Calculateur de Convexité des Obligations

Calculateur de Convexité des Obligations

Le Calculateur de Convexité des Obligations mesure la sensibilité de second ordre du prix d'une obligation aux variations de son rendement. Alors que la durée modifiée vous indique la pente de la courbe prix-rendement en un seul point, la convexité vous indique à quel point cette courbe s'infléchit — un chiffre qui devient extrêmement important dès que les mouvements de rendement sont importants. Ce calculateur fait ce que la plupart des outils en ligne omettent : il vous permet de voir, côte à côte, la prédiction de prix basée sur la durée seule, la prédiction basée sur la durée plus la convexité, et le prix exact de l'obligation, de sorte que la taille et la direction de la correction de courbure sont évidentes au premier coup d'œil.

Ce qui rend ce calculateur différent

Comment utiliser le Calculateur de Convexité des Obligations

1. Cliquez sur un préréglage de démarrage rapide (Trésor 2 ans, Trésor 10 ans, Entreprise 30 ans ou Coupon zéro 5 ans) pour remplir chaque champ instantanément, ou tapez les détails de votre propre obligation.
2. Saisissez la valeur nominale de l'obligation (pair), le taux de coupon annuel, le rendement actuel à l'échéance et le nombre d'années jusqu'à l'échéance.
3. Choisissez la fréquence des coupons. Le semestriel est la norme pour les obligations US ; choisissez annuel pour les obligations européennes ou les coupons zéro, trimestriel ou mensuel pour certains titres structurés.
4. Faites glisser le curseur de choc de rendement pour choisir la variation en points de base qui vous intéresse. 100 pb est une taille courante pour les tests de résistance ; choisissez 300+ pb pour voir réellement la convexité agir.
5. Cliquez sur « Calculer » et lisez la carte de verdict, la barre de comparaison à trois voies, le graphique de la courbe de choc, la cascade des flux de trésorerie et le tableau d'attribution par période.

Les mathématiques sous le capot

Chaque résultat part de l'équation standard d'évaluation des obligations par la valeur actuelle, où chaque coupon et le remboursement final du principal sont actualisés au rendement périodique \(y = y_{annuel}/m\) avec \(m\) périodes par an et un nombre total de périodes \(n = y_{échéance} \cdot m\) :

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

La durée de Macaulay est le temps moyen pondéré par la valeur actuelle des flux de trésorerie, exprimé en années en divisant par \(m\) :

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

La durée modifiée ajuste la durée de Macaulay pour le rendement périodique et donne la variation en pourcentage du prix par variation de 1 % du rendement :

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

La convexité est la somme pondérée par le prix de la pondération temporelle du second ordre, ramenée en années au carré en divisant par \(m^2\) :

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

Les deux indicateurs se combinent dans l'approximation de Taylor de second ordre de la variation en pourcentage du prix pour un décalage de rendement \(\Delta y\) :

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Le terme de convexité est toujours non négatif en raison de la variation de rendement au carré. C'est pourquoi on dit que les obligations à convexité plus élevée bénéficient d'un « gain de convexité » — elles progressent davantage lors d'une baisse de rendement que ce que prédit la durée et perdent moins lors d'une hausse de rendement.

Interpréter vos résultats

Quelques règles de base à garder à l'esprit lors de la lecture des résultats :

• La convexité évolue approximativement selon le carré de l'échéance. Une obligation à 30 ans peut avoir 10 fois la convexité d'une obligation à 5 ans pour des ratios de durée similaires.
• Des coupons plus bas signifient une convexité plus élevée. Une obligation à coupon zéro a la convexité la plus élevée pour son échéance car tout le flux de trésorerie se trouve au point le plus éloigné.
• Des rendements plus élevés signifient une convexité plus faible. Le facteur d'actualisation \((1+y)^{t+2}\) au dénominateur réduit la contribution des flux de trésorerie éloignés lorsque les rendements augmentent.
• La correction de convexité est de signe symétrique. Que les rendements augmentent ou diminuent de 100 pb, le terme de convexité ajoute le même pourcentage positif à la prédiction de prix — c'est le gain de courbure.

Foire Aux Questions

Qu'est-ce que la convexité d'une obligation ?

La convexité est la dérivée seconde du prix d'une obligation par rapport à son rendement, pondérée par le prix de l'obligation. Parce que la relation prix-rendement est courbe, la durée (la dérivée première) ne donne qu'une estimation linéaire. La convexité capture la courbure pour les obligations sans options.

Pourquoi la convexité est-elle importante pour les investisseurs ?

Elle quantifie l'asymétrie de la variation des prix. Pour les variations importantes de taux, elle montre qu'une obligation gagnera plus lors d'une baisse de taux qu'elle ne perdra lors d'une hausse équivalente (pour une durée donnée).

Quelle est la formule de la convexité ?

La convexité en années au carré est :

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

où \(P\) est le prix, \(m\) la fréquence, \(y\) le rendement périodique et \(\text{CF}_t\) le flux à la période \(t\).

Comment la convexité est-elle utilisée pour prédire une variation de prix ?

La variation en pourcentage est approximativement :

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Quelles obligations ont la convexité la plus élevée ?

Les obligations de longue maturité à faible coupon (comme les coupons zéro) ont la convexité la plus forte.

Une convexité plus élevée est-elle toujours préférable ?

Oui, pour la performance face à la volatilité, mais le marché fait souvent payer cette protection par un rendement plus faible.

Comment la convexité diffère-t-elle de la durée ?

La durée est une mesure de premier ordre (pente), tandis que la convexité est une mesure de second ordre (courbure).

La convexité peut-elle être négative ?

Pour les obligations classiques, elle est toujours positive. Elle peut devenir négative pour des obligations remboursables par l'émetteur (callable) ou des titres adossés à des créances hypothécaires.

Quelle est la différence entre la durée de Macaulay et la durée modifiée ?

La durée de Macaulay est le délai moyen de récupération des fonds (en années). La durée modifiée mesure directement la variation en pourcentage du prix pour une variation de 1 % du rendement.

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