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Generador de espirografo

Genera patrones clásicos de rosetas de espirografo en línea. Simula las curvas hipotrocoides y epitrocoides que traza un bolígrafo cuando un círculo pequeño rueda dentro o fuera de un círculo fijo más grande. Superpone hasta tres bolígrafos para crear un mandala, ajusta los tres radios, mira cómo se dibuja la curva por sí misma y luego expórtala como SVG o PNG nítidos.

Generador de espirografo
Prueba un ajuste preestablecido:
La vista previa se updates a medida que modificas cada valor. Haz clic en Generar para obtener un dibujo de alta resolución con animación de reproducción.

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● Patrón listo
Hipotrocoide curtada de 8 pétalos Hipotrocoide — el círculo pequeño rueda dentro (clásico) · Simetría de 8 pliegues · 1261 puntos muestreados · se cierra tras 3 revolucións
Hipotrocoide curtada de 8 pétalos — Hipotrocoide — el círculo pequeño rueda dentro (clásico)
Dibujado a partir de R = 96, r = 36, d = 30, con MCD(R, r) = 12. La curva tiene una simetría rotacional de 8 pliegues y se cierra exactamente después de que el círculo rodante complete 3 revolucións.
Relación R/r: 96:36 1 bolígrafo Arcoíris (espectro completo)
ModoInterior
R / r / d96 / 36 / 30
MCD12
Lóbulos8
Bolígrafos1
Paleta:
Copiado ✓
Forma paramétrica hipotrocoide — el bolígrafo está en el círculo pequeño que rueda por el interior:
\( x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
\( y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
Con R = 96, r = 36, d = 30, la curva se cierra después de \( t \in [0, 2\pi \cdot 3] \).
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Generador de espirografo

El Generador de Espirógrafo simula las curvas que traza un juguete Spirograph clásico: hermosas rosetas perfectamente simétricas formadas cuando un círculo pequeño rueda dentro (o fuera) de un círculo fijo más grande mientras un bolígrafo sobre el círculo pequeño deja un rastro. La herramienta utiliza las ecuaciones paramétricas reales detrás de las hipotrocoides y epitrocoides, calcula el período exacto del bucle a partir del máximo común divisor de los dos radios y te permite apilar hasta tres bolígrafos para un efecto mandala. Ajusta tres controles deslizantes, observa la actualización de la vista previa en vivo en tiempo real y luego exporta la curva de alta resolución como SVG o PNG.

Cómo funciona realmente la matemática del espirógrafo

El círculo gris discontinuo es el círculo fijo de radio R. El disco violeta rueda alrededor de su interior sin deslizarse. Un bolígrafo (naranja) está montado en el disco rodante a una distancia d de su centro. A medida que el círculo rodante orbita, el bolígrafo deja una curva. La animación aquí muestra un ciclo completo de dibujo en bucle; tu espirógrafo real a continuación utiliza la misma física.

La idea clave: la curva se cierra sobre sí misma solo cuando el ángulo del parámetro vuelve a ser un múltiplo de \( 2\pi \) y el círculo rodante también ha realizado un número entero de rotaciones completas. Ambos suceden simultáneamente después de exactamente r / MCD(R, r) órbitas del ángulo grande. Es por eso que esta herramienta calcula primero el MCD(R, r); garantiza que la exportación esté matemáticamente cerrada sin costuras visibles.

Las ecuaciones paramétricas

Hipotrocoide (rueda por dentro)

$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

Si \( d = r \), la curva es una hipocicloide con cúspides afiladas (deltoide para 3 cúspides, astroide para 4). Si \( d < r \), la curva tiene pétalos redondeados (curtada). Si \( d > r \), los pétalos forman bucles largos (prolada).

Epitrocoide (rueda por fuera)

$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

Si \( d = r \), la curva es una epicicloide con cúspides apuntando hacia afuera (cardioide para una cúspide, nefroide para dos). Si \( d < r \), los bucles son curtados; si \( d > r \), son prolados.

Qué hace diferente a este generador de espirógrafo

Cierre exacto sin costuras La mayoría de los espirógrafos en línea toman muestras de un número fijo de revoluciones y esperan que los extremos se unan. Esta herramienta calcula primero r/MCD(R, r) para que el rango del parámetro sea matemáticamente exacto: el último punto aterriza sobre el primero, siempre, independientemente de cuán extraña sea la relación.
Vista previa en vivo mientras modificas El mini lienzo junto al formulario se vuelve a dibujar con cada pulsación de tecla y cada cambio en los controles deslizantes. Verás el impacto de cambiar R de 96 a 97 de inmediato, antes de comprometerte con un renderizado completo. Se acabó el hacer clic y esperar repetidamente.
Modo mandala de tres bolígrafos Elige dos o tres capas de bolígrafo y la misma relación R/r se renderizará con desplazamientos de bolígrafo más pequeños en colores apilados. Las curvas se anidan como pétalos dentro de pétalos: un mandala a partir de un solo conjunto de entradas, no una composición cosida a mano.
Revelación autodibujable El SVG utiliza una animación stroke-dashoffset para que la curva se trace a sí misma frente a ti, como un bolígrafo real sobre papel real. Haz clic en Reiniciar dibujo para volver a mirarlo, ideal para aulas y presentaciones.
Exportación vectorial verdadera La exportación SVG contiene la matemática original, no una captura de pantalla rasterizada. Escálala al tamaño de una valla publicitaria, envíala a una cortadora láser o digitalizadora de bordados, o arrástrala a Illustrator o Inkscape para editarla más a fondo. La exportación PNG es de 2x–4x DPI para diapositivas y publicaciones nítidas.
Contador de lóbulos integrado Cada resultado muestra el MCD, la simetría rotacional (R/MCD) y el número de revoluciones completas necesarias para cerrarse. Aprenderás la relación entre los números enteros y la forma visible simplemente cambiando un número a la vez.

