Calculadora de Distribución Binomial Negativa

Calculadora de Distribución Binomial Negativa

La Calculadora de Distribución Binomial Negativa calcula probabilidades exactas para el número de fracasos (o ensayos totales) necesarios antes de lograr un número objetivo de éxitos. Ingrese el número de éxitos necesarios (r), la probabilidad de éxito por ensayo (p) y su valor objetivo (k) para obtener probabilidades puntuales y acumuladas, soluciones paso a paso, gráficos interactivos y una visualización de la secuencia de ensayos.

¿Qué es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de fracasos antes de que ocurra un número específico de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Responde a preguntas como "¿Cuántas llamadas de ventas fallidas haré antes de cerrar mi quinto trato?" o "¿Cuántos artículos defectuosos inspeccionaré antes de encontrar 10 buenos?".

La distribución recibe su nombre de la expansión de la serie binomial negativa utilizada en su derivación. Generaliza la distribución geométrica, que es el caso especial donde r = 1 (se necesita un éxito).

Dos parametrizaciones comunes

La distribución binomial negativa tiene dos formulaciones equivalentes que difieren en lo que cuenta la variable aleatoria:

• Parametrización de fracasos (X): X cuenta solo los fracasos antes del r-ésimo éxito. X puede ser 0, 1, 2, 3, ... La PMF es P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Parametrización de ensayos (Y): Y cuenta el número total de ensayos (tanto éxitos como fracasos) hasta el r-ésimo éxito. Y puede ser r, r+1, r+2, ... La relación es Y = X + r.

Esta calculadora admite ambas. Use el interruptor para cambiar entre ingresar k como el número de fracasos o el número total de ensayos.

La fórmula de la PMF binomial negativa

En la parametrización de fracasos, la función de masa de probabilidad es:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Donde C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) es el coeficiente binomial. El término C(k + r − 1, r − 1) cuenta el número de formas de organizar k fracasos y r − 1 éxitos en los primeros k + r − 1 ensayos (el último ensayo debe ser un éxito). El término p^r es la probabilidad de r éxitos, y (1 − p)^k es la probabilidad de k fracasos.

Media, varianza y otras estadísticas

Para la variable aleatoria binomial negativa X (parametrización de fracasos) con parámetros r y p:

• Media: μ = r(1 − p) / p
• Varianza: σ² = r(1 − p) / p²
• Desviación estándar: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Moda: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ cuando r > 1; 0 cuando r = 1
• Asimetría: (2 − p) / √(r(1 − p))

Para la parametrización de ensayos Y = X + r, la media cambia a r/p y la varianza permanece igual.

Relación con otras distribuciones

• Distribución geométrica: El caso especial con r = 1. Modela el número de fracasos antes del primer éxito.
• Distribución binomial: Mientras que la binomial fija el número de ensayos y cuenta los éxitos, la binomial negativa fija el número de éxitos y cuenta los ensayos/fracasos.
• Distribución de Poisson: La binomial negativa puede verse como una mezcla de Poisson-Gamma. A medida que r → ∞ y p → 1 manteniendo r(1 − p)/p constante, la binomial negativa se aproxima a una distribución de Poisson.

Aplicaciones comunes

• Ventas y marketing — ¿Cuántas llamadas hasta que un vendedor cierra su número objetivo de tratos, dada una tasa de conversión conocida?
• Control de calidad — ¿Cuántos artículos deben inspeccionarse para encontrar un número objetivo de unidades conformes?
• Ensayos clínicos — ¿Cuántos pacientes deben inscribirse antes de obtener un número objetivo de respuestas positivas?
• Seguros — Modelado de recuentos de reclamaciones cuando la varianza excede la media (sobredispersión relativa a Poisson).
• Ecología — Modelado de datos de abundancia de especies donde los recuentos muestran más variabilidad de la que permite un modelo de Poisson.
• Análisis deportivo — ¿Cuántos tiros o intentos hasta que un atleta alcanza un número objetivo de resultados exitosos?

Cómo usar esta calculadora

1. Ingrese r, el número de éxitos que desea lograr (r ≥ 1).
2. Ingrese p, la probabilidad de éxito en cada ensayo (0 < p ≤ 1).
3. Seleccione el modo de entrada: si k representa el número de fracasos o el número total de ensayos.
4. Ingrese k, el valor específico para el cual desea encontrar la probabilidad.
5. Haga clic en "Calcular probabilidad" para ver las probabilidades exactas y acumuladas, soluciones combinatorias paso a paso, una visualización de la secuencia de ensayos, gráficos PMF/CDF y la tabla de distribución completa.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre las distribuciones binomial negativa y binomial?

La distribución binomial fija el número de ensayos y cuenta el número aleatorio de éxitos. La binomial negativa fija el número de éxitos y cuenta el número aleatorio de ensayos (o fracasos). Responden a preguntas complementarias: la binomial pregunta "¿Cuántos éxitos en n ensayos?" mientras que la binomial negativa pregunta "¿Cuántos ensayos hasta r éxitos?".

¿Cuándo debo usar la binomial negativa en lugar de la distribución de Poisson?

Use la binomial negativa cuando sus datos de recuento muestren sobredispersión, es decir, cuando la varianza sea mayor que la media. La distribución de Poisson supone media y varianza iguales. La binomial negativa tiene un parámetro adicional que permite que la varianza supere a la media, lo que la convierte en un mejor ajuste para muchos conjuntos de datos de recuento del mundo real.

¿Qué significa cuando r = 1?

Cuando r = 1, la binomial negativa se reduce a la distribución geométrica, que modela el número de fracasos antes del primer éxito. Por ejemplo, el número de lanzamientos de moneda que muestran cruz antes de la primera cara.

¿Puede p ser igual a 0 o 1?

La probabilidad p debe ser estrictamente mayor que 0. Si p = 0, el éxito es imposible, por lo que se necesitarían infinitos ensayos. Si p = 1, cada ensayo es un éxito, por lo que siempre hay 0 fracasos y la distribución es degenerada (toda la masa de probabilidad en k = 0). Esta calculadora acepta p = 1 como un caso especial.

¿Cómo se utiliza la binomial negativa en la regresión?

La regresión binomial negativa es una generalización de la regresión de Poisson que se utiliza cuando los datos de recuento exhiben sobredispersión. Agrega un parámetro de dispersión que permite que la varianza condicional supere a la media condicional. Las aplicaciones comunes incluyen el modelado de recuentos de visitas al hospital, frecuencias de accidentes de tráfico y datos de abundancia de especies.

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