Calculadora de Forma Normal de Jordan

Calculadora de Forma Normal de Jordan

La Calculadora de Forma Normal de Jordan produce la forma canónica de Jordan J de una matriz cuadrada A junto con una matriz de transición invertible P que satisface la relación de semejanza P⁻¹AP = J. A diferencia de la diagonalización, que falla para matrices defectuosas, la forma de Jordan existe para toda matriz cuadrada sobre un cuerpo algebraicamente cerrado: reemplaza la representación diagonal con una secuencia de bloques de Jordan, cada uno de los cuales es una matriz casi diagonal que contiene un autovalor en la diagonal y unos (1s) en la superdiagonal. Esta herramienta calcula todo con aritmética racional exacta, por lo que las matrices J y P resultantes son demostrablemente correctas; no hay redondeos de punto flotante involucrados.

¿Qué es la Forma Normal de Jordan?

Dada una matriz A de n × n sobre los números complejos, la forma normal de Jordan J es una matriz diagonal de bloques

donde cada bloque de Jordan J_k(λ) es una matriz de k × k con λ en la diagonal, unos (1s) en la superdiagonal y ceros en el resto:

Los autovalores λ_i pueden repetirse en varios bloques; lo que importa es el patrón de los tamaños de los bloques, que es un invariante de semejanza completo de A.

¿Por qué necesitamos la forma de Jordan si tenemos la diagonalización?

No todas las matrices cuadradas son diagonalizables. Una matriz no es diagonalizable cuando algún autovalor tiene menos autovectores independientes que su multiplicidad algebraica; decimos que la matriz es defectuosa. La forma de Jordan repara esta brecha introduciendo autovectores generalizados, produciendo una forma canónica que funciona para todas las matrices.

Conceptos clave

Multiplicidad Algebraica vs Geométrica

La multiplicidad algebraica de un autovalor λ es la multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico p_A(λ) = det(λI − A). La multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio, o equivalentemente dim ker(A − λI). El número de bloques de Jordan asociados con λ es igual a su multiplicidad geométrica, y el tamaño total de esos bloques es igual a su multiplicidad algebraica.

Autovectores generalizados y cadenas

Un vector v es un autovector generalizado de rango k para el autovalor λ si (A − λI)^kv = 0 pero (A − λI)^k−1v ≠ 0. Al aplicar N = (A − λI) a un autovector generalizado de rango k se produce uno de rango k−1, por lo que obtenemos una cadena de Jordan:

Al colocar la cadena en el orden v₁, v₂, …, v_k como las columnas de P se produce un bloque de Jordan de tamaño k en las filas/columnas correspondientes de J.

La escalera del núcleo y el conteo de bloques

Para cada autovalor λ, definimos la secuencia ascendente d_k = dim ker((A − λI)^k). La secuencia es no decreciente y se estabiliza en la multiplicidad algebraica de λ. Los conteos de bloques de Jordan de cada tamaño se extraen de esta escalera:

Este es un conteo de diagrama de Young y es exacto: no requiere conjeturas. La calculadora imprime esta escalera para cada autovalor para que pueda seguir la descomposición paso a paso.

Polinomio mínimo

El polinomio mínimo m_A(λ) es el polinomio mónico de menor grado que satisface m_A(A) = 0. Una vez que se tiene la forma de Jordan, obtenerlo es trivial:

Una matriz es diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo no tiene raíces repetidas, es decir, cada bloque de Jordan tiene tamaño 1.

Cómo funciona esta calculadora

1. Analiza la matriz — se aceptan entradas enteras, fraccionarias (ej. 1/2) o decimales, y se convierten a racionales exactos (fractions.Fraction).
2. Calcula el polinomio característico utilizando el algoritmo de Faddeev–LeVerrier, que evita la expansión simbólica del determinante y se ejecuta en tiempo O(n⁴) con aritmética exacta.
3. Busca autovalores racionales mediante el Teorema de la Raíz Racional: cada raíz racional p/q de un polinomio entero primitivo satisface que p divide al término constante y q divide al coeficiente principal. Cada raíz encontrada se divide y la búsqueda se repite.
4. Construye la escalera del núcleo para cada autovalor λ computando dim ker((A − λI)^k) con RREF racional hasta que la secuencia se estabiliza en la multiplicidad algebraica.
5. Selecciona los vectores superiores de la cadena desde el núcleo más grande hasta el más pequeño, extendiendo la base siempre que se requiera un nuevo bloque de Jordan. Cada parte superior de la cadena se multiplica repetidamente por (A − λI) para obtener sus vectores de cadena.
6. Ensambla J y P agrupando cadenas por autovalor (bloques de mayor tamaño primero), colocando los vectores de cadena como las columnas de P y llenando J con los autovalores y unos en la superdiagonal.
7. Verifica exactamente que P⁻¹ A P = J utilizando aritmética de enteros; el resultado está garantizado porque todos los cálculos intermedios son racionales.