Contando los pétalos: Una guía rápida

Para una hipotrocoide, el número de lóbulos (o cúspides, cuando \( d = r \)) es igual a \( R / \gcd(R, r) \). Algunos ejemplos clásicos:

  • R = 4, r = 1, d = 1 → astroide (4 cúspides). El clásico \"diamante con lados hundidos\".
  • R = 3, r = 1, d = 1 → deltoide (3 cúspides). También llamada curva de Steiner.
  • R = 96, r = 36, d = 30 → roseta de 8 pétalos. Porque \( \gcd(96, 36) = 12 \) y \( 96 / 12 = 8 \).
  • R = 105, r = 30, d = 72 → estrella de 7 pétalos. Pétalos largos con bucles (porque \( d > r \)).
  • R = 120, r = 45, d = 48 → encaje de 8 lóbulos. Pétalos ligeramente curtados entrelazándose entre sí.

Para una epitrocoide se aplica la misma fórmula con la geometría \"exterior\": \( R / \gcd(R, r) \) cúspides apuntando hacia afuera cuando \( d = r \).

Una breve historia

Las matemáticas se remontan a Alberto Durero en 1525, quien estudió las epicicloides mientras dibujaba ornamentos geométricos. Roemer (1674) y Bernoulli (principios de 1700) formalizaron las ecuaciones paramétricas. El juguete que la mayoría de la gente conoce, los engranajes de plástico de colores brillantes de la marca \"Spirograph\", fue inventado por el ingeniero británico Denys Fisher en 1965 y lanzado por Kenner al año siguiente. Se convirtió en un éxito mundial y ganó el premio al Juguete del Año (Reino Unido) en 1967. Fisher desarrolló inicialmente el sistema de engranajes para diseñar complejos mecanismos de relojería con resortes; el juguete fue un feliz accidente.

Hoy en día, las hipotrocoides y epitrocoides aparecen mucho más allá de las manualidades: en los motores rotativos Wankel (el rotor traza una epitrocoide), en el grabado guilloché de billetes y relojes de lujo, en el arte de osciloscopios al estilo Lissajous y en herramientas de arte generativo para carteles, bordados y corte por láser.

Usos en el mundo real para el resultado

  • Impresión y carteles: un SVG vectorial con una roseta de 8 pétalos + paleta de oro + papel marfil produce un adorno impecable para invitaciones de boda.
  • Corte y grabado láser: la curva cerrada es un trazo continuo, ideal para las rutas de las máquinas. Exporta el SVG e impórtalo en LightBurn o RDWorks.
  • Digitalización de bordados: el modo mandala denso con capas de bolígrafo produce un bordado a máquina que se ejecuta limpiamente sin saltos de hilo.
  • Aulas de matemáticas y arte: cambia r en una unidad y observa cómo varía el número de pétalos, una prueba visual de por qué el MCD importa en las funciones periódicas.
  • Arte generativo: la exportación SVG es editable. Ábrela en Illustrator, rellena la curva cerrada con un degradado y mézclala en modo multiplicación sobre el fondo de una foto.
  • Adornos de logotipos: la paleta monocroma + bolígrafo único + d pequeña produce una roseta delgada y elegante que se escala a la perfección en tarjetas de presentación.

Consejos para diseños hermosos

  • Relaciones de números primos = recuentos elevados de lóbulos. Prueba R = 113, r = 30 (MCD 1, por lo tanto 113 lóbulos: un encaje denso). Luego prueba R = 120, r = 30 (MCD 30, solo 4 lóbulos: una estrella limpia).
  • Lleva d más allá de r para obtener bucles. Cuando \( d > r \), los pétalos se superponen a sí mismos; prueba R = 90, r = 36, d = 80 para obtener una flor con pétalos que se autointersecan.
  • Usa una d menor a r para pétalos suaves. Los valores de d pequeños en relación con r confieren un aspecto suave de \"margarita redondeada\". Ideal para tarjetas y etiquetas de regalo.
  • Capas de bolígrafos para dar profundidad. Los mismos valores de R, r, d pero con 3 capas de bolígrafo crean instantáneamente un diseño concéntrico con sensación 3D sin cambiar nada más.
  • Plano técnico + paleta océano = boceto de ingeniería. Utilízalo para ilustraciones tecnológicas y detalles de diapositivas.
  • Papel cuadriculado + tinta monocroma = diagrama de libro de texto. Perfecto para hojas de actividades matemáticas imprimibles.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un espirógrafo matemáticamente?

