Löser für Arbeitsraten-Aufgaben

Der Löser für Arbeitsraten-Aufgaben deckt die fünf häufigsten Textaufgaben zum Thema „A und B arbeiten zusammen“ an einem Ort ab: das klassische Problem der kombinierten Zeit, das Problem des fehlenden Arbeiters, bei dem man einen Arbeiter und die Teamzeit kennt, aber nicht den anderen Arbeiter, das Problem der Nettozeit bei Füllrohr vs. Entleerungsrohr, das Problem der abwechselnden Schichten, bei dem sich zwei Arbeiter abwechseln, und das Problem der teilweisen Fertigstellung, bei dem ein Arbeiter solo beginnt und der andere in der Mitte dazukommt. Geben Sie die Solo-Zeiten in Ihrer bevorzugten Einheit ein — Stunden, Minuten, Tage oder Sekunden — und der Löser wendet das Raten-Additionsgesetz an, führt die Algebra Schritt für Schritt in LaTeX durch und zeigt eine animierte duale Kreisdiagramm-Visualisierung mit einem Segment pro Arbeiter, das im Verhältnis zur Rate dieses Arbeiters wächst.

So verwenden Sie diesen Löser

1. Wählen Sie das Szenario, das zu Ihrem Problem passt, aus dem Dropdown-Menü — zusammen, fehlender Arbeiter, Rohr füllen vs. leeren, abwechselnde Schichten oder A solo, dann kommt B dazu.
2. Wählen Sie die Zeiteinheit (Stunden, Minuten, Tage oder Sekunden). Alle Eingaben verwenden dieselbe Einheit.
3. Geben Sie die Solo-Zeit jedes Arbeiters ein. Geben Sie beim Fall des fehlenden Arbeiters auch die gemeinsame Zeit ein. Geben Sie bei Rohren die Füll- und Entleerungszeiten ein. Geben Sie bei abwechselnden Schichten die Schichtlänge ein und wer beginnt. Geben Sie bei teilweiser Fertigstellung ein, wie lange A alleine arbeitet, bevor B dazukommt.
4. Klicken Sie auf Lösen. Der Hauptwert ist die fehlende Größe — kombinierte Zeit, Bs Solo-Zeit, Nettofüllzeit, Gesamtzeit oder gesamte Projektlaufzeit.
5. Beobachten Sie, wie sich das duale Kreisdiagramm im Verhältnis zur Rate jedes Arbeiters füllt, und lesen Sie die LaTeX-formatierte Schritt-für-Schritt-Erklärung.

Die fünf Formeln auf einen Blick

Das Raten-Additionsgesetz (die Kernidee)

Jedes Arbeitsraten-Problem lässt sich auf eine Identität reduzieren: Raten addieren sich, wenn Arbeiter kooperieren, Zeiten jedoch nicht. Wenn A einen ganzen Auftrag in \( T_A \) beendet, dann erledigt A \( 1/T_A \) des Auftrags pro Zeiteinheit. Zwei Arbeiter tragen ihre Bruchteile pro Zeiteinheit unabhängig bei:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Jedes Szenario in diesem Rechner ist lediglich eine andere Unbekannte in dieser selben Gleichung:

• Zusammen — nach \( T \) auflösen, wenn \( T_A \) und \( T_B \) gegeben sind.
• Fehlend — nach \( T_B \) auflösen, wenn \( T_A \) und die gemeinsame Zeit \( T \) gegeben sind.
• Rohr — Vorzeichen eines Terms umkehren: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Abwechselnd — Zeit in A+B-Zyklen aufteilen, jeder Zyklus erledigt \( L(r_A+r_B) \) des Auftrags.
• Teilweise — Zeitplan aufteilen: A solo, dann zusammen.

Rechenbeispiel: zwei Maler

Maler A kann eine Wand in 6 Stunden fertigstellen. Maler B kann dieselbe Wand in 4 Stunden streichen. Wie lange brauchen sie zusammen?

1. As Rate: \( r_A = 1/6 \) Wand pro Stunde.
2. Bs Rate: \( r_B = 1/4 \) Wand pro Stunde.
3. Kombinierte Rate: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) Wand pro Stunde.
4. Kombinierte Zeit: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 \) Stunden = 2 Stunden 24 Minuten.
5. Hinweis: Das Ergebnis (2,4 h) ist kleiner als sowohl 4 h als auch 6 h — das Hinzufügen eines zweiten Arbeiters kann den Auftrag nur beschleunigen.

Rechenbeispiel: fehlender Helfer

Sie wissen, dass A alleine 5 Stunden braucht. Mit einem unbekannten Helfer B ist das Team in 2 Stunden fertig. Wie lange würde B alleine brauchen?

1. Kombinierte Rate: \( r_T = 1/2 = 0,5 \) Auftrag pro Stunde.
2. As Rate: \( r_A = 1/5 = 0,2 \) Auftrag pro Stunde.
3. Subtrahieren: \( r_B = 0,5 - 0,2 = 0,3 \) Auftrag pro Stunde.
4. Bs Solo-Zeit: \( T_B = 1/0,3 \approx 3,33 \) Stunden.

