Calculateur de Divergence

Calculez la divergence de tout champ vectoriel 2D ou 3D avec dérivées partielles pas à pas. Obtenez la divergence symbolique, identifiez sources et puits, en carte de chaleur.

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Calculateur de Divergence

Le Calculateur de Divergence calcule la divergence ∇·F de n'importe quel champ vectoriel 2D ou 3D avec un calcul complet des dérivées partielles étape par étape. Saisissez les composantes de votre champ vectoriel P, Q (et R pour la 3D), évaluez éventuellement à un point spécifique, et obtenez la divergence symbolique, la classification source/puits, et pour les champs 2D, une visualisation interactive avec une carte de chaleur de divergence et un flux de particules animé.

Qu'est-ce que la divergence ?

La divergence d'un champ vectoriel $\mathbf{F}$ est un opérateur à valeur scalaire qui mesure le taux auquel le champ « s'étale » à partir d'un point. Pour un champ vectoriel 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ :

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Pour un champ 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, la divergence est $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. La divergence est un concept fondamental en calcul vectoriel, en dynamique des fluides, en électromagnétisme et en équations différentielles.

Signification physique de la divergence

🔴

Source (∇·F > 0)

Le fluide s'écoule vers l'extérieur — plus de sorties que d'entrées. Comme l'eau jaillissant d'une fontaine.

🔵

Puits (∇·F < 0)

Le fluide s'écoule vers l'intérieur — plus d'entrées que de sorties. Comme l'eau s'écoulant dans un trou.

🟢

Zéro (∇·F = 0)

Flux incompressible — ce qui entre est égal à ce qui sort. Le champ est solénoïdal.

🔄

Théorème de la divergence

La divergence totale à l'intérieur d'un volume est égale au flux net à travers sa surface limite.

Formules de divergence et systèmes de coordonnées

Système de coordonnées	Formule de divergence
Cartésien 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartésien 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cylindrique	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sphérique	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identités importantes impliquant la divergence

Identité	Formule
Linéarité	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Règle du produit (scalaire × vecteur)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Rotationnel d'un gradient	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (toujours)
Laplacien	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergence du gradient = Laplacien)
Théorème de la divergence	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Applications de la divergence

Domaine	Application	Ce que représente la divergence
Électromagnétisme	Loi de Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — la densité de charge crée la divergence du champ électrique
Électromagnétisme	Champ magnétique	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — aucun monopôle magnétique n'existe
Dynamique des fluides	Équation de continuité	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ pour un flux incompressible
Transfert de chaleur	Équation de la chaleur	La divergence du flux thermique est liée au changement de température
Relativité générale	Équations du champ d'Einstein	Condition de divergence nulle sur le tenseur énergie-impulsion

Comment utiliser le Calculateur de Divergence

Choisir la dimension : Sélectionnez 2D pour les champs F = ⟨P, Q⟩ ou 3D pour F = ⟨P, Q, R⟩ à l'aide des boutons de bascule.
Saisir les fonctions composantes : Saisissez chaque fonction composante (P, Q, et éventuellement R) en utilisant la notation standard. Utilisez ^ pour les exposants, * pour la multiplication, et des fonctions comme sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La multiplication implicite est prise en charge (ex. 2x = 2*x).
Saisir un point d'évaluation (optionnel) : Fournissez des coordonnées séparées par des virgules pour évaluer la divergence numériquement et classer le point comme source, puits ou incompressible.
Cliquer sur Calculer la divergence : Visualisez la formule de divergence symbolique, le calcul de la dérivée partielle étape par étape, l'évaluation numérique et la classification source/puits.
Explorer la visualisation : Pour les champs 2D, visualisez les flèches du champ vectoriel avec une carte de chaleur de divergence codée par couleur (rouge = source, bleu = puits) et un flux de particules animé montrant le comportement du champ.

Exemple concret

Trouvez la divergence de $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ au point $(1, 1)$ :

Étape 1 : Identifiez les composantes : $P = x$, $Q = y$.

Étape 2 : Calculez les dérivées partielles : $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Étape 3 : Additionnez-les : $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interprétation : Puisque $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, chaque point est une source. Le champ s'étend uniformément vers l'extérieur — imaginez du fluide pompé partout dans le plan.

FAQ

Qu'est-ce que la divergence d'un champ vectoriel ?

La divergence est un opérateur différentiel à valeur scalaire qui mesure le taux auquel un champ vectoriel s'étend ou se contracte en un point donné. Pour un champ 3D F = (P, Q, R), la divergence est la somme des dérivées partielles : ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Une divergence positive indique une source (flux sortant), une négative indique un puits (flux entrant) et zéro signifie un flux incompressible.

Comment calcule-t-on la divergence ?

Pour calculer la divergence, prenez la dérivée partielle de chaque fonction composante par rapport à sa variable correspondante, puis additionnez-les toutes. Pour un champ 2D F = (P, Q), calculez ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Pour la 3D, ajoutez ∂R/∂z. Le résultat est une fonction scalaire (pas un vecteur), qui vous indique à quel point le champ s'expanse ou se comprime en chaque point.

Que signifie une divergence nulle ?

Lorsque la divergence est nulle partout, le champ vectoriel est dit solénoïdal ou à divergence nulle. En dynamique des fluides, cela signifie que le fluide est incompressible — il n'y a pas d'expansion ni de contraction nette en aucun point. Les champs magnétiques ont toujours une divergence nulle (loi de Gauss pour le magnétisme : ∇·B = 0), et le rotationnel de tout champ vectoriel est toujours à divergence nulle (∇·(∇×F) = 0).

Quelle est la signification physique de la divergence ?

Physiquement, la divergence mesure le flux net sortant par unité de volume en un point. Imaginez une minuscule boîte dans un fluide : si plus de fluide sort de la boîte qu'il n'en entre, la divergence est positive (source). Si plus de fluide entre qu'il n'en sort, elle est négative (puits). Ce concept est central aux lois de conservation en physique, apparaissant dans l'équation de continuité, les équations de Maxwell et l'équation de la chaleur.

Quelle est la différence entre la divergence et le rotationnel ?

La divergence et le rotationnel sont tous deux des opérateurs différentiels sur les champs vectoriels, mais ils mesurent des choses différentes. La divergence (∇·F) mesure l'expansion ou la contraction et produit un scalaire. Le rotationnel (∇×F) mesure la rotation ou la circulation et produit un vecteur. Un champ peut avoir une divergence non nulle mais un rotationnel nul (comme F = (x, y)), ou une divergence nulle mais un rotationnel non nul (comme F = (−y, x)), ou les deux, ou aucun des deux.

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Identités importantes impliquant la divergence

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Exemple concret

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Système de coordonnées	Formule de divergence
Cartésien 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartésien 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cylindrique	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sphérique	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identité	Formule
Linéarité	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Règle du produit (scalaire × vecteur)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Rotationnel d'un gradient	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (toujours)
Laplacien	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergence du gradient = Laplacien)
Théorème de la divergence	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Domaine	Application	Ce que représente la divergence
Électromagnétisme	Loi de Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — la densité de charge crée la divergence du champ électrique
Électromagnétisme	Champ magnétique	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — aucun monopôle magnétique n'existe
Dynamique des fluides	Équation de continuité	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) pour un flux incompressible
Transfert de chaleur	Équation de la chaleur	La divergence du flux thermique est liée au changement de température
Relativité générale	Équations du champ d'Einstein	Condition de divergence nulle sur le tenseur énergie-impulsion