Desde 2010 · Más de 2 millones de usos de herramientas al mes
Desde 2010
Añadir a Chrome

Mi Caja de Herramientas

Modo Automático

Aún no has guardado herramientas.

Actualizar a la Versión Premium
Herramientas relacionadas
Solucionador de EDO de Primer OrdenSolucionador de EDO de Segundo OrdenSolucionador de EDO de BernoulliCalculadora del Método Runge-Kutta (RK4)Calculadora del Método de EulerCalculadora de Cinemática
Página de inicio > Matemáticas > Cálculo
 

Solucionador de Sistemas de EDOs

Resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de forma simbólica y numérica. Clasifica el equilibrio como silla, nodo, espiral o centro, deriva los valores propios paso a paso y dibuja un retrato de fase interactivo.

Uso gratuitoNo requiere registroResultados instantáneos
Solucionador de Sistemas de EDOsPruébalo ahora — gratis ▼
Ejemplos rápidos:
Nodo estable Centro (oscilador) Espiral estable Punto de silla Repetido (degenerado) Péndulo Van der Pol 3×3 de tercer orden
Resolver \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) donde \(A\) es una matriz de 2×2 con entradas reales.
[
[
Acepta decimales (ej. 2.5), negativos (-1) y fracciones simples (3/4).
Resolver \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — obtén autovalores, autovectores y la solución general en forma cerrada.
[
[
[
El valor predeterminado es la matriz compañera de \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \), dando autovalores \(-1, -2, -3\).
Resolver numéricamente un sistema no lineal 2D general: \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\). Usa funciones como sin, cos, exp, sqrt y constantes pi, e.
No se calcula una solución en forma cerrada; en su lugar, una integración RK4 de alta precisión produce la trayectoria y el retrato de fase.
x(0)
y(0)
lapso T

Embed Solucionador de Sistemas de EDOs Widget

Solucionador de Sistemas de EDOs

El Solucionador de Sistemas de EDO es una caja de herramientas de ecuaciones diferenciales todo-en-uno para sistemas acoplados lineales y no lineales. Pega una matriz de coeficientes de 2×2 o 3×3 y la herramienta realiza el análisis completo de autovalores / autovectores, escribe la solución general y particular en forma cerrada en LaTeX, clasifica el equilibrio en el origen como silla, nodo, espiral o centro, y dibuja un retrato de fase interactivo con una trayectoria animada. Para sistemas planos no lineales, puedes escribir lados derechos arbitrarios \(f(x,y)\) y \(g(x,y)\) y la herramienta producirá un retrato de fase RK4 de alta precisión.

¿Qué es un sistema de EDO?

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias acopla varias funciones desconocidas de una sola variable — generalmente el tiempo \(t\) — a través de sus derivadas. En la forma más compacta,

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Cuando \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) para una matriz constante \(A\), el sistema es lineal y autónomo — y aquí es donde la teoría es más bella: todo el comportamiento a largo plazo está determinado por los autovalores de \(A\).

La receta de autovalores para sistemas lineales

Para \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\), el método estándar es:

  1. Calcular el polinomio característico \(\det(\lambda I - A) = 0\).
  2. Resolver para los autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
  3. Para cada autovalor, hallar un autovector \(v\) resolviendo \((A - \lambda I) v = 0\).
  4. Ensamblar la solución general como una combinación lineal: \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
  5. Fijar las constantes \(c_i\) sustituyendo la condición inicial \(\mathbf{x}(0)\) en la solución general.

Tres casos para sistemas de 2×2

Autovalores Solución General Retrato
Reales distintos \(\lambda_1 \ne \lambda_2\) \(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\) Silla si los signos difieren; nodo de lo contrario
Complejos conjugados \(\alpha \pm i\beta\) \(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\) Espiral (\(\alpha \ne 0\)) o centro (\(\alpha = 0\))
Repetidos \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) \(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\) Nodo degenerado

El plano Traza-Determinante

Para una matriz de 2×2 con traza \(T = a_{11} + a_{22}\) y determinante \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\), toda la clasificación encaja en un solo diagrama:

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{silla} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{nodo (estable si } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{espiral (estable si } T < 0\text{), centro si } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{nodo degenerado (autovalor repetido)} \end{array} \]

Por esto el panel de resultados muestra prominentemente \(T\), \(D\) y \(\Delta = T^2 - 4D\) — tres números bastan para nombrar el equilibrio.

Sistemas no lineales y el retrato de fase

La mayoría de las EDO del mundo real son no lineales y no tienen solución en forma cerrada. La herramienta las maneja integrando las ecuaciones numéricamente con un método Runge–Kutta de 4º orden (RK4), que tiene un error de truncamiento local de \(O(h^5)\) y es el estándar para campos vectoriales suaves.

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

El retrato de fase superpone:

Cómo usar este solucionador

  1. Elige un modo — Lineal 2×2, Lineal 3×3 o No Lineal 2D — a través de las pestañas en la parte superior del formulario.
  2. Completa los coeficientes o ecuaciones. Haz clic en cualquier Ejemplo rápido para pre-completar un sistema canónico (nodo estable, centro, silla, péndulo, Van der Pol, etc.).
  3. Ingresa una condición inicial \((x_0, y_0)\) y un lapso de tiempo \(T\). Los valores típicos de \(T\) son 6–20 para osciladores y 3–6 para sistemas estables de decaimiento rápido.
  4. Haz clic en Resolver. Aparecerá la página completa de resultados con la clasificación, autovalores, autovectores, solución en forma cerrada (modos lineales), retrato de fase animado y gráfico de series temporales.
  5. Repite la trayectoria usando el botón bajo el retrato de fase si deseas ver al corredor recorrer la curva de CI nuevamente.

