Calculadora de Duración del Bono (Macaulay y Modificada)

Calculadora de Duración del Bono (Macaulay y Modificada)

La Calculadora de Duración del Bono calcula tanto la duración de Macaulay como la duración modificada para cualquier bono con cupón, junto con el DV01 (valor en dólares de un punto básico) y la vida media de PV. La visualización única del punto de equilibrio muestra la duración de la manera en que los operadores de renta fija la intuyen: como el centro de masa de los flujos de caja de valor presente del bono en un eje de tiempo. Luego, la herramienta convierte ese tiempo de espera en un número práctico de sensibilidad al precio para que pueda predecir el cambio de precio en dólares y porcentaje para cualquier choque de rendimiento desde 1 punto básico hasta 500 puntos básicos.

¿Qué hace que esta calculadora de duración sea diferente?

Cómo usar la Calculadora de Duración del Bono

1. Haga clic en un ajuste de inicio rápido (Tesoro a 2 años, Tesoro a 10 años, Corporativo a 30 años o Cupón cero a 5 años) para completar todas las entradas a la vez, o escriba su propio bono.
2. Ingrese el valor nominal (par), la tasa de cupón anual, el rendimiento actual al vencimiento y los años hasta el vencimiento.
3. Elija la frecuencia del cupón. Semestral es el valor predeterminado para los bonos de EE. UU.; elija anual para los bonos europeos o de cupón cero, trimestral o mensual para notas estructuradas.
4. Arrastre el control deslizante de choque de rendimiento para elegir el cambio de rendimiento en puntos básicos que desea probar. 100 pb es el tamaño estándar; 300+ pb muestra claramente la brecha entre duración y convexidad.
5. Haga clic en Calcular. Lea la tarjeta de veredicto para los números principales, el gráfico del punto de equilibrio para la intuición, la franja de comparación de ±choque para la vista operativa, el gráfico de curva de rendimiento para la brecha predicción vs. real, y la tabla por período para la atribución.

Las matemáticas bajo el capó

Cada resultado parte de la ecuación estándar de valoración de bonos por valor presente. Con \(m\) períodos de cupón por año, tasa de cupón periódica \(c = c_{anual}/m\), rendimiento periódico \(y = y_{anual}/m\), y períodos totales \(n = T \cdot m\) para el vencimiento \(T\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

La duración de Macaulay es el tiempo promedio ponderado por el valor presente de los flujos de caja, dividido por \(m\) para que el resultado sea en años en lugar de períodos:

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

La duración modificada ajusta la de Macaulay por el rendimiento periódico, dando el cambio porcentual del precio por cada cambio del 1% en el rendimiento:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

El DV01 — el valor en dólares de un punto básico — se calcula mejor numéricamente reprimiendo el bono al rendimiento ±1 pb y tomando la mitad de la diferencia. Equivalentemente, la aproximación lineal es:

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \ )

Y la estimación de cambio de precio de primer orden para cualquier desplazamiento de rendimiento \(\Delta y\) (en decimal) es:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \ )

Macaulay vs. duración modificada — ¿cuál debo usar?

Reglas de oro para interpretar su número de duración

• Bonos de cupón cero: La duración de Macaulay es exactamente igual a los años hasta el vencimiento. Todo el flujo de caja está al final, por lo que el "punto de equilibrio" es el propio vencimiento.
• Bonos de cupón alto: La duración es sensiblemente más corta que el vencimiento. Los cupones grandes y tempranos adelantan el centro de gravedad ponderado por PV.
• Rendimientos más altos acortan la duración: El factor de descuento \((1+y)^t\) en el denominador reduce el peso de los flujos de caja lejanos cuando los rendimientos suben.
• La duración escala aproximadamente con el vencimiento para bonos de cupón bajo: Un cupón cero a 30 años tiene una duración ≈ 30; uno a 5 años tiene una duración ≈ 5. Para bonos con cupón, la relación es sublineal en vencimientos largos debido a los cupones tempranos.
• Duración modificada ≈ Duración de Macaulay para rendimientos pequeños: La diferencia es el divisor \(1 + y/m\) — aproximadamente 2.5% a un rendimiento anual del 5% con cupones semestrales.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es la duración del bono?

La duración de un bono mide el tiempo promedio ponderado, en años, hasta que un tenedor de bonos recibe los flujos de caja ponderados por su valor presente. También es la sensibilidad del precio del bono a los cambios en el rendimiento. Las dos interpretaciones corresponden a la duración de Macaulay (la interpretación del tiempo) y la duración modificada (la interpretación de la sensibilidad).

