Solver Zadań o Tempie Pracy

Solver Zadań o Tempie Pracy obejmuje pięć najczęstszych zadań tekstowych typu „A i B pracują razem” w jednym miejscu: klasyczny problem połączonego czasu, problem brakującego pracownika (gdy znasz jednego pracownika i czas zespołu, ale nie drugiego pracownika), problem netto czasu napełniania rury vs odpływu, problem zmian naprzemiennych, w którym dwóch pracowników pracuje na zmiany, oraz problem częściowego ukończenia, w którym jeden pracownik zaczyna sam, a drugi dołącza w połowie. Wpisz czasy solo w preferowanej jednostce — godzinach, minutach, dniach lub sekundach — a solver zastosuje prawo dodawania tempa, przejdzie przez algebrę krok po kroku w LaTeX i pokaże animowaną wizualizację kołową z jednym wycinkiem na pracownika, który rośnie proporcjonalnie do tempa tego pracownika.

Jak korzystać z tego solvera

1. Wybierz scenariusz pasujący do Twojego problemu z listy rozwijanej — razem, brakujący pracownik, rura napełniająca vs odpływ, zmiany naprzemienne lub A solo, a następnie dołącza B.
2. Wybierz jednostkę czasu (godziny, minuty, dni lub sekundy). Wszystkie dane wejściowe używają tej samej jednostki.
3. Wprowadź czas solo każdego pracownika. W przypadku brakującego pracownika wprowadź również czas wspólny. Dla rur wprowadź czasy napełniania i opróżniania. W przypadku zmian naprzemiennych wprowadź długość zmiany i to, kto zaczyna. W przypadku częściowego ukończenia wprowadź czas, przez jaki A pracuje sam, zanim dołączy B.
4. Kliknij Rozwiąż. Wartość nagłówkowa to brakująca ilość — czas połączony, czas solo B, czas napełniania netto, całkowity upływający czas lub całkowity czas projektu.
5. Obserwuj, jak wykres kołowy wypełnia się proporcjonalnie do tempa każdego pracownika i przeczytaj sformatowane w LaTeX wyjaśnienie krok po kroku.

Pięć wzorów w skrócie

Prawo dodawania tempa (kluczowa idea)

Każdy problem tempa pracy sprowadza się do jednej tożsamości: tempa dodają się, gdy pracownicy współpracują, ale czasy nie. Jeśli A kończy jedno całe zadanie w czasie \( T_A \), to A wykonuje \( 1/T_A \) zadania na jednostkę czasu. Dwóch pracowników wnosi swoje ułamki na jednostkę czasu niezależnie:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Każdy scenariusz w tym kalkulatorze to po prostu inna niewiadoma w tym samym równaniu:

• Razem — oblicz \( T \) dla danych \( T_A \) i \( T_B \).
• Brakujący — oblicz \( T_B \) dla danych \( T_A \) i czasu wspólnego \( T \).
• Rura — zmień znak jednego wyrazu: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Naprzemiennie — podziel czas na cykle A+B, każdy cykl wykonuje \( L(r_A+r_B) \) zadania.
• Częściowo — podziel oś czasu: A solo, potem razem.

Przykład: dwóch malarzy

Malarz A może pomalować ścianę w 6 godzin. Malarz B może zrobić to samo w 4 godziny. Ile czasu zajmie im wspólna praca?

1. Tempo A: \( r_A = 1/6 \) ściany na godzinę.
2. Tempo B: \( r_B = 1/4 \) ściany na godzinę.
3. Tempo połączone: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) ściany na godzinę.
4. Czas wspólny: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) godziny = 2 godziny 24 minuty.
5. Uwaga: wynik (2.4 h) jest mniejszy niż oba czasy solo 4 h i 6 h — dodanie drugiego pracownika może tylko przyspieszyć pracę.

Przykład: brakujący pomocnik

Wiesz, że sam A potrzebuje 5 godzin. Z nieznanym pomocnikiem B zespół kończy w 2 godziny. Ile czasu potrzebowałby sam B?

