작업 속도 문제 해결기

작업 속도 문제 해결기는 가장 흔한 다섯 가지 "A와 B가 함께 일하기" 문장제를 한 곳에서 다룹니다. 고전적인 결합 시간 문제, 한 작업자와 팀 시간을 알고 있지만 다른 작업자를 모르는 누락된 작업자 문제, 채우기 관 vs 배수관 순 시간 문제, 두 작업자가 교대로 일하는 교대 근무 문제, 그리고 한 작업자가 단독으로 시작하고 다른 작업자가 중간에 합류하는 부분 완료 문제를 해결할 수 있습니다. 시간, 분, 일 또는 초 단위로 단독 시간을 입력하면 계산기가 속도 합산 법칙을 적용하고, LaTeX를 사용하여 대수학 과정을 단계별로 설명하며, 각 작업자의 속도에 비례하여 커지는 애니메이션 듀얼 파이 시각화를 보여줍니다.

이 계산기 사용 방법

1. 드롭다운에서 문제와 일치하는 시나리오를 선택하세요 — 함께 하기, 누락된 작업자, 관 채우기 vs 비우기, 교대 근무 또는 A 단독 후 B 합류.
2. 시간 단위(시간, 분, 일 또는 초)를 선택하세요. 모든 입력에 동일한 단위가 사용됩니다.
3. 각 작업자의 단독 시간을 입력하세요. 누락된 작업자의 경우 함께 하는 시간도 입력하세요. 관의 경우 채우기 및 비우기 시간을 입력하세요. 교대 근무의 경우 교대 길이와 시작하는 사람을 입력하세요. 부분 완료의 경우 B가 합류하기 전까지 A가 혼자 일하는 시간을 입력하세요.
4. 계산 클릭. 헤드라인 값은 결합 시간, B의 단독 시간, 순 채우기 시간, 총 경과 시간 또는 총 프로젝트 시간 등 누락된 수치를 나타냅니다.
5. 각 작업자의 속도에 비례하여 채워지는 듀얼 파이 차트를 관찰하고, LaTeX 형식의 단계별 설명을 읽어보세요.

다섯 가지 공식 한눈에 보기

속도 합산 법칙 (핵심 개념)

모든 작업 속도 문제는 하나의 항등식으로 귀결됩니다. 작업자가 협력할 때 속도는 더해지지만, 시간은 더해지지 않는다는 것입니다. A가 하나의 전체 작업을 \( T_A \) 만에 마친다면, A는 단위 시간당 작업의 \( 1/T_A \)를 수행합니다. 두 작업자는 독립적으로 단위 시간당 비율을 기여합니다.

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

이 계산기의 각 시나리오는 동일한 방정식 내의 서로 다른 미지수일 뿐입니다.

• 함께 하기 — \( T_A \)와 \( T_B \)가 주어졌을 때 \( T \)를 구합니다.
• 누락 — \( T_A \)와 함께 하는 시간 \( T \)가 주어졌을 때 \( T_B \)를 구합니다.
• 관 — 한 항의 부호를 바꿉니다: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• 교대 — 시간을 A+B 사이클로 나누며, 각 사이클은 작업의 \( L(r_A+r_B) \)를 수행합니다.
• 부분 — 타임라인을 나눕니다: A 단독 후 함께 하기.

실제 예제: 두 명의 페인트공

페인트공 A는 6시간 만에 벽을 칠할 수 있습니다. 페인트공 B는 동일한 벽을 4시간 만에 칠할 수 있습니다. 두 사람이 함께 작업하면 얼마나 걸릴까요?

1. A의 속도: 시간당 \( r_A = 1/6 \) 벽.
2. B의 속도: 시간당 \( r_B = 1/4 \) 벽.
3. 결합 속도: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) 벽/시간.
4. 결합 시간: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) 시간 = 2시간 24분.
5. 참고: 정답(2.4시간)은 4시간과 6시간보다 작습니다. 두 번째 작업자를 추가하면 작업 속도가 빨라질 뿐입니다.

