Resolutor de Problemas de Tasa de Trabajo

El Resolutor de Problemas de Tasa de Trabajo cubre los cinco problemas de palabras más comunes de "A y B trabajando juntos" en un solo lugar: el clásico problema de tiempo combinado, el problema del trabajador faltante donde conoces a un trabajador y el tiempo del equipo pero no al otro trabajador, el problema de tiempo neto de tubería de llenado vs. tubería de drenaje, el problema de turnos alternos donde dos trabajadores se turnan, y el problema de finalización parcial donde un trabajador comienza solo y el otro se une a mitad del camino. Ingrese los tiempos individuales en su unidad preferida (horas, minutos, días o segundos) y el resolutor aplica la ley de adición de tasas, recorre el álgebra paso a paso en LaTeX y muestra una visualización animada de pastel dual con una porción por trabajador que crece en proporción a la tasa de ese trabajador.

Cómo usar este resolutor

1. Elija el escenario que coincida con su problema en el menú desplegable: juntos, trabajador faltante, llenado vs. drenaje de tubería, turnos alternos, o A solo y luego B se une.
2. Elija la unidad de tiempo (horas, minutos, días o segundos). Todas las entradas usan la misma unidad.
3. Ingrese el tiempo individual de cada trabajador. Para el caso del trabajador faltante, ingrese también el tiempo juntos. Para tuberías, ingrese los tiempos de llenado y drenaje. Para turnos alternos, ingrese la duración del turno y quién comienza. Para la finalización parcial, ingrese cuánto tiempo trabaja A solo antes de que B se una.
4. Haga clic en Resolver. El valor del encabezado es la cantidad faltante: tiempo combinado, tiempo individual de B, tiempo de llenado neto, tiempo total transcurrido o tiempo total del proyecto.
5. Observe cómo el gráfico de pastel dual se llena en proporción a la tasa de cada trabajador y lea la explicación paso a paso formateada en LaTeX.

Las cinco fórmulas de un vistazo

La ley de adición de tasas (la idea clave)

Cada problema de tasa de trabajo se reduce a una identidad: las tasas se suman cuando los trabajadores cooperan, pero los tiempos no. Si A termina un trabajo completo en \( T_A \), entonces A realiza \( 1/T_A \) del trabajo por unidad de tiempo. Dos trabajadores contribuyen con sus fracciones por unidad de tiempo de forma independiente:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Cada escenario en esta calculadora es solo una incógnita diferente en esta misma ecuación:

• Juntos: resuelva para \( T \) dados \( T_A \) y \( T_B \).
• Faltante: resuelva para \( T_B \) dados \( T_A \) y el tiempo juntos \( T \).
• Tubería: invierta el signo de un término: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Alterno: divida el tiempo en ciclos A+B, cada ciclo realiza \( L(r_A+r_B) \) del trabajo.
• Parcial: divida la línea de tiempo: A solo, luego juntos.

Ejemplo resuelto: dos pintores

El pintor A puede terminar una pared en 6 horas. El pintor B puede hacer la misma pared en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardan trabajando juntos?

1. Tasa de A: \( r_A = 1/6 \) de pared por hora.
2. Tasa de B: \( r_B = 1/4 \) de pared por hora.
3. Tasa combinada: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) de pared por hora.
4. Tiempo combinado: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) horas = 2 horas 24 minutos.
5. Observe: la respuesta (2.4 h) es menor que tanto 4 h como 6 h; agregar un segundo trabajador solo puede acelerar el trabajo.

Ejemplo resuelto: ayudante faltante

Sabe que A solo tarda 5 horas. Con un ayudante B desconocido, el equipo termina en 2 horas. ¿Cuánto tardaría B solo?

1. Tasa combinada: \( r_T = 1/2 = 0.5 \) trabajos por hora.
2. Tasa de A: \( r_A = 1/5 = 0.2 \) trabajos por hora.
3. Restar: \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) trabajos por hora.
4. Tiempo solo de B: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) horas.

