Calculadora de Distribución Geométrica

Calculadora de Distribución Geométrica

La Calculadora de Distribución Geométrica calcula probabilidades exactas para el número de ensayos de Bernoulli independientes necesarios para lograr el primer éxito. Ingrese la probabilidad de éxito por ensayo y el número de ensayo (o número de fallos) para obtener instantáneamente probabilidades puntuales y acumuladas, soluciones paso a paso, visualizaciones animadas de la secuencia de ensayos, gráficos de PMF/CDF y una tabla de distribución completa. Ambas parametrizaciones — número de ensayo y fallos antes del éxito — son totalmente compatibles.

¿Qué es la Distribución Geométrica?

La distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos independientes necesarios para obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli. Cada ensayo tiene la misma probabilidad p de éxito y probabilidad q = 1 − p de fallo. Es el análogo discreto de la distribución exponencial y es la única distribución discreta con la propiedad de falta de memoria.

Dos Parametrizaciones Comunes

La distribución geométrica tiene dos formas estándar, lo que a menudo causa confusión. Esta calculadora admite ambas:

• Parametrización de ensayos (X): X cuenta el número de ensayo en el que ocurre el primer éxito. X toma valores 1, 2, 3, … y P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. La media es 1/p.
• Parametrización de fallos (Y): Y cuenta el número de fallos antes del primer éxito. Y toma valores 0, 1, 2, … y P(Y = k) = (1 − p)^k × p. La media es (1 − p)/p. Tenga en cuenta que Y = X − 1.

La Fórmula PMF Geométrica

Para la parametrización de ensayos (la predeterminada en esta calculadora):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, para k = 1, 2, 3, …

La intuición es simple: los primeros (k − 1) ensayos deben ser todos fallos (cada uno con probabilidad 1 − p), y el k-ésimo ensayo debe ser un éxito (probabilidad p). Dado que los ensayos son independientes, multiplicamos estas probabilidades.

CDF (Función de Distribución Acumulada)

La CDF tiene una expresión cerrada y limpia:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Esto da la probabilidad de que el primer éxito ocurra dentro de los primeros k ensayos. Es equivalente a 1 menos la probabilidad de que los k ensayos sean fallos.

Media, Varianza y Otras Estadísticas

• Media (Valor Esperado): E[X] = 1/p — En promedio, se necesitan 1/p ensayos para obtener el primer éxito.
• Varianza: Var(X) = (1 − p) / p² — Mayor varianza cuando p es pequeño (el éxito es raro).
• Desviación Estándar: σ = √((1 − p) / p²)
• Mediana: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — El k más pequeño tal que P(X ≤ k) ≥ 0.5.
• Moda: Siempre 1 — El resultado más probable es el éxito en el primer ensayo.
• Asimetría: (2 − p) / √(1 − p) — Siempre positiva (sesgada a la derecha).

La Propiedad de Falta de Memoria

La distribución geométrica es la única distribución discreta con la propiedad de falta de memoria:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Esto significa que si ya ha fallado s veces, la probabilidad de necesitar al menos t ensayos más es la misma que si estuviera comenzando de nuevo. Los fallos pasados no cambian las probabilidades futuras, lo cual tiene sentido porque cada ensayo es independiente.

Aplicaciones Comunes

• Lanzamiento de Monedas — ¿Cuántos lanzamientos hasta obtener la primera cara? Con p = 0.5, el número esperado es 2 lanzamientos.
• Ventas y Marketing — ¿Cuántas llamadas en frío hasta la primera venta? Si la tasa de conversión es del 5%, espere unas 20 llamadas en promedio.
• Control de Calidad — ¿Cuántos artículos deben inspeccionarse antes de encontrar el primer defecto? Modela el tiempo de espera para eventos raros.
• Juegos de Azar — ¿Cuántos lanzamientos de un dado hasta sacar un 6? Con p = 1/6, el número esperado es 6 lanzamientos.
• Confiabilidad de Red — ¿Cuántas transmisiones de paquetes hasta que una tenga éxito? Modela protocolos de retransmisión en redes de computadoras.
• Genética — ¿Cuántos descendientes hasta que aparezca uno con un rasgo específico? Se aplica cuando la herencia de rasgos sigue las proporciones mendelianas.

Relación con Otras Distribuciones

• Binomial Negativa: La distribución geométrica es un caso especial de la binomial negativa con r = 1 (esperando exactamente 1 éxito).
• Exponencial: La distribución geométrica es el análogo discreto de la distribución exponencial continua. Ambas tienen la propiedad de falta de memoria.
• Bernoulli: Cada ensayo sigue una distribución de Bernoulli. La distribución geométrica cuenta cuántos ensayos de Bernoulli hay hasta el primer éxito.

Cómo Usar Esta Calculadora

1. Ingrese la probabilidad de éxito (p) por ensayo. Debe estar entre 0 (exclusivo) y 1 (inclusive).
2. Elija la parametrización: número de ensayo (k = 1, 2, 3, …) o fallos antes del éxito (k = 0, 1, 2, …).
3. Ingrese el valor de k.
4. Haga clic en "Calcular Probabilidad" para ver las probabilidades exactas y acumuladas, soluciones paso a paso, una secuencia de ensayos animada, gráficos PMF/CDF y la tabla de distribución completa.
5. Use los botones de escenario rápido para explorar ejemplos comunes del mundo real al instante.

Preguntas Frecuentes

¿Para qué se utiliza la distribución geométrica?

La distribución geométrica modela el número de ensayos independientes necesarios para obtener el primer éxito. Se utiliza siempre que se quiera responder a la pregunta "¿Cuántas veces tengo que intentarlo antes de tener éxito?", suponiendo que cada intento tiene la misma probabilidad de éxito. Las aplicaciones comunes incluyen el análisis de llamadas de ventas, la inspección de calidad, los juegos de azar, la retransmisión de redes y la genética.

¿Cuál es la diferencia entre las dos parametrizaciones?

La parametrización de ensayos cuenta el número de ensayo del primer éxito (comenzando desde 1), mientras que la parametrización de fallos cuenta el número de fallos antes del primer éxito (comenzando desde 0). Se diferencian en exactamente 1: si X es el número de ensayo, entonces Y = X − 1 es el recuento de fallos. Ambas dan el mismo valor de probabilidad para el k correspondiente.

¿Qué es la propiedad de falta de memoria?

La propiedad de falta de memoria significa que los fallos pasados no afectan la probabilidad de éxito futuro. Si ya ha lanzado una moneda equilibrada 10 veces sin obtener cara, la probabilidad de necesitar exactamente 1 lanzamiento más sigue siendo 0.5; la moneda no "recuerda" los lanzamientos pasados. La distribución geométrica es la única distribución discreta con esta propiedad.

¿Cómo se relaciona la distribución geométrica con la binomial negativa?

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa donde se espera exactamente r = 1 éxito. La binomial negativa generaliza esto a la espera de r éxitos, donde r puede ser cualquier entero positivo.

¿Por qué la moda es siempre 1?

La moda siempre es 1 (o 0 en la parametrización de fallos) porque el resultado individual más probable es el éxito en el primer ensayo; esto tiene probabilidad p, que es el valor más alto posible del PMF. Cada ensayo posterior tiene una probabilidad estrictamente menor porque requiere un fallo adicional primero.