1. Tempo wspólne: \( r_T = 1/2 = 0.5 \) zadania na godzinę.
2. Tempo A: \( r_A = 1/5 = 0.2 \) zadania na godzinę.
3. Odejmij: \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) zadania na godzinę.
4. Czas solo B: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) godziny.

Przykład: rura napełniająca vs rura odpływowa

Rura napełniająca napełnia zbiornik w 5 godzin. Rura odpływowa opróżnia ten sam zbiornik w 8 godzin. Obie są otwarte. Za ile czasu zbiornik będzie pełny?

1. Tempo napełniania: \( r_f = 1/5 = 0.20 \) zbiornika na godzinę.
2. Tempo odpływu: \( r_d = 1/8 = 0.125 \) zbiornika na godzinę.
3. Tempo netto: \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) zbiornika na godzinę.
4. Czas napełniania: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) godziny = 13 h 20 min.
5. Sprawdzenie poprawności: samo napełnianie to 5 h; z odpływem działającym przeciwko niemu, czas ponad dwukrotnie się wydłuża. Gdyby odpływ był szybszy niż napełnianie, zbiornik nigdy by się nie napełnił.

Przykład: naprzemienne zmiany godzinne

A kończy pracę sam w 6 godzin. Samemu B zajmuje to 8 godzin. Pracują na zmianę w cyklach jednogodzinnych, zaczyna A. Ile czasu trwa praca?

1. Praca na parę zmian: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) zadania na parę.
2. Trzy pełne pary (6 godzin) kończą \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) zadania.
3. Pozostało: 0.125. Następna 1-godzinna zmiana A kończy \( 1/6 \approx 0.1667 \), czyli więcej niż 0.125, więc A kończy podczas swojej 4. zmiany.
4. Czas potrzebny A na zrobienie ostatnich 0.125: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) godziny.
5. Całkowity czas: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) godziny = 6 h 45 min.

Przykład: częściowe ukończenie

A zaczyna pracę sam (czas solo A 6 h). Po 2 godzinach dołącza B (czas solo B 4 h). Ile czasu do końca?

1. Praca ukończona przez A solo: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) zadania.
2. Pozostała praca: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Tempo połączone: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) na godzinę.
4. Czas na fazę wspólną: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) godziny.
5. Razem: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) godziny = 3 h 36 min.

Częste pułapki i jak ich unikać

• Dodawanie czasów zamiast tempa — najczęstszy błąd uczniów. Jeśli A potrzebuje 6 h, a B 4 h, odpowiedź to NIE jest 5 h (średnia) ani 10 h (suma). To 2.4 h, obliczone przez dodanie tempa pracy.
• Czas wspólny krótszy niż najszybszy pracownik — czas wspólny musi być mniejszy niż oba \( T_A \) i \( T_B \). Jeśli wyliczyłeś coś większego, popełniłeś błąd arytmetyczny.
• Rury, które nigdy nie napełniają — jeśli tempo odpływu jest większe lub równe tempu napełniania, zbiornik nie napełni się w żadnym czasie. Solver Cię o tym ostrzeże.
• Mieszanie jednostek czasu — zamiana niektórych danych na minuty, a innych na godziny daje nonsensowne wyniki. Wybierz jedną jednostkę na górze i używaj jej wszędzie.
• Zmiany naprzemienne: nie zapomnij o ostatniej częściowej zmianie — po policzeniu pełnych cykli A+B, praca zwykle kończy się w połowie zmiany. Oblicz tę finałową częściową zmianę dokładnie.
• Częściowe ukończenie: A może skończyć przed dołączeniem B — jeśli \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A już skończył i B nigdy nie pracuje. Kalkulator obsługuje ten przypadek automatycznie.

