Calculateur de Décomposition de Cholesky

Calculateur de Décomposition de Cholesky

Le calculateur de décomposition de Cholesky factorise une matrice symétrique définie positive A en produit d'une matrice triangulaire inférieure L et de sa transposée Lᵀ, de sorte que A = LLᵀ. Cette factorisation est fondamentale en algèbre linéaire numérique, offrant environ deux fois l'efficacité de la décomposition LU générale en exploitant la symétrie et le caractère défini positif de la matrice d'entrée. Le calculateur propose des dérivations animées étape par étape, une surbrillance interactive des cellules et une vérification automatique que LLᵀ reconstitue bien A.

How Cholesky Decomposition Works

Given an n×n symmetric positive-definite matrix A, the algorithm computes L column by column. For each column j:

Diagonal element:

$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$

Off-diagonal elements (for i > j):

$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$

L'algorithme procède de gauche à droite, colonne par colonne. Chaque élément diagonal fait intervenir une racine carrée, garantie réelle et positive lorsque A est définie positive. Si une valeur négative apparaît sous la racine carrée, la matrice n'est pas définie positive.

Conditions for Cholesky Decomposition

Key Properties

How to Use the Cholesky Decomposition Calculator

1. Select matrix size — Choose from 2×2 up to 6×6. Cholesky decomposition requires a square matrix.
2. Saisir les valeurs — Remplissez les cellules de la matrice. Le calculateur reflète automatiquement les entrées de part et d'autre de la diagonale pour garantir la symétrie (modifier A[i,j] définit automatiquement A[j,i]).
3. Click Decompose — Press the "Decompose A = LLᵀ" button to compute the factorization.
4. Explorer le résultat — Examinez l'équation A = L × Lᵀ mise en couleur. Cliquez sur n'importe quelle cellule de L pour voir sa formule de dérivation. Utilisez « Tout lire » pour parcourir automatiquement chaque élément.
5. Vérifier — Le calculateur multiplie L × Lᵀ et indique l'erreur maximale, confirmant que la décomposition est correcte.

Real-World Applications

Cholesky vs Other Decompositions

Frequently Asked Questions

What is Cholesky decomposition?

La décomposition de Cholesky (du nom d'André-Louis Cholesky) factorise une matrice symétrique définie positive A en A = LLᵀ, où L est une matrice triangulaire inférieure à entrées diagonales positives. C'est l'une des factorisations matricielles les plus efficaces et les plus stables numériquement.

When can Cholesky decomposition be applied?

La matrice doit être symétrique (A = Aᵀ) et définie positive (toutes les valeurs propres strictement positives, ou de manière équivalente, xᵀAx > 0 pour tout vecteur non nul x). Les exemples courants incluent les matrices de covariance, les matrices de corrélation, les matrices de Gram (XᵀX pour X de rang plein) et les matrices de rigidité en génie des structures.

What if my matrix is not positive-definite?

Si la matrice n'est pas définie positive, vous rencontrerez une valeur négative sous une racine carrée pendant la décomposition, ce qui n'est pas un nombre réel. Le calculateur signalera une erreur indiquant précisément quelle étape diagonale a échoué. Vous pouvez vérifier votre matrice pour des erreurs de symétrie, ou envisager la décomposition LDLᵀ pour les matrices semi-définies positives.

How is Cholesky decomposition used to solve linear systems?

Pour résoudre Ax = b, décomposez d'abord A = LLᵀ. Résolvez ensuite Ly = b par substitution directe (puisque L est triangulaire inférieure), puis résolvez Lᵀx = y par substitution arrière. C'est environ deux fois plus rapide que la résolution par décomposition LU, car L et Lᵀ partagent les mêmes données.

Quelle est la relation entre Cholesky et le déterminant ?

Puisque A = LLᵀ, on a det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)². Et comme L est triangulaire, det(L) est simplement le produit de ses entrées diagonales. Cela offre un moyen efficace de calculer le déterminant d'une matrice définie positive.

Can Cholesky decomposition be applied to complex matrices?

Oui, pour les matrices complexes, la condition est que A doit être hermitienne définie positive (A = A*, où A* est la transposée conjuguée). La décomposition devient A = LLᵀ où Lᵀ est remplacé par L* (la transposée conjuguée de L). Ce calculateur traite les matrices à valeurs réelles.

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