Calculateur de Divergence

Examinez les sources et les puits avec le calculateur de divergence de MiniWebtool. Les composantes d’un champ de vecteurs 2D ou 3D donnent ∇·F sous forme symbolique et, en option, sa valeur en un point, avec les étapes de dérivation et une visualisation du champ 2D.

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Divergence (sortie) : ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 2 pour ⟨x, y⟩, 0 pour ⟨−y, x⟩

Saisissez les composantes d'un champ de vecteurs 2D ou 3D et, si besoin, un point pour obtenir la divergence, avec les dérivées partielles étape par étape.

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Calculateur de Divergence

Le Calculateur de Divergence calcule la divergence ∇·F de n'importe quel champ vectoriel 2D ou 3D avec un calcul complet des dérivées partielles étape par étape. Saisissez les composantes de votre champ vectoriel P, Q (et R pour la 3D), évaluez éventuellement à un point spécifique, et obtenez la divergence symbolique, la classification source/puits, et pour les champs 2D, une visualisation interactive avec une carte de chaleur de divergence et un flux de particules animé.

En bref

Le Calculateur de Divergence calcule la divergence d’un champ de vecteurs 2D ou 3D à partir de ses fonctions composantes. Il donne le résultat symbolique avec les étapes de dérivées partielles et peut classer un point choisi comme source, puits ou aucun des deux.

Calculateur de Divergence: fonctionnalités en un coup d’œil
Fonctionnalité	Ce que vous obtenez	Idéal pour
Champs 2D et 3D	Basculez entre F = (P, Q) et F = (P, Q, R) et saisissez chaque composante en fonction de x, y et z.	Cours d’analyse vectorielle et de physique
Syntaxe des fonctions	Utilisez ^ pour les puissances, * pour la multiplication, sin, cos, exp, ln et sqrt. La multiplication implicite comme 2x est lue comme 2*x.	Saisir les champs comme ils apparaissent dans un manuel
Divergence symbolique	Renvoie la divergence comme somme des dérivées partielles, avec chaque étape de dérivation affichée.	Vérifier un calcul de divergence à la main
Point d’évaluation	Saisissez des coordonnées facultatives pour obtenir une valeur numérique et une classification en source, puits ou incompressible en ce point.	Déterminer si un champ se dilate ou se contracte en un endroit
Vue des flux 2D	Pour les champs 2D, des flèches de vecteurs se superposent à une carte de chaleur (rouge pour une source, bleu pour un puits) avec un écoulement animé de particules.	Voir le comportement du champ, et pas seulement la formule
Exemples de champs	Des boutons chargent des champs comme source, puits et rotation, ainsi que x^2y, xy^2, un exemple 3D et un exemple sin-cos.	Partir d’un champ standard

Qu'est-ce que la divergence ?

La divergence d'un champ vectoriel $\mathbf{F}$ est un opérateur à valeur scalaire qui mesure le taux auquel le champ « s'étale » à partir d'un point. Pour un champ vectoriel 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ :

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Pour un champ 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, la divergence est $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. La divergence est un concept fondamental en calcul vectoriel, en dynamique des fluides, en électromagnétisme et en équations différentielles.

Signification physique de la divergence

🔴

Source (∇·F > 0)

Le fluide s'écoule vers l'extérieur — plus de sorties que d'entrées. Comme l'eau jaillissant d'une fontaine.

🔵

Puits (∇·F < 0)

Le fluide s'écoule vers l'intérieur — plus d'entrées que de sorties. Comme l'eau s'écoulant dans un trou.

🟢

Zéro (∇·F = 0)

Flux incompressible — ce qui entre est égal à ce qui sort. Le champ est solénoïdal.

🔄

Théorème de la divergence

La divergence totale à l'intérieur d'un volume est égale au flux net à travers sa surface limite.

Formules de divergence et systèmes de coordonnées

Calculateur de Divergence: Formules de divergence et systèmes de coordonnées
Système de coordonnées	Formule de divergence
Cartésien 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartésien 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cylindrique	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sphérique	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identités importantes impliquant la divergence

Calculateur de Divergence: Identités importantes impliquant la divergence
Identité	Formule
Linéarité	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Règle du produit (scalaire × vecteur)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Rotationnel d'un gradient	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (toujours)
Laplacien	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergence du gradient = Laplacien)
Théorème de la divergence	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Applications de la divergence

Calculateur de Divergence: Applications de la divergence
Domaine	Application	Ce que représente la divergence
Électromagnétisme	Loi de Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — la densité de charge crée la divergence du champ électrique
Électromagnétisme	Champ magnétique	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — aucun monopôle magnétique n'existe
Dynamique des fluides	Équation de continuité	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ pour un flux incompressible
Transfert de chaleur	Équation de la chaleur	La divergence du flux thermique est liée au changement de température
Relativité générale	Équations du champ d'Einstein	Condition de divergence nulle sur le tenseur énergie-impulsion

Comment utiliser le Calculateur de Divergence

Choisir la dimension : Sélectionnez 2D pour les champs F = ⟨P, Q⟩ ou 3D pour F = ⟨P, Q, R⟩ à l'aide des boutons de bascule.
Saisir les fonctions composantes : Saisissez chaque fonction composante (P, Q, et éventuellement R) en utilisant la notation standard. Utilisez ^ pour les exposants, * pour la multiplication, et des fonctions comme sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La multiplication implicite est prise en charge (ex. 2x = 2*x).
Saisir un point d'évaluation (optionnel) : Fournissez des coordonnées séparées par des virgules pour évaluer la divergence numériquement et classer le point comme source, puits ou incompressible.
Cliquer sur Calculer la divergence : Visualisez la formule de divergence symbolique, le calcul de la dérivée partielle étape par étape, l'évaluation numérique et la classification source/puits.
Explorer la visualisation : Pour les champs 2D, visualisez les flèches du champ vectoriel avec une carte de chaleur de divergence codée par couleur (rouge = source, bleu = puits) et un flux de particules animé montrant le comportement du champ.

