

Apa perbedaan antara distribusi binomial negatif dan binomial?

Distribusi binomial menetapkan jumlah percobaan dan menghitung angka acak keberhasilan. Binomial negatif menetapkan jumlah keberhasilan dan menghitung angka acak percobaan (atau kegagalan). Mereka menjawab pertanyaan yang saling melengkapi: binomial bertanya "Berapa banyak keberhasilan dalam n percobaan?" sementara binomial negatif bertanya "Berapa banyak percobaan sampai r keberhasilan?"

Kapan saya harus menggunakan binomial negatif alih-alih distribusi Poisson?

Gunakan binomial negatif ketika data hitungan Anda menunjukkan overdispersi — yaitu ketika varians lebih besar dari mean. Distribusi Poisson mengasumsikan mean dan varians yang sama. Binomial negatif memiliki parameter tambahan yang memungkinkan varians melebihi mean, menjadikannya lebih cocok untuk banyak kumpulan data hitungan dunia nyata.

Apa artinya jika r = 1?

Ketika r = 1, binomial negatif tereduksi menjadi distribusi geometrik, yang memodelkan jumlah kegagalan sebelum keberhasilan pertama. Misalnya, jumlah lemparan koin yang menunjukkan gambar sebelum angka pertama muncul.

Bisakah p sama dengan 0 atau 1?

Probabilitas p harus lebih besar dari 0 secara ketat. Jika p = 0, keberhasilan tidak mungkin terjadi sehingga Anda membutuhkan percobaan tak terhingga. Jika p = 1, setiap percobaan adalah keberhasilan, sehingga selalu ada 0 kegagalan dan distribusi tersebut bersifat degenerasi (semua massa probabilitas berada pada k = 0). Kalkulator ini menerima p = 1 sebagai kasus khusus.

Bagaimana binomial negatif digunakan dalam regresi?

Regresi binomial negatif adalah generalisasi dari regresi Poisson yang digunakan ketika data hitungan menunjukkan overdispersi. Ini menambahkan parameter dispersi yang memungkinkan varians kondisional melebihi mean kondisional. Aplikasi umum termasuk memodelkan jumlah kunjungan rumah sakit, frekuensi kecelakaan lalu lintas, dan data kelimpahan spesies.