실제 예제: 누락된 도우미

A 혼자서는 5시간이 걸립니다. 알 수 없는 도우미 B와 함께라면 팀은 2시간 만에 끝냅니다. B가 혼자 한다면 얼마나 걸릴까요?

1. 결합 속도: 시간당 \( r_T = 1/2 = 0.5 \) 작업.
2. A의 속도: 시간당 \( r_A = 1/5 = 0.2 \) 작업.
3. 뺄셈: 시간당 \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) 작업.
4. B의 단독 시간: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) 시간.

실제 예제: 채우기 관 vs 배수관

채우기 관은 5시간 만에 탱크를 채웁니다. 배수관은 동일한 탱크를 8시간 만에 비웁니다. 둘 다 열려 있다면 탱크가 가득 차는 데 얼마나 걸릴까요?

1. 채우기 속도: 시간당 \( r_f = 1/5 = 0.20 \) 탱크.
2. 배수 속도: 시간당 \( r_d = 1/8 = 0.125 \) 탱크.
3. 순 속도: 시간당 \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) 탱크.
4. 채우는 시간: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) 시간 = 13시간 20분.
5. 상태 확인: 채우기 단독으로는 5시간이지만, 배수관이 방해하면서 시간이 두 배 이상 늘어났습니다. 배수 속도가 채우기보다 빠르면 탱크는 결코 차지 않습니다.

실제 예제: 1시간씩 교대 근무

A는 혼자서 6시간 만에 작업을 마칩니다. B는 혼자서 8시간이 걸립니다. A가 먼저 시작하여 1시간씩 교대로 일한다면 작업 시간이 얼마나 걸릴까요?

1. 쌍당 작업량: 쌍당 \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) 작업.
2. 전체 3쌍(6시간)은 작업의 \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \)를 마칩니다.
3. 남은 작업: 0.125. A의 다음 1시간 교대 근무는 약 \( 1/6 \approx 0.1667 \)을 처리하며, 이는 0.125보다 크므로 A는 자신의 4번째 교대 근무 중에 작업을 마칩니다.
4. A가 마지막 0.125를 마치는 데 필요한 시간: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) 시간.
5. 총 시간: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) 시간 = 6시간 45분.

실제 예제: 부분 완료

A가 혼자 작업을 시작합니다(A 단독 6시간). 2시간 후에 B가 합류합니다(B 단독 4시간). 완료될 때까지 총 얼마나 걸릴까요?

1. A가 혼자 마친 작업량: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \).
2. 남은 작업량: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. 결합 속도: 시간당 \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \).
4. 함께 하는 단계의 시간: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) 시간.
5. 총계: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) 시간 = 3시간 36분.

흔한 실수와 피하는 방법

• 속도 대신 시간을 더하는 것 — 학생들이 가장 많이 하는 실수입니다. A가 6시간, B가 4시간 걸린다면 정답은 5시간(평균)이나 10시간(합계)이 아닙니다. 속도를 더해 구한 2.4시간입니다.
• 함께 하는 시간이 가장 빠른 작업자보다 긴 경우 — 함께 하는 시간은 반드시 \( T_A \)와 \( T_B \) 둘 다보다 짧아야 합니다. 만약 더 크게 계산되었다면 산술 오류가 있는 것입니다.
• 결코 채워지지 않는 관 — 배수 속도가 채우기 속도보다 크거나 같으면 아무리 시간이 지나도 탱크는 채워지지 않습니다. 계산기가 이를 경고할 것입니다.
• 시간 단위 혼용 — 일부 입력을 분으로, 다른 입력을 시간으로 넣으면 엉뚱한 결과가 나옵니다. 상단에서 하나의 단위를 선택하고 모든 곳에 동일하게 사용하세요.
• 교대 근무: 마지막 부분 교대를 잊지 마세요 — 전체 A+B 사이클을 센 후, 작업은 보통 교대 중간에 끝납니다. 그 마지막 부분 교대 시간을 정확하게 계산하세요.
• 부분 완료: B가 합류하기 전에 A가 끝낼 수 있음 — \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \) 이면 A가 이미 끝낸 것이므로 B는 일하지 않습니다. 계산기는 이 사례를 자동으로 처리합니다.

