Calculadora de Integral de Línea
Calcula integrales de línea de campos escalares (∫f ds) y campos vectoriales (∫F·dr) a lo largo de curvas paramétricas en 2D y 3D. Introduce el campo, las ecuaciones paramétricas y los límites para obtener resultados simbólicos con soluciones paso a paso, longitud de arco y una visualización interactiva de la curva.
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Calculadora de Integral de Línea
La Calculadora de integral de línea evalúa tanto integrales de línea escalares \(\int_C f\,ds\) como integrales de línea vectoriales \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) a lo largo de curvas paramétricas en espacios 2D y 3D. Ingrese el campo, las ecuaciones paramétricas y los límites de los parámetros para obtener una solución completa paso a paso con resultados simbólicos, cálculo de la longitud de arco y una visualización animada de la curva.
Fórmulas de integral de línea
| Tipo | Fórmula | Descripción |
|---|---|---|
| Escalar ∫f ds | \(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | Integrar una función escalar a lo largo de la curva ponderada por la rapidez |
| Vectorial ∫F·dr | \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\) | La integral del producto punto mide el trabajo o la circulación |
| Longitud de arco | \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | Longitud total de la curva paramétrica |
| Conservativo | \(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\) | Teorema Fundamental de las Integrales de Línea |
Cómo usar la Calculadora de integral de línea
- Elija el tipo de integral. Seleccione "∫f ds" para una integral de línea escalar o "∫F·dr" para una integral de línea vectorial (trabajo/circulación).
- Seleccione la dimensión. Elija 2D o 3D dependiendo de su curva y campo.
- Ingrese el campo. Para integrales escalares, escriba la función f(x, y) o f(x, y, z). Para integrales vectoriales, ingrese cada componente P, Q y R.
- Defina la curva paramétrica. Ingrese x(t), y(t) y, opcionalmente, z(t). Use notación matemática estándar —
cos(t),t^2,sin(t), etc. - Establezca los límites. Ingrese los valores inicial y final de t. Puede usar expresiones como
pio2*pi. - Haga clic en Calcular para ver la solución paso a paso, el resultado numérico, la longitud de arco y la animación de la curva.
Curvas paramétricas comunes
| Curva | Parametrización | Límites |
|---|---|---|
| Círculo (radio R) | x = R cos(t), y = R sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
| Segmento de línea A→B | r(t) = (1−t)A + tB | t ∈ [0, 1] |
| Parábola y = x² | x = t, y = t² | t ∈ [a, b] |
| Hélice | x = cos(t), y = sin(t), z = t | t ∈ [0, 2π] |
| Elipse | x = a cos(t), y = b sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
Entendiendo los resultados
La calculadora proporciona varias piezas de información en el resultado:
- Valor de la integral: El resultado simbólico exacto (cuando sea posible) y su aproximación numérica.
- Longitud de arco: La longitud total de la curva, calculada como \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\).
- Rapidez |r'(t)|: La magnitud del vector velocidad, que actúa como el elemento de longitud de arco.
- Verificación de campo conservativo: Para integrales vectoriales, la calculadora verifica si ∇×F = 0 (el campo es conservativo). Los campos conservativos tienen integrales independientes de la trayectoria.
- Visualización de la curva: Un gráfico animado de la curva paramétrica que muestra la dirección del recorrido con un punto en movimiento que traza el camino.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una integral de línea?
Una integral de línea calcula la integral de una función a lo largo de una curva. Para campos escalares, suma los valores de f ponderados por la longitud de arco (∫f ds). Para campos vectoriales, suma la componente de F a lo largo de la dirección tangente (∫F·dr), a menudo interpretada como el trabajo realizado por un campo de fuerza.
¿Cuál es la diferencia entre una integral de línea escalar y una integral de línea vectorial?
Una integral de línea escalar ∫C f ds integra una función escalar f a lo largo de una curva ponderada por el elemento de longitud de arco ds, dando el valor total acumulado de f a lo largo de la trayectoria. Una integral de línea vectorial ∫C F·dr integra un campo vectorial F a lo largo de una curva tomando el producto punto con el vector tangente dr, midiendo cuánto empuja F en la dirección de la curva. Las integrales escalares se usan para problemas de masa y valor promedio; las integrales vectoriales calculan trabajo y circulación.
¿Cómo se parametriza una curva para una integral de línea?
Una curva paramétrica r(t) expresa cada coordenada como una función de un solo parámetro t. Por ejemplo, un círculo de radio R se parametriza como x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) con t desde 0 hasta 2π. La fórmula de la integral de línea luego convierte la integral de la curva en una integral definida estándar sobre t.
¿Cuándo es independiente de la trayectoria una integral de línea vectorial?
Una integral de línea vectorial es independiente de la trayectoria cuando el campo vectorial F es conservativo, lo que significa que su rotacional es cero en todo un dominio simplemente conexo. En ese caso, F es igual al gradiente de una función potencial φ, y la integral depende solo de los valores de φ en los puntos finales, no de la trayectoria específica tomada. La calculadora verifica automáticamente esta condición.
¿Cuál es el significado físico de una integral de línea?
Físicamente, una integral de línea escalar puede representar la masa de un cable con densidad variable, o el calor total a lo largo de un camino. Una integral de línea vectorial comúnmente representa el trabajo realizado por un campo de fuerza sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva, o la circulación de un campo de velocidad de un fluido alrededor de un lazo. En electromagnetismo, las integrales de línea aparecen en la ley de Ampère y la ley de Faraday.
¿Qué notación matemática acepta la calculadora?
Use la notación matemática estándar: ^ para exponentes (x^2), * para multiplicación (2*x, aunque la multiplicación implícita como 2x también funciona), y nombres de funciones estándar como sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Para los límites de los parámetros, puede ingresar expresiones como pi, 2*pi o valores numéricos.
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por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 2026-04-08
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