Un espirógrafo traza una hipotrocoide (un círculo pequeño que rueda dentro de un círculo fijo más grande) o una epitrocoide (un círculo pequeño que rueda por fuera). Las curvas se describen mediante ecuaciones paramétricas con tres radios: R para el círculo fijo, r para el círculo rodante y d para el desplazamiento del bolígrafo desde el centro del círculo rodante.

¿Qué significan exactamente R, r y d?

R es el radio del círculo fijo grande, r es el radio del círculo rodante pequeño y d es la distancia del bolígrafo desde el centro del círculo rodante. Si d es igual a r, el bolígrafo se asienta en el borde y la curva desarrolla cúspides afiladas; una d más pequeña produce pétalos redondeados suaves (curtada); una d más grande produce pétalos con bucles largos que se superponen (prolada).

¿Por qué el patrón siempre se cierra en un bucle?

La herramienta calcula el máximo común divisor de R y r. La curva se cierra exactamente después de r / MCD(R, r) revoluciones del círculo rodante, y el resultado tiene R / MCD(R, r) lóbulos de simetría rotacional. El uso del MCD garantiza que el bolígrafo regrese a su punto de partida sin costuras visibles, independientemente de si R/r es racional o no (los tratamos como números enteros).

¿Cuál es la diferencia entre hipotrocoide y epitrocoide?

La hipotrocoide utiliza un círculo pequeño que rueda en el interior de uno más grande; este es el clásico juguete Spirograph. La epitrocoide utiliza un círculo pequeño que rueda en el exterior. Las hipotrocoides se sienten como rosetas que apuntan hacia adentro (pétalos hacia el centro); las epitrocoides se sienten como formas de flores o engranajes que apuntan hacia afuera (pétalos alejándose del centro). Los motores rotativos Wankel utilizan una epitrocoide como carcasa del rotor.

¿Qué es el modo mandala multibolígrafo?

Seleccionar dos o tres capas de bolígrafo vuelve a trazar la misma curva con valores de d progresivamente más pequeños en diferentes colores de la paleta. Debido a que cada bolígrafo tiene su propio desplazamiento, las capas se anidan como pétalos dentro de pétalos, produciendo un efecto de mandala o rangoli a partir de un solo conjunto de entradas. No se requiere composición por capas, es un único resultado matemático renderizado como múltiples trazos.

¿Puedo exportar el espirógrafo?

Sí. Descargar SVG ofrece un archivo vectorial que se mantiene nítido a cualquier tamaño, ideal para impresión, digitalización de bordados, corte de vinilo o edición posterior en Illustrator o Inkscape. Descargar PNG renderiza el patrón como una imagen rasterizada de alta resolución, adecuada para diapositivas y publicaciones en redes sociales. Copiar código coloca el marcado SVG nativo en tu portapapeles para incrustarlo en una página web o enviarlo por chat.

¿La herramienta es de uso gratuito?

Sí. El Generador de Espirógrafo es gratuito, se ejecuta completamente en tu navegador, no requiere registro y nunca añade marcas de agua a las exportaciones. Los patrones que generas son tuyos para utilizarlos en proyectos personales y comerciales: impresos, vendidos, remezclados o cosidos en una colcha.

¿Por qué algunas curvas son puntiagudas y otras suaves?

La cantidad de puntas proviene de R / MCD(R, r); ese número entero es la cantidad de lóbulos. La forma de la punta proviene de d: cuando d es igual a r se obtienen cúspides afiladas (una hipocicloide o epicicloide), cuando d es menor se obtienen pétalos redondeados (curtada) y cuando d es mayor que r los pétalos forman largos bucles que se entrecruzan (prolada). Cambia un número a la vez para percibir la relación.

¿En qué se diferencia esto de una curva de Lissajous?

Las curvas de Lissajous provienen de un movimiento sinusoidal independiente en los ejes x e y: x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt). Los espirógrafos provienen de un círculo pequeño que rueda alrededor de uno grande sin deslizarse. Los patrones de Lissajous se asientan sobre un marco rectangular; los espirógrafos lo hacen sobre un marco circular. Comparten cierto parecido familiar porque ambas son curvas 2D periódicas, pero el mecanismo difiere.

¿Por qué la vista previa en vivo se ve ligeramente diferente del resultado final?

La vista previa en vivo utiliza un número menor de muestras para mantener la capacidad de respuesta ante cada pulsación de tecla. El resultado final toma muestras de 900 a 7,200 puntos (escalados con la complejidad de la curva) para lograr un renderizado más nítido. Ambos coinciden matemáticamente; la diferencia radica únicamente en la resolución.

Cite este contenido, página o herramienta como:

"Generador de espirografo" en https://MiniWebtool.com/es/generador-de-espirografo/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

Por el equipo de MiniWebtool. Actualizado: 2026-05-19

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