¿Cuál es la diferencia entre la duración de Macaulay y la modificada?

La duración de Macaulay es el tiempo promedio ponderado por PV en el que llegan los flujos de caja, expresado en años. La duración modificada ajusta la de Macaulay dividiendo por \(1 + y/m\), donde \(y\) es el rendimiento periódico y \(m\) es el número de períodos de cupón por año. La duración modificada responde directamente a la pregunta: ¿qué porcentaje cambia el precio de mi bono por un cambio del 1% en el rendimiento? Ambas son casi idénticas cuando los rendimientos son bajos y divergen ligeramente a medida que crecen.

¿Qué es el DV01?

El DV01 (también llamado PV01 o BPV — Valor de Punto Básico) es el valor en dólares de un punto básico — el cambio en dólares del precio de un bono ante un cambio paralelo de un punto básico en su rendimiento. Los operadores prefieren el DV01 a la duración porque responde directamente a una pregunta práctica: si los rendimientos suben 5 pb, ¿cuántos dólares pierdo por bono? El DV01 se puede calcular numéricamente reprimiendo el bono al rendimiento ±1 pb, o linealmente como:

\( \text{DV01} \approx D_{mod} \cdot 0.0001 \cdot P \ )

¿Cómo se calcula la duración de Macaulay?

La duración de Macaulay es el tiempo promedio ponderado por el valor presente de los flujos de caja. Formalmente:

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

donde \(P\) es el precio, \(m\) es el número de períodos de cupón por año, \(y\) es el rendimiento periódico, \(n\) es el número total de períodos, y \(\text{CF}_t\) es el flujo de caja en el período \(t\). La división por \(m\) convierte el resultado de períodos a años.

¿Cómo se utiliza la duración modificada para predecir cambios de precio?

La duración modificada proporciona una estimación lineal de primer orden del cambio porcentual en el precio para un cambio dado en el rendimiento:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y \ )

Un bono con una duración modificada de 8 años verá caer su precio aproximadamente un 8% ante una subida de rendimiento de 100 puntos básicos, y subir aproximadamente un 8% ante una caída de 100 puntos básicos. La estimación lineal es precisa para cambios de rendimiento pequeños y subestima la ganancia (o sobreestima la pérdida) para cambios grandes — esa brecha es la corrección de convexidad.

¿Qué bonos tienen la duración más alta?

La duración aumenta con el vencimiento y disminuye con el tamaño del cupón y el nivel de rendimiento. Los bonos a largo plazo con cupones bajos tienen la duración más alta porque la mayor parte del flujo de caja se sitúa en el futuro lejano. Un bono de cupón cero tiene una duración de Macaulay exactamente igual a su vencimiento, ya que todo el flujo de caja se concentra al final. Un bono con cupón alto al mismo vencimiento tiene una duración menor porque los cupones tempranos adelantan el tiempo promedio ponderado por PV.

¿Qué es la vida media de PV?

La vida media de PV es el tiempo en el que se ha recibido el 50% del valor presente del bono. Es una métrica complementaria a la duración de Macaulay: mientras que la duración es el tiempo de espera medio ponderado por PV, la vida media es la mediana ponderada por PV. Para bonos de cupón bajo a largo plazo, ambas métricas son cercanas; para bonos de cupón alto a corto plazo, la vida media es anterior a la duración porque el pago final del principal arrastra la media más tarde que la mediana.

¿Puede ser negativa la duración?

Para los bonos estándar (plain vanilla) sin opciones integradas, la duración de Macaulay siempre es positiva — al fin y al cabo, es un tiempo. La duración modificada también siempre es positiva, porque la curva precio-rendimiento siempre tiene pendiente negativa (mayor rendimiento = menor precio). Los bonos con opciones integradas o patrones de flujo de caja inusuales (como los floaters inversos) pueden presentar una duración efectiva negativa en algunas regiones de rendimiento, pero esta calculadora modela el caso estándar.

¿Cómo uso la duración para la cobertura de cartera?

La duración de la cartera es la duración promedio ponderada de sus tenencias de bonos, ponderada por el valor de mercado. Una estrategia de cobertura común consiste en vender futuros del Tesoro u otro bono de cupón bajo en una cantidad que coincida con el DV01 de la posición larga, de modo que ambos se cancelen ante pequeños cambios paralelos del rendimiento. Los fondos de pensiones igualan la duración de sus activos con la de sus pasivos (calce de activos y pasivos) para inmunizarse contra pequeños cambios en el rendimiento — el descalce de convexidad determina entonces cómo se comporta la cobertura ante movimientos de rendimiento mayores.