Calculadora de la Regla de Simpson

Calculadora de la Regla de Simpson

La Calculadora de la Regla de Simpson es una potente herramienta de integración numérica que aproxima integrales definidas ajustando curvas parabólicas (regla 1/3) o curvas cúbicas (regla 3/8) a través de puntos de muestreo. A diferencia de la regla del trapecio, que utiliza líneas rectas entre puntos, la regla de Simpson captura la curvatura de la función, ofreciendo una precisión O(h⁴), lo que la convierte en uno de los métodos más utilizados en cálculo, ingeniería y computación científica.

Características Principales

Cómo usar la Calculadora de la Regla de Simpson

1. Ingrese su función — Escriba una expresión matemática f(x) como x^2, sin(x), exp(-x^2), o cualquier combinación de funciones compatibles.
2. Establezca los límites de integración — Ingrese el límite inferior (a) y el límite superior (b), y elija el número de subintervalos (n).
3. Elija una regla — Seleccione la Regla de Simpson 1/3 (requiere n par, se ajusta automáticamente si es impar) o la Regla 3/8 (requiere n divisible por 3, se ajusta automáticamente).
4. Haga clic en Calcular — La herramienta computa la aproximación con una solución paso a paso completa renderizada en MathJax.
5. Explore los resultados — Interactúe con la visualización parabólica, revise las áreas por segmento, compare métodos y estudie el análisis de convergencia.

Explicación de la Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 compuesta divide [a, b] en n subintervalos iguales (n debe ser par) y ajusta una parábola a través de cada tres puntos consecutivos:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

donde \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). Los coeficientes siguen el patrón 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Cada par de subintervalos utiliza un polinomio cuadrático que pasa por tres puntos, capturando la curvatura de la función mucho mejor que la interpolación lineal.

Explicación de la Regla de Simpson 3/8

La regla 3/8 utiliza interpolación cúbica sobre grupos de tres subintervalos (n debe ser divisible por 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Los coeficientes siguen el patrón 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Aunque ambas reglas alcanzan una precisión O(h⁴), la regla 3/8 es útil cuando n no es par.

Comparación de Errores

Duplicar n reduce el error de la regla de Simpson en aproximadamente 16 veces, en comparación con solo 4 veces para la regla del trapecio. Esto hace que la regla de Simpson converja mucho más rápido para funciones suaves.

Cuándo usar cada regla

• Regla de Simpson 1/3 — La mejor para la mayoría de las aplicaciones. Úsela cuando n es par (o puede hacerse par). Es la más precisa por evaluación de función entre las tres fórmulas básicas de Newton-Cotes.
• Regla de Simpson 3/8 — Úsela cuando n es múltiplo de 3 pero no par. También es útil en fórmulas compuestas al combinarla con la regla 1/3 para manejar recuentos impares de subintervalos.
• Regla del trapecio — Prefiérala cuando los datos están espaciados de manera desigual, n es impar y pequeño, o cuando la simplicidad importa más que la precisión. También es mejor para funciones con discontinuidades en sus derivadas de orden superior.

Funciones Soportadas

Esta calculadora soporta una amplia gama de funciones matemáticas:

• Polinomios: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
• Trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
• Exponenciales/Logarítmicas: exp(x), ln(x), log(x)
• Raíces: sqrt(x)
• Constantes: pi, e
• Combinaciones: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Preguntas Frecuentes

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