Rechenbeispiel: Füllrohr vs. Entleerungsrohr

Ein Füllrohr füllt einen Tank in 5 Stunden. Ein Entleerungsrohr leert denselben Tank in 8 Stunden. Beide sind offen. Wie lange dauert es, bis der Tank voll ist?

1. Füllrate: \( r_f = 1/5 = 0,20 \) Tank pro Stunde.
2. Entleerungsrate: \( r_d = 1/8 = 0,125 \) Tank pro Stunde.
3. Nettorate: \( r_{net} = 0,20 - 0,125 = 0,075 \) Tank pro Stunde.
4. Zeit zum Füllen: \( T = 1/0,075 \approx 13,33 \) Stunden = 13 h 20 min.
5. Plausibilitätsprüfung: Die Füllung alleine dauert 5 h; wenn die Entleerung dagegen arbeitet, verdoppelt sich die Zeit mehr als. Wäre die Entleerung schneller als die Füllung, würde der Tank nie voll werden.

Rechenbeispiel: abwechselnde Einstunden-Schichten

A beendet einen Auftrag alleine in 6 Stunden. B alleine braucht 8 Stunden. Sie wechseln sich in Einstunden-Schichten ab, A beginnt. Wie lange dauert der Auftrag?

1. Arbeit pro Schichtpaar: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0,2917 \) des Auftrags pro Paar.
2. Drei volle Paare (6 Stunden) erledigen \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0,875 \) des Auftrags.
3. Verbleibend: 0,125. As nächste 1-stündige Schicht schafft \( 1/6 \approx 0,1667 \), was mehr als 0,125 ist, also wird A während der 4. Schicht fertig.
4. Zeit, die A für die letzten 0,125 benötigt: \( 0,125 / (1/6) = 0,75 \) Stunden.
5. Gesamtzeit: \( 6 + 0,75 = 6,75 \) Stunden = 6 h 45 min.

Rechenbeispiel: teilweise Fertigstellung

A beginnt einen Auftrag alleine (As Solo-Zeit 6 h). Nach 2 Stunden kommt B dazu (Bs Solo-Zeit 4 h). Wie lange dauert es bis zur Fertigstellung?

1. Arbeit, die A alleine beendet: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) des Auftrags.
2. Verbleibende Arbeit: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Kombinierte Rate: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) pro Stunde.
4. Zeit für die gemeinsame Phase: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1,6 \) Stunden.
5. Gesamt: \( 2 + 1,6 = 3,6 \) Stunden = 3 h 36 min.

Häufige Fehler und wie man sie vermeidet

• Zeiten statt Raten addieren — der häufigste Schülerfehler. Wenn A 6 h braucht und B 4 h, ist die Antwort NICHT 5 h (der Durchschnitt) und NICHT 10 h (die Summe). Es sind 2,4 h, ermittelt durch Addition der Raten.
• Gemeinsame Zeit kürzer als der schnellere Arbeiter — die gemeinsame Zeit muss kleiner sein als sowohl \( T_A \) als auch \( T_B \). Wenn Sie etwas Größeres berechnet haben, liegt ein Rechenfehler vor.
• Rohre, die nie voll werden — wenn die Entleerungsrate größer oder gleich der Füllrate ist, wird der Tank niemals voll werden. Der Löser wird Sie warnen.
• Zeiteinheiten mischen — einige Eingaben in Minuten und andere in Stunden umzurechnen, führt zu Unsinn. Wählen Sie oben eine Einheit und verwenden Sie diese überall.
• Abwechselnde Schichten: Vergessen Sie die letzte Teilschicht nicht — nach dem Zählen voller A+B-Zyklen endet die Arbeit meist mitten in einer Schicht. Lösen Sie für diese letzte Teilschicht exakt auf.
• Teilweise Fertigstellung: A könnte fertig sein, bevor B dazukommt — wenn \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), ist A bereits fertig und B arbeitet nie. Der Rechner berücksichtigt diesen Fall automatisch.

Kurzübersicht — Rate vs. Zeit

Wo Arbeitsraten-Aufgaben im echten Leben auftauchen

• Bauwesen und Vertragswesen — Schätzung der Dauer für ein Zweier-Team, wenn das Solo-Tempo jedes Mitglieds bekannt ist.
• Rohre und Klempnerarbeiten — Dimensionierung einer Pumpe und eines Überlaufablaufs, damit der Tank in einer festgelegten Zeit einen Zielstand erreicht.
• Software und CI — zwei Test-Runner, die parallel ausgeführt werden; die Echtzeit entspricht der Zeit des langsamsten, aber der Durchsatz entspricht der Summe der Raten.
• Fertigung — mehrere Maschinen in derselben Linie; der Gesamtdurchsatz ist die Summe der Durchsätze pro Maschine.
• Bildung — Arbeitsraten-Probleme sind ein fester Bestandteil von SAT/ACT, GRE, GMAT und den meisten Algebra-Lehrbüchern (Kapitel über rationale Gleichungen).

Häufig gestellte Fragen