Calculateur de la Règle du Trapèze

Approximation d'intégrales définies à l'aide de la règle du trapèze avec visualisation interactive des trapèzes, estimation de l'erreur, extrapolation de Richardson, analyse de convergence et décomposition de l'aire par trapèze. Prend en charge le mode saisie de fonction et le mode points de données.

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Calculateur de la Règle du Trapèze

Le calculateur de la règle du trapèze est un outil spécialisé d'intégration numérique qui approche les intégrales définies en divisant l'aire sous une courbe en trapèzes. Contrairement aux simples sommes de Riemann qui utilisent des rectangles à sommet plat, la règle du trapèze relie les valeurs de fonction adjacentes par des lignes droites, capturant la pente de la courbe et produisant des résultats nettement plus précis. Ce calculateur prend en charge à la fois la saisie de fonctions et le mode points de données bruts, ce qui le rend idéal pour les étudiants en calcul et les ingénieurs travaillant avec des données expérimentales.

Caractéristiques principales

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Visualisation interactive

Observez chaque trapèze dessiné sous la courbe. Survolez pour mettre en évidence les trapèzes individuels et afficher leurs aires. Utilisez le curseur ou l'animation pour voir comment la précision s'améliore avec plus de subdivisions.

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Double mode de saisie

Saisissez une fonction f(x) avec des bornes et des sous-intervalles, ou collez des points de données bruts avec un espacement non uniforme. Parfait pour le calcul théorique et l'analyse de données expérimentales.

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Estimation de l'erreur

Calcul automatique de la borne d'erreur à l'aide de la formule $ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''(x)| $. Sachez exactement quelle est la précision de votre approximation avant d'augmenter n.

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Extrapolation de Richardson

Combine T(n) et T(2n) pour annuler les termes d'erreur principaux, atteignant une précision d'ordre O(h⁴). La formule R = (4T(2n) − T(n))/3 est équivalente à la règle de Simpson.

Comment utiliser le calculateur de la règle du trapèze

Choisissez votre mode de saisie — Sélectionnez « Fonction f(x) » pour entrer une expression mathématique avec des bornes d'intégration, ou « Points de données » pour entrer des valeurs x et y directement à partir d'expériences ou de tableaux.
Entrez vos valeurs — Pour le mode fonction : tapez f(x), définissez la borne inférieure (a) et la borne supérieure (b), et choisissez le nombre de sous-intervalles (n). Pour le mode données : entrez les valeurs x et y séparées par des virgules.
Cliquez sur Calculer — L'outil calcule l'approximation trapézoïdale avec une solution MathJax complète étape par étape.
Explorez les résultats — Interagissez avec la visualisation des trapèzes (survol pour voir les aires par trapèze), examinez la borne d'erreur, l'extrapolation de Richardson et le tableau d'analyse de convergence.

La règle du trapèze expliquée

La règle du trapèze composite divise [a, b] en n sous-intervalles égaux et approche l'intégrale comme suit :

$$T_n = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

où $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $ et $ x_i = a + i \cdot \Delta x $. Chaque sous-intervalle contribue à un trapèze dont l'aire est $ \frac{\Delta x}{2}[f(x_i) + f(x_{i+1})] $.

Analyse d'erreur

Propriété	Valeur	Signification
Ordre d'erreur	$ O(h^2) $	Doubler n réduit l'erreur d'environ 4×
Borne d'erreur	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Dépend de la courbure de f
Exact pour	Fonctions linéaires	f''(x) = 0, donc borne d'erreur = 0
Richardson	$ O(h^4) $ après extrapolation	Équivalent à la précision de la règle de Simpson

Quand utiliser la règle du trapèze

Données inégalement espacées — Contrairement à la règle de Simpson, la règle du trapèze fonctionne naturellement avec un espacement de points non uniforme, ce qui la rend idéale pour les données expérimentales.
Nombre impair de sous-intervalles — La règle de Simpson nécessite un n pair, mais la règle du trapèze fonctionne avec n'importe quel n ≥ 1.
Estimation rapide — La formule est plus simple à calculer à la main que la règle de Simpson, et l'erreur est bien comprise.
Ingénierie et physique — Couramment utilisée pour intégrer des données de capteurs discrets, des profils de vitesse, des courbes force-déplacement et des cycles thermodynamiques.
Enseignement du calcul — Fait le pont entre les sommes de Riemann de base et des méthodes plus avancées comme la règle de Simpson.

Fonctions prises en charge

Ce calculateur prend en charge un large éventail de fonctions mathématiques :

Polynômes : x^2, x^3 + 2x - 1
Trigonométriques : sin(x), cos(x), tan(x)
Exponentielles/Logarithmiques : exp(x), ln(x), log(x)
Racines : sqrt(x)
Constantes : pi, e
Combinaisons : sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2)

Foire aux questions

Qu'est-ce que la règle du trapèze ?

La règle du trapèze est une méthode d'intégration numérique qui approche l'aire sous une courbe en la divisant en trapèzes au lieu de rectangles. Chaque trapèze relie les valeurs de la fonction aux extrémités d'un sous-intervalle par une ligne droite, offrant une meilleure approximation que les simples sommes de Riemann à gauche ou à droite.

Quelle est la précision de la règle du trapèze ?

La règle du trapèze composite présente une erreur d'ordre O(h²), où h est la largeur du sous-intervalle. La borne d'erreur est (b−a)³/(12n²) × max|f''(x)|. Doubler n réduit l'erreur d'environ 4 fois. Pour les fonctions linéaires, la règle du trapèze donne des résultats exacts.

Qu'est-ce que l'extrapolation de Richardson ?

L'extrapolation de Richardson combine deux estimations trapézoïdales T(n) et T(2n) pour annuler le terme d'erreur principal. La formule R = (4×T(2n) − T(n))/3 produit un résultat équivalent à la règle de Simpson, atteignant une précision d'ordre O(h⁴) à partir d'estimations d'ordre O(h²).

Puis-je utiliser la règle du trapèze avec des données irrégulièrement espacées ?

Oui. Contrairement à de nombreuses méthodes numériques qui nécessitent un espacement égal, la règle du trapèze fonctionne naturellement avec des points de données inégalement espacés. Appliquez simplement la formule à chaque paire de points adjacents en utilisant leur espacement réel. Ce calculateur prend en charge à la fois la saisie de fonctions uniformes et la saisie de points de données non uniformes.

Quand dois-je utiliser la règle du trapèze plutôt que la règle de Simpson ?

Utilisez la règle du trapèze lorsque vous avez des points de données inégalement espacés, lorsque le nombre de sous-intervalles est impair, lorsque vous avez besoin d'une méthode simple et robuste, ou lorsque la fonction présente des discontinuités dans ses dérivées supérieures. La règle de Simpson est plus précise pour les fonctions lisses avec un n pair, mais la règle du trapèze est plus polyvalente.

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 2026-04-05

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Propriété	Valeur	Signification
Ordre d'erreur	\( O(h^2) \)	Doubler n réduit l'erreur d'environ 4×
Borne d'erreur	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Dépend de la courbure de f
Exact pour	Fonctions linéaires	f''(x) = 0, donc borne d'erreur = 0
Richardson	\( O(h^4) \) après extrapolation	Équivalent à la précision de la règle de Simpson

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Caractéristiques principales

Comment utiliser le calculateur de la règle du trapèze

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