Calculadora de Convexidad de Bonos

Calculadora de Convexidad de Bonos

La Calculadora de Convexidad de Bonos mide la sensibilidad de segundo orden del precio de un bono ante cambios en su rendimiento. Mientras que la duración modificada indica la pendiente de la curva precio-rendimiento en un solo punto, la convexidad indica cuánto se dobla esa curva, una cifra que cobra enorme importancia una vez que los movimientos de rendimiento son grandes. Esta calculadora hace lo que la mayoría de las herramientas en línea omiten: permite ver, lado a lado, la predicción de precio basada solo en la duración, la predicción de duración más convexidad y el precio exacto del bono recalculado, para que la magnitud y dirección de la corrección de curvatura sean evidentes a simple vista.

Qué hace diferente a esta calculadora

Cómo usar la Calculadora de Convexidad de Bonos

1. Haga clic en un ajuste preestablecido de inicio rápido (Tesoro a 2 años, Tesoro a 10 años, Corporativo a 30 años o Cupón cero a 5 años) para completar cada campo al instante, o escriba los detalles de su propio bono.
2. Ingrese el valor nominal del bono (par), la tasa de cupón anual, el rendimiento actual al vencimiento y los años hasta el vencimiento.
3. Elija la frecuencia del cupón. Semestral es el estándar para bonos de EE. UU.; elija anual para bonos europeos o de cupón cero, trimestral o mensual para algunas notas estructuradas.
4. Deslice el control de choque de rendimiento para elegir el cambio en puntos básicos que le interesa. 100 bp es un tamaño común para pruebas de estrés; elija 300+ bp para ver realmente la importancia de la convexidad.
5. Presione "Calcular" y revise la tarjeta de veredicto, la franja de comparación de tres vías, el gráfico de la curva de choque, la cascada de flujos de caja y la tabla de atribución por periodo.

La matemática bajo el capó

Cada resultado parte de la ecuación estándar de valoración de bonos por valor presente, donde cada cupón y el reembolso final del principal se descuentan al rendimiento periódico \(y = y_{annual}/m\) con \(m\) periodos al año y un recuento total de periodos \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \node \)

La duración de Macaulay es el tiempo promedio ponderado por el VP de los flujos de caja, expresado en años al dividir por \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

La duración modificada ajusta la de Macaulay según el rendimiento periódico y ofrece el cambio porcentual del precio por cada 1% de cambio en el rendimiento:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

La convexidad es la suma ponderada por el precio de la ponderación temporal de segundo orden, escalada de nuevo a años al cuadrado al dividir por \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

Ambas métricas se combinan en la aproximación de Taylor de segundo orden del cambio porcentual del precio para un desplazamiento del rendimiento \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

El término de convexidad siempre es no negativo debido al cambio de rendimiento al cuadrado. Por eso se dice que los bonos con mayor convexidad disfrutan de un "regalo de convexidad": suben más en una caída de rendimientos de lo que predice la duración y pierden menos en un alza de rendimientos.

Interpretando sus resultados

Algunas reglas generales a tener en cuenta al leer los resultados:

• La convexidad escala aproximadamente con el cuadrado del vencimiento. Un bono a 30 años puede tener 10 veces la convexidad de un bono a 5 años con ratios de duración similares.
• Cupones más bajos significan mayor convexidad. Un bono de cupón cero tiene la mayor convexidad para su vencimiento porque todo el flujo de caja se sitúa en el punto más distante.
• Rendimientos más altos significan menor convexidad. El factor de descuento \((1+y)^{t+2}\) en el denominador reduce la contribución de los flujos de caja distantes cuando los rendimientos suben.
• La corrección de convexidad es simétrica en signo. Ya sea que los rendimientos suban o bajen 100 bp, el término de convexidad añade el mismo porcentaje positivo a la predicción de precio; ese es el beneficio de la curvatura.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la convexidad de un bono?

La convexidad es la segunda derivada del precio de un bono con respecto a su rendimiento, escalada por el precio del bono. Debido a que la relación precio-rendimiento es curva y no recta, la duración (la primera derivada) solo ofrece una estimación lineal de cómo se moverá el precio cuando cambien los rendimientos. La convexidad es la corrección de segundo orden que captura la curvatura, y siempre es positiva para los bonos sin opciones.

¿Por qué es importante la convexidad para los inversores?

Para cambios pequeños en el rendimiento, la duración es suficiente. Para cambios grandes (por ejemplo, 100 puntos básicos o más), la duración por sí sola subestima la ganancia de precio ante una caída del rendimiento y sobreestima la pérdida de precio ante un aumento del mismo. La convexidad cuantifica esa asimetría, el llamado regalo de convexidad: ante la misma duración, el bono con mayor convexidad rinde mejor en escenarios de alta volatilidad.

¿Cuál es la fórmula de la convexidad?

La convexidad en años al cuadrado es:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

donde \(P\) es el precio del bono, \(m\) es el número de periodos de cupón por año, \(y\) es el rendimiento periódico y \(\text{CF}_t\) es el flujo de caja en el periodo \(t\). El factor \(m^2\) convierte las unidades de periodos al cuadrado a años al cuadrado.

¿Cómo se usa la convexidad para predecir un cambio de precio?

Junto con la duración modificada, el cambio porcentual en el precio es aproximadamente:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Como el término de convexidad está al cuadrado, siempre suma una corrección positiva, origen del regalo de convexidad.

¿Qué bonos tienen la mayor convexidad?

Los bonos a largo plazo con cupones bajos. Los flujos de caja lejanos tienen más peso por el factor \(t(t+1)\). Los bonos cupón cero suelen tener la máxima convexidad para un vencimiento dado.

¿Es siempre mejor una convexidad alta?

A igualdad de condiciones, sí. Sin embargo, en el mercado, los bonos con alta convexidad suelen ser más caros (tienen menor rendimiento) porque los inversores pagan esa prima por la protección y el potencial de alza que ofrece la curvatura.

¿En qué se diferencia la convexidad de la duración?

La duración es una medida de primer orden: la pendiente de la curva en el rendimiento actual. Asume que la curva es recta localmente. La convexidad es una medida de segundo orden: la curvatura. La duración solo es precisa para cambios muy pequeños; la convexidad cobra relevancia cuanto mayor es el desplazamiento del rendimiento.

¿Puede ser negativa la convexidad?

En bonos simples, siempre es positiva. Los bonos con opciones implícitas (como bonos rescatables o valores respaldados por hipotecas) pueden mostrar convexidad negativa en ciertos rangos porque la opción de compra del emisor limita el potencial de subida del precio. Esta calculadora modela el caso sin opciones.

¿Cuál es la diferencia entre duración de Macaulay y duración modificada?

La de Macaulay es el tiempo promedio ponderado (en años) para recibir los flujos. La modificada ajusta ese valor dividiéndolo por \(1 + y/m\) y responde directamente a cuánto se mueve el precio ante un cambio del 1% en el rendimiento. Son casi idénticas con rendimientos bajos y divergen ligeramente al aumentar estos.

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