Calculadora de Espacio Columna
Encuentra el espacio columna de una matriz con la calculadora del espacio columna de MiniWebtool. La reducción por filas identifica las columnas pivote y las columnas originales correspondientes forman una base; el rango, la nulidad y las operaciones paso a paso explican el resultado.
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Introduce una matriz para obtener una base de su espacio columna, el rango y la dimensión, con cada paso de reducción por filas y las columnas pivote resaltadas.
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Calculadora de Espacio Columna
La Calculadora de Espacio Columna encuentra el espacio columna (también llamado rango o imagen) de cualquier matriz realizando la reducción de filas a la Forma Escalonada Reducida por Filas (RREF). Identifica las columnas pivote, extrae los vectores de la base correspondientes de la matriz original y calcula el rango y la nulidad. El reproductor paso a paso muestra cada operación de fila —intercambios, escalado y eliminación— para que pueda seguir todo el proceso. Para matrices de 2D y 3D, una visualización interactiva muestra el espacio columna como una recta, un plano o el espacio completo.
Resumen rápido
La Calculadora de Espacio Columna halla el espacio columna de una matriz reduciéndola por filas a la forma escalonada reducida. Devuelve una base a partir de las columnas pivote originales, además del rango, la nulidad y cada operación de fila.
| Función | Qué incluye | Ideal para |
|---|---|---|
| Tamaño de la matriz | Elija filas y columnas, hasta 6×6, y luego escriba un número en cada celda. | Tareas de álgebra lineal con matrices de hasta 6×6 |
| Vectores base | Las columnas pivote se hallan en la forma escalonada reducida por filas. Las columnas correspondientes de la matriz original forman una base. | Describir el espacio generado por un conjunto de vectores columna |
| Rango y nulidad | El rango es el número de columnas pivote y la nulidad es el número de variables libres. Se muestra el desglose del teorema rango-nulidad. | Verificar que rango más nulidad igual al número de columnas |
| Reproductor de pasos | Reproduce cada intercambio de filas, escalado y eliminación, con botones de primero, anterior, siguiente, último y reproducir. | Seguir la reducción por filas un paso a la vez |
| Vista geométrica | Para matrices 2D y 3D, el espacio columna se dibuja como una recta, un plano o el espacio completo. | Imaginar lo que generan las columnas |
| Ejemplos rápidos | Matrices preestablecidas: rango 2 (3×3), rango completo 3×3, rango 1 (3×3), rectangular 3×4 y columnas dependientes. | Ver cómo cambia el rango de una matriz a otra |
¿Qué es el Espacio Columna?
El espacio columna de una matriz A (escrito como Col(A) o Rango(A)) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores columna de A. En otras palabras, es el subespacio generado por las columnas:
$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$
El espacio columna es un subespacio de \(\mathbb{R}^m\), donde m es el número de filas. Su dimensión es igual al rango de la matriz.
Cómo encontrar el Espacio Columna
- Escribir la matriz A — organice sus vectores como columnas.
- Reducir filas a RREF — aplique la eliminación gaussiana (intercambio de filas, escalado y eliminación) hasta que la matriz esté en su forma escalonada reducida por filas.
- Identificar columnas pivote — columnas que contienen un 1 principal (pivote) en la RREF.
- Extraer la base de la matriz original — las columnas de la matriz original A en las posiciones de los pivotes forman una base para el espacio columna.
Conceptos Clave
Espacio Columna vs. Espacio de Filas vs. Espacio Nulo
| Subespacio | Definición | Dimensión | Pertenece a |
|---|---|---|---|
| Espacio Columna (Col A) | Generado por las columnas de A | rango(A) | ℝm |
| Espacio de Filas (Row A) | Generado por las filas de A | rango(A) | ℝn |
| Espacio Nulo (Null A) | Soluciones a Ax = 0 | nulidad(A) | ℝn |
| Espacio Nulo Izquierdo | Soluciones a ATx = 0 | m − rango(A) | ℝm |
Cómo usar la Calculadora de Espacio Columna
- Establecer dimensiones — Elija el número de filas y columnas para su matriz (hasta 6×6).
- Ingresar valores — Escriba los números en cada celda. Use los ejemplos rápidos para matrices preestablecidas con diferentes rangos.
- Calcular — Haga clic en "Hallar Espacio Columna" para ver el análisis completo.
- Explorar resultados — Use el reproductor de pasos para observar cada operación de fila. Revise las columnas pivote resaltadas, los vectores de la base y el desglose del rango-nulidad. Para matrices pequeñas, consulte la visualización geométrica.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es el espacio columna de una matriz?
El espacio columna de una matriz A es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores columna. También se denomina rango o imagen de la matriz. Geométricamente, representa todos los vectores que se pueden alcanzar aplicando la transformación de la matriz.
¿Cómo se encuentra el espacio columna de una matriz?
Reduzca la matriz a su forma escalonada reducida por filas (RREF). Identifique las columnas pivote en la RREF. Las columnas correspondientes de la matriz original forman una base para el espacio columna.
¿Cuál es la relación entre el rango y el espacio columna?
El rango de una matriz es igual a la dimensión de su espacio columna. Es el número de columnas linealmente independientes, que es igual al número de columnas pivote en la RREF.
¿Qué es el teorema del rango-nulidad?
El teorema del rango-nulidad establece que para una matriz A de m×n, rango(A) + nulidad(A) = n, donde n es el número de columnas. El rango es la dimensión del espacio columna y la nulidad es la dimensión del espacio nulo.
¿Puede el espacio columna estar vacío?
El espacio columna siempre contiene al menos el vector cero. Si la matriz es la matriz cero, el espacio columna es solo el conjunto del vector cero. Para cualquier matriz distinta de cero, el espacio columna es un subespacio no trivial.
Cite este contenido, página o herramienta como:
"Calculadora de Espacio Columna" en https://MiniWebtool.com/es/calculadora-de-espacio-columna/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 2026-04-12
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