Calculadora de Descomposición QR

Calculadora de Descomposición QR

La Calculadora de Descomposición QR factoriza cualquier matriz A en el producto de una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R, de modo que A = QR. Ingrese una matriz de 2×2 a 5×5 (incluyendo matrices no cuadradas donde las filas ≥ columnas) y obtenga la ortogonalización completa de Gram-Schmidt con soluciones paso a paso, animación interactiva, verificación de ortogonalidad QᵀQ = I y conocimientos educativos detallados.

¿Qué es la Descomposición QR?

La descomposición QR (también llamada factorización QR) escribe una matriz A como:

$$A = QR$$

donde Q es una matriz ortogonal (sus columnas son vectores ortonormales que satisfacen QᵀQ = I), y R es una matriz triangular superior. Para una matriz m×n con m ≥ n y rango de columna completo, la QR reducida da Q como m×n y R como n×n.

Explicación del Proceso de Gram-Schmidt

Dados los vectores columna a₁, a₂, …, aₙ de A, el algoritmo clásico de Gram-Schmidt produce vectores ortonormales e₁, e₂, …, eₙ:

Paso 1. Establecer u₁ = a₁, luego normalizar: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Paso 2. Para cada columna subsiguiente aⱼ, restar sus proyecciones sobre todos los eₖ anteriores:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Luego normalizar: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Paso 3. La matriz Q tiene e₁, …, eₙ como columnas. R es triangular superior con entradas rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Cómo Usar Esta Calculadora

Paso 1. Establezca las dimensiones de la matriz (filas × columnas). Las filas deben ser ≥ columnas para la descomposición QR.

Paso 2. Ingrese los valores en la cuadrícula o haga clic en un ejemplo rápido para cargar uno predeterminado. Use Tab o las teclas de flecha para navegar.

Paso 3. Haga clic en Descomponer A = QR. La calculadora ejecuta el proceso de Gram-Schmidt y muestra Q y R.

Paso 4. Vea la animación de Gram-Schmidt para observar cómo se ortogonaliza cada columna: vector original → restar proyecciones → resultado no normalizado → vector ortonormal normalizado.

Paso 5. Verifique el resultado: compruebe que QR = A y QᵀQ = I (matriz identidad). Siga la derivación completa usando el navegador de pasos.

Aplicaciones de la Descomposición QR

QR vs. Otras Descomposiciones de Matrices

Preguntas Frecuentes

¿Qué es la descomposición QR?

La descomposición QR factoriza una matriz A en el producto de una matriz ortogonal Q (cuyas columnas son ortonormales) y una matriz triangular superior R. Cada matriz real con columnas linealmente independientes tiene una factorización QR única cuando requerimos que R tenga entradas diagonales positivas.

¿Qué es el proceso de Gram-Schmidt?

El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo que toma un conjunto de vectores linealmente independientes y produce un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio. Funciona restando iterativamente las proyecciones sobre todos los vectores ortonormales calculados previamente y luego normalizando el residuo.

¿Funciona la descomposición QR para matrices no cuadradas?

Sí. Para una matriz m×n donde m ≥ n, la descomposición QR reducida (o delgada) da Q como m×n con columnas ortonormales y R como n×n triangular superior. Esta es la forma más común utilizada en la práctica, especialmente para problemas de mínimos cuadrados.

¿Cuándo debo usar QR en lugar de la descomposición LU?

Use QR cuando la estabilidad numérica sea más importante que la velocidad — por ejemplo, con matrices mal condicionadas, problemas de mínimos cuadrados o cálculo de valores propios. LU es más rápida (aproximadamente el doble para sistemas cuadrados) pero puede amplificar los errores de redondeo. QR preserva las normas vectoriales porque Q es ortogonal.

¿Cuál es la diferencia entre QR y SVD?

Ambas producen factores ortogonales, pero la SVD descompone A en tres matrices (UΣVᵀ) revelando valores singulares y rango, mientras que QR da dos matrices (QR) y es más rápida de calcular. Se prefiere la SVD para problemas de deficiencia de rango y cálculo de pseudoinversas; se prefiere QR para resolver sistemas de rango completo y algoritmos de valores propios.

Álgebra Lineal:

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