Calculadora de Espacio Nulo
Halle el espacio nulo (núcleo) de cualquier matriz resolviendo Ax = 0 mediante eliminación gaussiana. Obtenga los vectores de la base, la nulidad, la reducción RREF paso a paso y la verificación del teorema del rango-nulidad con aritmética fraccionaria exacta.
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Calculadora de Espacio Nulo
La Calculadora de Espacio Nulo halla el espacio nulo (núcleo) de cualquier matriz resolviendo el sistema homogéneo Ax = 0. Ingrese una matriz de cualquier tamaño hasta 8×8 y obtenga la base completa del espacio nulo con aritmética fraccionaria exacta, eliminación gaussiana paso a paso hasta RREF, clasificación de columnas (pivote vs. libre) y verificación del teorema del rango-nulidad.
¿Qué es el espacio nulo de una matriz?
El espacio nulo (también llamado núcleo) de una matriz \(A\) de \(m \times n\) es el conjunto de todos los vectores \(\mathbf{x}\) en \(\mathbb{R}^n\) que satisfacen:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Expresado como conjunto: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). El espacio nulo es siempre un subespacio de \(\mathbb{R}^n\), lo que significa que contiene al vector cero y es cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar.
Cómo hallar el espacio nulo
Paso 1. Establezca el número de filas (m) y columnas (n) para su matriz usando los controles +/−, o haga clic en un ejemplo rápido para cargar una matriz preestablecida.
Paso 2. Ingrese los valores de su matriz en la cuadrícula. Puede escribir números enteros, decimales o fracciones como 1/3 o -5/2. Use Tab, Enter o las teclas de flecha para navegar entre las celdas.
Paso 3. Haga clic en Hallar espacio nulo. La calculadora realiza la eliminación gaussiana para convertir su matriz a la forma escalonada reducida por filas (RREF).
Paso 4. Identifique las columnas de pivote y las columnas libres. Cada columna libre corresponde a una variable libre que puede tomar cualquier valor.
Paso 5. Para cada variable libre, asígnele el valor 1 y a todas las demás variables libres el valor 0, luego resuelva para las variables de pivote. Los vectores resultantes forman una base para el espacio nulo.
Espacio nulo vs. Espacio de columnas
| Propiedad | Espacio nulo | Espacio de columnas |
|---|---|---|
| Definición | Todo x tal que Ax = 0 | Todo b tal que Ax = b tiene solución |
| Pertenece a | \(\mathbb{R}^n\) (dominio) | \(\mathbb{R}^m\) (codominio) |
| Dimensión | nulidad = n − rango | rango |
| Se halla desde | Columnas libres de la RREF | Columnas de pivote de A |
El teorema del rango-nulidad
Para cualquier matriz \(A\) de \(m \times n\):
$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$
El rango es el número de columnas de pivote en la RREF, y la nulidad es el número de columnas libres. Juntos representan cada columna. Este teorema también se conoce como el teorema de la dimensión para aplicaciones lineales.
Casos especiales
| Escenario | Espacio nulo | Qué significa |
|---|---|---|
| Rango de columna completo (rango = n) | Solo {0} | Las columnas son linealmente independientes; Ax = 0 solo tiene la solución trivial |
| Más columnas que filas (n > m) | Siempre no trivial | Hay al menos n − m variables libres, por lo que existen infinitas soluciones |
| Matriz cuadrada singular | No trivial | La matriz tiene un determinante cero y filas/columnas dependientes |
| Matriz cero | Todo \(\mathbb{R}^n\) | Cada vector está en el espacio nulo; la base es la base estándar |
Aplicaciones del espacio nulo
Preguntas frecuentes
¿Qué es el espacio nulo de una matriz?
El espacio nulo (o núcleo) de una matriz A es el conjunto de todos los vectores x tales que Ax = 0. Es un subespacio de R^n donde n es el número de columnas. El espacio nulo siempre contiene al vector cero y también puede contener infinitos vectores no nulos si la matriz tiene variables libres.
¿Cómo se halla el espacio nulo?
Reduzca la matriz A a la forma escalonada reducida por filas (RREF) mediante eliminación gaussiana. Identifique las columnas de pivote y las columnas libres. Para cada variable libre, asígnele el valor 1 y a todas las demás variables libres el valor 0, luego resuelva para las variables de pivote. Los vectores resultantes forman una base para el espacio nulo.
¿Qué es el teorema del rango-nulidad?
El teorema del rango-nulidad establece que para una matriz A de m por n, rango(A) + nulidad(A) = n, donde n es el número de columnas. El rango es el número de columnas de pivote y la nulidad es la dimensión del espacio nulo (número de variables libres).
¿Qué significa si el espacio nulo es trivial?
Un espacio nulo trivial significa que la única solución para Ax = 0 es el vector cero x = 0. Esto ocurre cuando cada columna es una columna de pivote (rango de columna completo). Significa que las columnas de A son linealmente independientes.
¿Pueden las matrices no cuadradas tener un espacio nulo?
Sí. Cualquier matriz tiene un espacio nulo. Para una matriz de m por n con m menor que n, se garantiza que el espacio nulo es no trivial (dimensión al menos n - m) porque hay más incógnitas que ecuaciones, por lo que siempre existen variables libres.
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por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 2026-04-10
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