Calculateur de Période d'un Pendule

Le Calculateur de Période d'un Pendule utilise la formule classique du pendule simple \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) pour calculer la période \(T\), la longueur \(L\), la gravité locale \(g\) ou la fréquence naturelle \(f\). Il comprend des préréglages de gravité planétaire en un clic, une correction exacte pour grand angle utilisant la série d'intégrales elliptiques, un pendule SVG en direct qui oscille réellement à la vitesse calculée, et des données sur l'énergie et la vitesse lorsque vous fournissez la masse.

Comment utiliser ce Calculateur de Période d'un Pendule

1. Choisissez la variable à calculer : T (période), L (longueur), g (gravité) ou f (fréquence). Le formulaire s'adapte pour ne demander que les quantités nécessaires.
2. Choisissez un préréglage planétaire — Terre, Lune, Mars, Jupiter, Soleil, ISS, etc. — ou passez en mode Personnalisé et tapez votre propre valeur de g.
3. Entrez la longueur, la période ou toute combinaison requise par le mode choisi.
4. Optionnel : entrez une amplitude d'oscillation (en degrés) et une masse. Le calculateur affiche alors la période exacte (hors petits angles), la hauteur maximale, la vitesse au point le plus bas et l'énergie cinétique / potentielle de pointe.
5. Appuyez sur Calculer et consultez l'oscillation SVG en direct, le tableau de comparaison interplanétaire, le calcul détaillé et le nombre de cycles par minute / heure / jour.

Ce qui rend ce calculateur différent

La formule de la période du pendule

Pour une masse ponctuelle suspendue à une tige sans masse, oscillant à travers un petit angle dans un champ gravitationnel uniforme :

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Ici, \(T\) est la période en secondes, \(L\) est la longueur du pivot au centre de masse (mètres), et \(g\) est l'accélération gravitationnelle locale (m/s²). La fréquence naturelle est l'inverse de la période : \( f = 1/T \), et la fréquence angulaire est \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Pourquoi la masse n'a pas d'importance

Si vous écrivez la deuxième loi de Newton pour un pendule (masse \(m\)) suspendu à une tige de longueur \(L\) à l'angle \(\theta\), le couple de rappel gravitationnel est \(-m g L \sin\theta\) et le moment d'inertie est \(m L^{2}\). Équation du mouvement :

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

La masse s'annule. Deux pendules de longueur identique oscillent exactement à la même période, quel que soit le poids de leur masse. Cependant, la masse fait varier linéairement l'énergie cinétique et potentielle (ainsi que la tension dans la tige).

Petit angle vs période exacte

Le célèbre \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) n'est que le premier terme d'une série. La période exacte est :

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

où \(\theta_0\) est la demi-amplitude en radians. L'approximation pour petit angle sous-estime la période de :

Le pendule battant la seconde

En fixant \(T = 2\) s (pour que chaque demi-oscillation dure une seconde) et \(g = 9,80665\) m/s², on obtient la célèbre longueur du pendule battant la seconde :

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9,80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0,9936 \text{ m}. \]

C'est la longueur de conception de nombreuses horloges comtoises et elle a jadis été proposée comme définition du mètre international. Parce que la période d'un pendule dépend du \(g\) local, un pendule calibré à Londres bat différemment à l'équateur — historiquement, c'est ainsi que les géodésiens ont cartographié la forme de la Terre.

Exemple concret : pendule de 1 m sur Terre

• Longueur \(L = 1,00\) m, gravité \(g = 9,80665\) m/s².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9,80665} = 2,0064\) s (petit angle).
• Fréquence \( f = 1/T \approx 0,4984 \) Hz ; fréquence angulaire \( \omega \approx 3,132 \) rad/s.
• À une amplitude de 20°, la période exacte est d'environ 2,022 s — soit 0,77 % de plus.
• Si la masse est de 0,5 kg et θ₀ = 20°, la hauteur max est \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0,060\) m, l'E_c max = E_p max \(\approx 0,295\) J, et la vitesse max \( v = \sqrt{2gh} \approx 1,087\) m/s.

Foire aux questions

Quelle est la formule de la période d'un pendule simple ?
Pour de petites oscillations, \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). La période dépend uniquement de la longueur et de la gravité locale — pas de la masse ni de l'amplitude (tant que celle-ci reste faible).

La masse du pendule affecte-t-elle la période ?
Non. La masse s'annule dans l'équation du mouvement. Une masse de 1 kg et une de 100 g sur le même fil oscilleront à la même vitesse. Cependant, la masse fait varier l'énergie cinétique, l'énergie potentielle et la tension de la corde.

Comment la planète affecte-t-elle la période du pendule ?
La période varie selon \(1/\sqrt{g}\). Un pendule de 1 m oscillant toutes les 2,01 s sur Terre oscillerait toutes les 4,93 s sur la Lune (\(g \approx 1,62\)) et toutes les 1,26 s sur Jupiter (\(g \approx 24,79\)).

Pourquoi la période augmente-t-elle avec de grandes amplitudes d'oscillation ?
La formule pour petit angle \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) provient du remplacement de \(\sin\theta\) par \(\theta\). Pour des angles plus grands, la "force" de rappel est plus faible que ne le suggère l'approximation linéaire, de sorte que la masse passe plus de temps près des points de rebroussement et la période s'allonge.

Quelle longueur doit avoir un pendule pour osciller une fois par seconde ?
Si par "une fois par seconde" vous entendez \(T = 1\) s, il vous faut \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0,0248\) m, soit environ 25 mm. Le "pendule battant la seconde" d'un mètre a en fait une période de 2 s, car chaque battement individuel (tic ou tac) dure une seconde.

Comment un pendule peut-il mesurer la gravité ?
Passez en mode Calculer g. Entrez la longueur et la période mesurées avec précision — le calculateur renvoie \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). C'est la base du gravimètre à pendule classique.

Quelle est la différence entre un pendule simple et un pendule physique ?
Un pendule simple est une masse ponctuelle théorique sur un fil sans masse. Un pendule physique est n'importe quel corps rigide réel qui oscille autour d'un pivot. Sa période est \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \) où \(I\) est le moment d'inertie. La formule du pendule simple est le cas limite où toute la masse est concentrée en un seul point.