Ejemplo resuelto

Considere la matriz defectuosa de 3 × 3

• Polinomio característico: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Único autovalor λ = 5 con multiplicidad algebraica 3.
• Escalera del núcleo para λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Los incrementos son 1, 1, 1 → un único bloque de Jordan de tamaño 3.
• Forma de Jordan: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), con multiplicidad geométrica 1 e índice 3.
• Polinomio mínimo: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — igual al polinomio característico porque solo hay un bloque de Jordan.

Aplicaciones de la Forma Normal de Jordan

• Exponenciales de matrices y EDO lineales — para un sistema de coeficientes constantes x′ = Ax, la solución de forma cerrada es \(e^{tA}x_0\), y \(e^{tA}\) es sencillo de calcular una vez que A se escribe en forma de Jordan.
• Potencias de una matriz — \(A^k = P J^k P^{-1}\), y los bloques de Jordan admiten fórmulas explícitas para sus potencias.
• Cálculo funcional — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) se generaliza a cualquier f analítica, siempre que f esté definida en un entorno del espectro.
• Teoría de control — la estabilidad de los sistemas lineales se rige por los autovalores y los tamaños de los bloques de Jordan (los casos límite requieren observar el bloque más grande para un autovalor marginal).
• Clasificación de operadores lineales — dos matrices son semejantes si y solo si comparten la misma forma de Jordan, por lo que la forma es un invariante completo.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la forma normal de Jordan de una matriz?

La forma normal de Jordan (también llamada forma canónica de Jordan) es una matriz casi diagonal J semejante a la matriz original A, lo que significa que existe una matriz invertible P con P⁻¹AP = J. La diagonal de J contiene los autovalores de A, y justo encima de la diagonal hay unos (1s) que aparecen dentro de los bloques de Jordan siempre que A no es diagonalizable. Toda matriz cuadrada sobre los números complejos tiene una forma normal de Jordan, única salvo por el orden de los bloques.

¿Cuándo una matriz no es diagonalizable?

Una matriz no es diagonalizable cuando al menos un autovalor tiene menos autovectores linealmente independientes que su multiplicidad algebraica: la brecha se llena con bloques de Jordan de tamaño 2 o mayor. De manera equivalente, una matriz no es diagonalizable cuando su polinomio mínimo tiene una raíz repetida. Tales matrices se denominan defectuosas.

¿Cómo se definen los autovectores generalizados?

Un autovector generalizado de rango k para el autovalor λ es un vector v no nulo tal que (A − λI)^kv = 0 pero (A − λI)^k−1v es no nulo. Aplicar (A − λI) a un autovector generalizado de rango k da uno de rango k−1, produciendo una cadena. Estas cadenas forman las columnas de la matriz de transición P en la descomposición de Jordan.

¿Cuál es la diferencia entre multiplicidad algebraica y geométrica?

La multiplicidad algebraica de un autovalor λ es el número de veces que aparece como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es la dimensión de su espacio propio: el número de autovectores linealmente independientes. La multiplicidad geométrica es igual al número de bloques de Jordan para λ, mientras que la multiplicidad algebraica es igual al tamaño total de todos esos bloques. Multiplicidades iguales significan que el autovalor contribuye solo con bloques de tamaño 1.

¿Cómo encuentra esta calculadora los tamaños de los bloques de Jordan?

Para cada autovalor λ, la calculadora computa las dimensiones d_k = dim ker((A − λI)^k) para k = 1, 2, … hasta que la secuencia se estabiliza en la multiplicidad algebraica. El número de bloques de Jordan de tamaño al menos k es igual a d_k − d_k−1. Restar términos consecutivos produce el recuento exacto de bloques de cada tamaño. Este cálculo de diagrama de Young es exacto y utiliza aritmética racional en todo momento.

¿La calculadora maneja matrices con autovalores irracionales o complejos?

La calculadora utiliza aritmética racional exacta, lo que requiere que los autovalores sean números racionales. Cuando el polinomio característico tiene factores que no se dividen sobre los racionales, la herramienta muestra autovalores complejos aproximados numéricamente para el factor restante, pero no produce la forma de Jordan completa, porque la aritmética exacta es esencial para determinar los tamaños de los bloques correctamente. Escala o modifica tu matriz para que todos los autovalores sean racionales para obtener la descomposición de Jordan completa.

¿Qué es el polinomio mínimo y cómo se calcula aquí?

El polinomio mínimo m(λ) es el polinomio mónico de menor grado que anula a A, lo que significa que m(A) = 0. Es igual al producto sobre los autovalores distintos λ de (λ − λ_i)^index_i, donde el índice es el tamaño del bloque de Jordan más grande para el autovalor λ_i. Esta calculadora lee el índice directamente de la estructura de bloques computada, por lo que el polinomio mínimo es un subproducto gratuito de la descomposición de Jordan.

Lectura adicional

• Forma normal de Jordan — Wikipedia
• Autovector generalizado — Wikipedia
• Polinomio mínimo — Wikipedia
• Algoritmo de Faddeev–LeVerrier — Wikipedia