Calculateur de Nombres de Stirling

Bienvenue sur le Calculateur de nombres de Stirling, un outil combinatoire complet pour calculer les nombres de Stirling de première espèce (non signés — permutations en cycles) et de seconde espèce (partitions d'ensemble en sous-ensembles non vides). Proposant des visualisations interactives du triangle, des dérivations de récurrence étape par étape, des graphiques de distribution et des interprétations combinatoires approfondies, ce calculateur est conçu pour les étudiants, enseignants, chercheurs et programmeurs compétitifs qui ont besoin de résultats rapides et précis avec un contexte pédagogique.

Que sont les nombres de Stirling ?

Les nombres de Stirling sont deux familles de nombres qui apparaissent naturellement en combinatoire, en algèbre et en analyse. Nommés d'après le mathématicien écossais James Stirling (1692–1770), ils font le pont entre les factorielles, les coefficients binomiaux et les identités polynomiales. Bien qu'ils soient moins connus que le triangle de Pascal, ils sont tout aussi fondamentaux et apparaissent dans toutes les mathématiques discrètes.

Nombres de Stirling de première espèce

Les nombres de Stirling de première espèce non signés, notés \(|s(n,k)|\) ou \(\left[{n \atop k}\right]\), comptent le nombre de permutations de \(n\) éléments qui se décomposent en exactement \(k\) cycles disjoints.

Intuition : Considérez où va l'élément \(n\). Soit il est inséré dans l'un des cycles existants (il y a \(n-1\) positions d'insertion, une avant chacun des \(n-1\) autres éléments) — contribuant au terme \((n-1)\cdot|s(n-1,k)|\) — soit il forme son propre nouveau cycle de longueur 1, contribuant à \(|s(n-1,k-1)|\).

Faits marquants :

• \(|s(n,1)| = (n-1)!\) — permutations circulaires (un seul grand cycle)
• \(|s(n,n)| = 1\) — la permutation identité (tous des points fixes)
• \(|s(n,n-1)| = \binom{n}{2}\) — une transposition
• \(\sum_{k=0}^{n} |s(n,k)| = n!\) — nombre total de permutations

Nombres de Stirling de seconde espèce

Les nombres de Stirling de seconde espèce, notés \(S(n,k)\) ou \(\left\{{n \atop k}\right\}\), comptent le nombre de façons de partitionner un ensemble de \(n\) éléments en exactement \(k\) sous-ensembles non vides.

Intuition : Considérez où va l'élément \(n\). Soit il rejoint l'un des \(k\) sous-ensembles existants (\(k\) choix) — contribuant au terme \(k \cdot S(n-1,k)\) — soit il forme son propre nouveau sous-ensemble singleton, contribuant à \(S(n-1,k-1)\).

Faits marquants :

• \(S(n,1) = 1\) — une seule façon : tous les éléments dans un seul ensemble
• \(S(n,n) = 1\) — une seule façon : chaque élément est un singleton
• \(S(n,2) = 2^{n-1} - 1\) — façons de diviser en deux sous-ensembles non vides
• \(S(n,n-1) = \binom{n}{2}\) — choisir quelle paire partage un sous-ensemble
• \(\sum_{k=0}^{n} S(n,k) = B(n)\) — le \(n\)-ième nombre de Bell

Formule explicite (Seconde espèce)

Comment utiliser ce calculateur

1. Entrez n : Le nombre total d'éléments (0 à 200).
2. Entrez k : Le nombre de cycles (première espèce) ou de sous-ensembles (seconde espèce), avec 0 ≤ k ≤ n.
3. Sélectionnez l'espèce : Choisissez Première espèce, Seconde espèce ou les deux pour une comparaison côte à côte.
4. Calculez : Cliquez sur « Calculer les nombres de Stirling » pour voir les résultats avec la dérivation étape par étape, la visualisation du triangle et le graphique de distribution.

Comparaison : Première espèce vs Seconde espèce

Applications des nombres de Stirling

Conversion polynomiale

Les nombres de Stirling relient différentes bases polynomiales :

• Factorielle croissante : \(x^{(n)} = \sum_{k} |s(n,k)|\, x^k\)
• Puissance ordinaire : \(x^n = \sum_{k} S(n,k)\, x^{\underline{k}}\) (factorielle décroissante)

Probabilités et statistiques

Les nombres de Stirling apparaissent dans le calcul des moments de distributions de probabilité, particulièrement lors de la conversion entre moments ordinaires et factoriels. Ils sont essentiels dans l'analyse des permutations aléatoires et des problèmes d'occupation.

Informatique

Dans l'analyse d'algorithmes, les nombres de Stirling apparaissent dans le dénombrement des façons de distribuer des objets dans des conteneurs, l'analyse des tables de hachage et l'étude des permutations aléatoires. La seconde espèce est directement liée au comptage des fonctions surjectives : le nombre de fonctions surjectives d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à k éléments est \(k!\, S(n,k)\).

Théorie des nombres

Les nombres de Stirling sont liés aux nombres de Bernoulli, aux nombres harmoniques et à diverses identités de sommation. Ils apparaissent dans le calcul des différences finies et dans la formule d'Euler-Maclaurin.

Foire aux questions

Que sont les nombres de Stirling de première espèce ?

Les nombres de Stirling de première espèce non signés, notés |s(n,k)|, comptent le nombre de permutations de n éléments qui se décomposent en exactement k cycles disjoints. Ils satisfont la récurrence |s(n,k)| = (n−1)·|s(n−1,k)| + |s(n−1,k−1)| avec |s(0,0)| = 1. La somme des lignes donne n! car chaque permutation possède un certain nombre de cycles.

Que sont les nombres de Stirling de seconde espèce ?

Les nombres de Stirling de seconde espèce, notés S(n,k), comptent le nombre de façons de partitionner un ensemble de n éléments en exactement k sous-ensembles non vides. Ils satisfont la récurrence S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1) avec S(0,0) = 1. La somme des lignes donne les nombres de Bell B(n).

Quelle est la différence entre les nombres de Stirling de première et de seconde espèce ?

La première espèce (non signée) compte les permutations avec k cycles — l'ordre dans chaque cycle compte. La seconde espèce compte les partitions d'ensemble en k sous-ensembles — l'ordre dans les sous-ensembles ne compte pas. Ils sont liés par inversion de matrice : le triangle des nombres signés de première espèce est l'inverse du triangle de seconde espèce.

Comment les nombres de Stirling sont-ils utilisés en mathématiques ?

Les nombres de Stirling apparaissent dans la conversion polynomiale entre les factorielles décroissantes/croissantes et les puissances ordinaires, dans le calcul des moments de distributions de probabilité, dans les identités combinatoires, en théorie des nombres et dans l'analyse d'algorithmes.

Quelle est la relation entre les nombres de Stirling et les nombres de Bell ?

Le n-ième nombre de Bell B(n) est égal à la somme de tous les nombres de Stirling de seconde espèce de la ligne n : B(n) = Σ S(n,k) pour k = 0 à n. Les nombres de Bell comptent le nombre total de partitions d'un ensemble de n éléments en n'importe quel nombre de sous-ensembles non vides.

Existe-t-il une formule explicite pour les nombres de Stirling ?

Oui, la seconde espèce possède une formule explicite via l'inclusion-exclusion : S(n,k) = (1/k!) Σ (−1)^(k−j) C(k,j) j^n pour j = 0 à k. La première espèce peut être calculée via la récurrence ou par le lien avec les factorielles croissantes.

Ressources complémentaires

• Nombres de Stirling de première espèce - Wikipédia
• Nombres de Stirling de seconde espèce - Wikipédia