Szybkie odniesienie — tempo vs czas

Gdzie zadania o tempie pracy pojawiają się w prawdziwym życiu

• Budownictwo i wykonawstwo — szacowanie, ile czasu zajmie dwuosobowej ekipie, gdy znane jest tempo każdego z członków z osobna.
• Rury i hydraulika — dobór pompy i odpływu przelewowego tak, aby zbiornik osiągnął docelowy poziom w określonym czasie.
• Oprogramowanie i CI — dwa moduły testowe działające równolegle; czas zegarowy równa się czasowi najwolniejszego, ale przepustowość równa się sumie tempa pracy.
• Produkcja — wiele maszyn na tej samej linii; całkowita przepustowość to suma przepustowości poszczególnych maszyn.
• Edukacja — zadania o tempie pracy są podstawą egzaminów SAT/ACT, GRE, GMAT i większości podręczników do algebry (rozdział o równaniach wymiernych).

Często zadawane pytania

Jaki jest wzór na dwóch pracowników pracujących razem?

Dodaje się tempa, a nie czasy. Jeśli A kończy pracę w \( T_A \), a B w \( T_B \), ich połączone tempo wynosi \( 1/T_A + 1/T_B \), a wspólny czas to \( T = (T_A T_B)/(T_A + T_B) \). Na przykład, jeśli A potrzebuje 6 godzin, a B 4 godziny, \( T = 24/10 = 2.4 \) godziny razem.

Dlaczego w zadaniach o tempie pracy używa się odwrotności czasu?

Ponieważ tempo to ułamek jednego zadania wykonanego w jednostce czasu. Jeśli A kończy pracę w 6 godzin, wykonuje \( 1/6 \) pracy w każdej godzinie. Gdy dwóch pracowników współpracuje bez wzajemnego przeszkadzania sobie, te ułamki godzinowe po prostu się sumują — to jest właśnie prawo dodawania tempa.

Jak rozwiązać problem rury napełniającej vs rury odpływowej?

Odejmij tempo odpływu od tempa napełniania. Jeśli rura napełniająca napełnia zbiornik w \( T_f \), a rura odpływowa opróżnia go w \( T_d \), tempo netto wynosi \( 1/T_f - 1/T_d \), a czas napełnienia od zera to \( 1 / (1/T_f - 1/T_d) \). Zbiornik napełni się tylko wtedy, gdy napełnianie jest szybsze niż odpływ.

Co to jest zadanie ze zmianami naprzemiennymi?

A i B pracują na zmiany o stałej długości. Po każdym cyklu A+B zespół kończy \( L(r_A + r_B) \) pracy. Powtarzaj pełne cykle, aż reszta będzie mogła zostać ukończona w ramach częściowej zmiany. Kalkulator liczy pełne cykle, a następnie dokładnie rozstrzyga ostatnią częściową zmianę.

Jak poradzić sobie z zadaniem, w którym B dołącza w połowie?

Podziel oś czasu na dwie fazy. W pierwszej fazie A pracuje sam z tempem \( r_A \) przez czas \( t_{solo} \), kończąc \( r_A t_{solo} \) pracy. W drugiej fazie A i B pracują razem z tempem \( r_A + r_B \) aż do zakończenia. Całkowity czas to \( t_{solo} + (1 - r_A t_{solo})/(r_A + r_B) \).

Co jeśli czas wspólny jest dłuższy niż czas solo pracownika A?

To niemożliwe — dodanie drugiego pracownika może tylko przyspieszyć pracę, nigdy jej nie spowolnić. Solver odrzuci takie dane i poprosi o ponowne sprawdzenie danych wejściowych. Czas wspólny musi być ściśle krótszy niż czas solo każdego z pracowników.

Czy mogę rozszerzyć to na trzech lub więcej pracowników?

Tak — prawo dodawania tempa uogólnia się: \( 1/T = 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C + \ldots \). Ten kalkulator koncentruje się na dwóch pracownikach (lub dwóch rurach), ale możesz go łączyć: rozwiąż najpierw A+B, potraktuj wynik jako jednego „super-pracownika”, a następnie dodaj kolejnego.

Czy to działa w dowolnej jednostce czasu?

Tak. Prawo dodawania tempa jest niezależne od jednostek, o ile wszędzie używasz tej samej jednostki. Wybierz godziny, minuty, dni lub sekundy w selektorze jednostek, a kalkulator zwróci odpowiedź w tej jednostce.