Ejemplo resuelto: tubería de llenado vs. tubería de drenaje

Una tubería de llenado llena un tanque en 5 horas. Una tubería de drenaje vacía el mismo tanque en 8 horas. Ambas están abiertas. ¿Cuánto tiempo falta para que el tanque esté lleno?

1. Tasa de llenado: \( r_f = 1/5 = 0.20 \) tanques por hora.
2. Tasa de drenaje: \( r_d = 1/8 = 0.125 \) tanques por hora.
3. Tasa neta: \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) tanques por hora.
4. Tiempo para llenar: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) horas = 13 h 20 min.
5. Verificación de coherencia: el llenado solo es de 5 h; con el drenaje trabajando en contra, el tiempo se duplica con creces. Si el drenaje fuera más rápido que el llenado, el tanque nunca se llenaría.

Ejemplo resuelto: turnos alternos de una hora

A termina un trabajo solo en 6 horas. B solo tarda 8 horas. Se turnan en turnos de una hora, A primero. ¿Cuánto tiempo tarda el trabajo?

1. Trabajo por par: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) del trabajo por par.
2. Tres pares completos (6 horas) terminan \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) del trabajo.
3. Restante: 0.125. El siguiente turno de 1 hora de A termina \( 1/6 \approx 0.1667 \), que es más de 0.125, por lo que A termina durante su cuarto turno.
4. Tiempo que A necesita para hacer el último 0.125: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) horas.
5. Tiempo total: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) horas = 6 h 45 min.

Ejemplo resuelto: finalización parcial

A comienza un trabajo solo (tiempo solo de A: 6 h). Después de 2 horas se une B (tiempo solo de B: 4 h). ¿Cuánto tiempo falta para terminar?

1. Trabajo que A termina solo: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) del trabajo.
2. Trabajo restante: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Tasa combinada: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) por hora.
4. Tiempo para la fase conjunta: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) horas.
5. Total: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) horas = 3 h 36 min.

Errores comunes y cómo evitarlos

• Sumar tiempos en lugar de tasas: el error más común de los estudiantes. Si A tarda 6 h y B tarda 4 h, la respuesta NO es 5 h (el promedio) y NO es 10 h (la suma). Es 2.4 h, que se encuentra sumando las tasas.
• Tiempo juntos menor que el del trabajador más rápido: el tiempo juntos debe ser menor que tanto \( T_A \) como \( T_B \). Si calculó algo mayor, cometió un error aritmético.
• Tuberías que nunca se llenan: si la tasa de drenaje es mayor o igual a la tasa de llenado, ninguna cantidad de tiempo llenará el tanque. El resolutor le advertirá.
• Mezclar unidades de tiempo: convertir algunas entradas a minutos y otras a horas produce resultados sin sentido. Elija una unidad al principio y úsela en todas partes.
• Turnos alternos: no olvide el último turno parcial: después de contar los ciclos completos A+B, el trabajo suele terminar a mitad de turno. Resuelva ese turno parcial final exactamente.
• Finalización parcial: A puede terminar antes de que B se una: si \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A ya ha terminado y B nunca trabaja. La calculadora maneja este caso automáticamente.

Referencia rápida: tasa vs. tiempo

Dónde aparecen los problemas de tasa de trabajo en la vida real

• Construcción y contratación: estimar cuánto tiempo tardará un equipo de dos personas cuando se conoce el ritmo individual de cada miembro.
• Tuberías y plomería: dimensionar una bomba y un drenaje de desbordamiento para que el tanque alcance un nivel objetivo en un tiempo determinado.
• Software y CI: dos ejecutores de pruebas ejecutándose en paralelo; el tiempo de reloj de pared es igual al tiempo del más lento, pero el rendimiento es igual a la suma de las tasas.
• Fabricación: múltiples máquinas en la misma línea; el rendimiento total es la suma del rendimiento por máquina.
• Educación: los problemas de tasa de trabajo son un elemento básico de SAT/ACT, GRE, GMAT y la mayoría de los libros de texto de álgebra (capítulo sobre ecuaciones racionales).

Preguntas frecuentes