Ejemplo resuelto — Oscilador armónico amortiguado

El oscilador amortiguado \(\ddot{x} + 2\zeta \omega \dot{x} + \omega^2 x = 0\) puede reescribirse como un sistema 2D haciendo \(y = \dot{x}\):

\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Para \(\omega = 1\) y \(\zeta = 0.2\) (subamortiguado), la matriz es \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.4 \end{pmatrix}\). Traza \(T = -0.4\), determinante \(D = 1\), discriminante \(\Delta = 0.16 - 4 = -3.84 < 0\), por lo que obtenemos una espiral estable con autovalores \(-0.2 \pm 0.9798\,i\). La trayectoria entra en espiral hacia el origen, y la serie temporal muestra sinusoides que decaen exponencialmente.

Aplicaciones

Consejos y advertencias

Preguntas frecuentes

¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias?

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) es un conjunto de ecuaciones acopladas que relacionan las derivadas de varias funciones desconocidas de una sola variable independiente, generalmente el tiempo. La forma clásica es \( \mathbf{x}'(t) = F(t, \mathbf{x}(t)) \), donde \( \mathbf{x} \) es un vector de estados y \(F\) es el campo vectorial. Los sistemas lineales pueden escribirse de forma compacta como \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \), y su comportamiento se determina casi por completo mediante los autovalores de la matriz de coeficientes \(A\).

¿Cómo clasifican los autovalores el equilibrio de un sistema lineal de 2×2?

Para un sistema de 2×2 \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} \), el origen se clasifica por la traza \(T\) y el determinante \(D\) de \(A\): \(D < 0\) da un punto de silla (inestable); \(D > 0\) con \(T^2 > 4D\) da un nodo (estable si \(T < 0\), inestable si \(T > 0\)); \(D > 0\) con \(T^2 < 4D\) da una espiral (estable si \(T < 0\), inestable si \(T > 0\), un centro puro si \(T = 0\)). El límite \(T^2 = 4D\) produce un nodo degenerado.

¿Cómo se ve la solución en forma cerrada cuando los autovalores son complejos?

Si \(A\) tiene autovalores complejos conjugados \( \alpha \pm i\beta \) con autovector complejo \( v = p + iq \), la solución general real es \( \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left[ c_1 (p \cos\beta t - q \sin\beta t) + c_2 (p \sin\beta t + q \cos\beta t) \right] \). La exponencial \(e^{\alpha t}\) controla la amplitud (creciente, decreciente o constante), mientras que el seno y el coseno manejan la rotación.

¿Qué sucede cuando la matriz tiene un autovalor repetido?

Si la matriz tiene un autovalor repetido \(\lambda\) pero solo un autovector linealmente independiente \(v\), también necesitas un autovector generalizado \(w\) resolviendo \( (A - \lambda I) w = v \). La solución general toma entonces la forma \( \mathbf{x}(t) = c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t} \). Si el espacio propio es bidimensional, la matriz es un múltiplo escalar de la identidad en ese subespacio invariante y la solución se reduce a \( \mathbf{x}(t) = (c_1 v_1 + c_2 v_2) e^{\lambda t} \).

¿Puede esta herramienta resolver sistemas no lineales simbólicamente?

El modo no lineal resuelve el sistema numéricamente utilizando un integrador Runge–Kutta de cuarto orden (RK4) y traza el retrato de fase. La mayoría de los sistemas no lineales no tienen solución en forma cerrada, por lo que este es el enfoque estándar. Aún se puede analizar el comportamiento local cerca de los equilibrios mediante la linealización, lo cual maneja el modo lineal de 2×2 — calcula el Jacobiano en el punto fijo e ingrésalo como \(A\).

¿Qué es un retrato de fase?

Un retrato de fase es una representación geométrica de las soluciones de un sistema 2D en el plano \(x\)–\(y\). Cada solución traza una curva llamada trayectoria, y la colección de trayectorias junto con las flechas del campo vectorial revela el comportamiento cualitativo: si las soluciones entran en espiral, se separan en forma de silla, oscilan o se asientan en equilibrios. Los retratos de fase hacen visible la estructura global de un sistema de un vistazo.

Lecturas adicionales

Cite este contenido, página o herramienta como:

"Solucionador de Sistemas de EDOs" en https://MiniWebtool.com/es/solucionador-de-sistemas-de-edos/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 23 de abr de 2026

También puede probar nuestro Solucionador de Matemáticas AI GPT para resolver sus problemas matemáticos mediante preguntas y respuestas en lenguaje natural.

Cálculo:

Herramientas populares y actualizadas:

Resolvedor de Sistema de Ecuaciones No LinealesSolucionador de Sistemas de Ecuaciones LinealesSolucionador de Tasas RelacionadasVer todos →
Página de inicio > Matemáticas > Cálculo > Solucionador de Sistemas de EDOs