Exemple concret

Trouvez la divergence de $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ au point $(1, 1)$ :

Étape 1 : Identifiez les composantes : $P = x$, $Q = y$.

Étape 2 : Calculez les dérivées partielles : $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Étape 3 : Additionnez-les : $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interprétation : Puisque $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, chaque point est une source. Le champ s'étend uniformément vers l'extérieur — imaginez du fluide pompé partout dans le plan.

FAQ

Qu'est-ce que la divergence d'un champ vectoriel ?

La divergence est un opérateur différentiel à valeur scalaire qui mesure le taux auquel un champ vectoriel s'étend ou se contracte en un point donné. Pour un champ 3D F = (P, Q, R), la divergence est la somme des dérivées partielles : ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Une divergence positive indique une source (flux sortant), une négative indique un puits (flux entrant) et zéro signifie un flux incompressible.

Comment calcule-t-on la divergence ?

Pour calculer la divergence, prenez la dérivée partielle de chaque fonction composante par rapport à sa variable correspondante, puis additionnez-les toutes. Pour un champ 2D F = (P, Q), calculez ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Pour la 3D, ajoutez ∂R/∂z. Le résultat est une fonction scalaire (pas un vecteur), qui vous indique à quel point le champ s'expanse ou se comprime en chaque point.

Que signifie une divergence nulle ?

Lorsque la divergence est nulle partout, le champ vectoriel est dit solénoïdal ou à divergence nulle. En dynamique des fluides, cela signifie que le fluide est incompressible — il n'y a pas d'expansion ni de contraction nette en aucun point. Les champs magnétiques ont toujours une divergence nulle (loi de Gauss pour le magnétisme : ∇·B = 0), et le rotationnel de tout champ vectoriel est toujours à divergence nulle (∇·(∇×F) = 0).

Quelle est la signification physique de la divergence ?

Physiquement, la divergence mesure le flux net sortant par unité de volume en un point. Imaginez une minuscule boîte dans un fluide : si plus de fluide sort de la boîte qu'il n'en entre, la divergence est positive (source). Si plus de fluide entre qu'il n'en sort, elle est négative (puits). Ce concept est central aux lois de conservation en physique, apparaissant dans l'équation de continuité, les équations de Maxwell et l'équation de la chaleur.

Quelle est la différence entre la divergence et le rotationnel ?

La divergence et le rotationnel sont tous deux des opérateurs différentiels sur les champs vectoriels, mais ils mesurent des choses différentes. La divergence (∇·F) mesure l'expansion ou la contraction et produit un scalaire. Le rotationnel (∇×F) mesure la rotation ou la circulation et produit un vecteur. Un champ peut avoir une divergence non nulle mais un rotationnel nul (comme F = (x, y)), ou une divergence nulle mais un rotationnel non nul (comme F = (−y, x)), ou les deux, ou aucun des deux.

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour le : 2026-04-08

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Je souhaite comprendre comment utiliser l’outil Calculateur de Divergence de MiniWebtool : https://miniwebtool.com/fr/calculateur-de-divergence/. À quoi sert-il, quelles données ou quels paramètres faut-il saisir, et comment l’utiliser et interpréter le résultat ? Montrez-moi un exemple simple, étape par étape. Appuyez-vous sur cette page et répondez en français.

Calcul:

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Calculateur de Série de Maclaurin Nouveau
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Calculateur d'Optimisation de Calcul Nouveau
Calculatrice de Dérivées Partielles
Calculateur de Séries Entières Nouveau
Calculateur de rayon de convergence
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Calculateur de la méthode Runge-Kutta (RK4)
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Calculatrice de dérivées à une variable
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Solveur de Systèmes EDO Nouveau
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Calculatrice d'intégrale triple
Calculateur de Volume de Révolution Nouveau
Calculateur de Wronskien
Calculateur de Transformée en Z Nouveau

Calculateur de Divergence

Calculateur de Divergence

En bref

Qu'est-ce que la divergence ?

Signification physique de la divergence

Formules de divergence et systèmes de coordonnées

Identités importantes impliquant la divergence

Applications de la divergence

Comment utiliser le Calculateur de Divergence

Exemple concret

FAQ

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Calcul:

Résolution mathématique

Nombres et facteurs

Fractions et division

Puissances, racines et logarithmes

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Système de coordonnées	Formule de divergence
Cartésien 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartésien 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cylindrique	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sphérique	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identité	Formule
Linéarité	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Règle du produit (scalaire × vecteur)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Rotationnel d'un gradient	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (toujours)
Laplacien	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergence du gradient = Laplacien)
Théorème de la divergence	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Domaine	Application	Ce que représente la divergence
Électromagnétisme	Loi de Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — la densité de charge crée la divergence du champ électrique
Électromagnétisme	Champ magnétique	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — aucun monopôle magnétique n'existe
Dynamique des fluides	Équation de continuité	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) pour un flux incompressible
Transfert de chaleur	Équation de la chaleur	La divergence du flux thermique est liée au changement de température
Relativité générale	Équations du champ d'Einstein	Condition de divergence nulle sur le tenseur énergie-impulsion