빠른 참조 — 속도 vs 시간

작업 속도 문제가 실생활에서 나타나는 곳

• 건설 및 계약 — 각 팀원의 단독 작업 속도를 알 때 2인 팀이 얼마나 걸릴지 추정하기.
• 관 및 배관 — 정해진 시간 내에 탱크가 목표 수위에 도달하도록 펌프와 배수구 크기 조정하기.
• 소프트웨어 및 CI — 병렬로 실행되는 두 개의 테스트 러너; 총 실행 시간은 가장 느린 것과 같지만, 처리량은 속도의 합과 같습니다.
• 제조 — 동일 라인의 여러 기계; 총 처리량은 기계당 처리량의 합입니다.
• 교육 — 작업 속도 문제는 SAT/ACT, GRE, GMAT 및 대부분의 대수학 교과서(유리 방정식 장)의 단골 문제입니다.

자주 묻는 질문

두 작업자가 함께 일할 때의 공식은 무엇인가요?

시간이 아니라 속도가 더해집니다. A가 작업을 \( T_A \) 만에, B가 \( T_B \) 만에 마친다면, 결합 속도는 \( 1/T_A + 1/T_B \) 이며 결합 시간은 \( T = (T_A T_B)/(T_A + T_B) \)입니다. 예를 들어, A가 6시간, B가 4시간 걸린다면 함께 할 때 \( T = 24/10 = 2.4 \) 시간이 됩니다.

왜 작업 속도 문제에서 시간의 역수를 사용하나요?

속도는 단위 시간당 완료된 작업의 비율이기 때문입니다. A가 6시간 만에 작업을 마친다면, A는 매시간 작업의 \( 1/6 \)을 수행합니다. 두 작업자가 협력할 때 이러한 시간당 비율은 단순히 더해지며, 이것이 속도 합산 법칙입니다.

채우기 관 vs 배수관 문제는 어떻게 해결하나요?

채우기 속도에서 배수 속도를 뺍니다. 채우기 관이 \( T_f \), 배수관이 \( T_d \) 걸린다면 순 속도는 \( 1/T_f - 1/T_d \) 이며 채우는 시간은 \( 1 / (1/T_f - 1/T_d) \)입니다. 채우는 것이 비우는 것보다 빠를 때만 탱크가 채워집니다.

교대 근무 문제란 무엇인가요?

A와 B가 고정된 길이의 교대 근무를 수행합니다. 각 A+B 사이클 후 팀은 작업의 \( L(r_A + r_B) \)를 마칩니다. 남은 작업이 부분 교대 내에 완료될 때까지 사이클을 반복합니다. 계산기는 완료된 사이클을 세고 마지막 부분 교대를 정확히 계산합니다.

B가 도중에 합류하는 문제는 어떻게 처리하나요?

타임라인을 두 단계로 나눕니다. 1단계에서 A는 \( t_{solo} \) 동안 \( r_A \) 속도로 혼자 일해 \( r_A t_{solo} \)를 완료합니다. 2단계에서 A와 B는 완료될 때까지 \( r_A + r_B \) 속도로 함께 일합니다. 총 시간은 \( t_{solo} + (1 - r_A t_{solo})/(r_A + r_B) \)입니다.

함께 하는 시간이 A의 단독 시간보다 길면 어떻게 되나요?

그것은 불가능합니다. 두 번째 작업자를 추가하면 속도가 빨라질 뿐 결코 느려지지 않습니다. 계산기는 이를 거부하고 입력을 다시 확인하도록 요청할 것입니다. 함께 하는 시간은 각 작업자의 단독 시간보다 반드시 작아야 합니다.

세 명 이상의 작업자로 확장할 수 있나요?

예, 속도 합산 법칙은 일반화됩니다: \( 1/T = 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C + \ldots \). 이 계산기는 두 작업자(또는 관)에 집중하지만, A+B를 먼저 풀고 그 결과를 하나의 "슈퍼 작업자"로 간주한 다음 다음 작업자를 추가하는 식으로 연쇄적으로 계산할 수 있습니다.

어떤 시간 단위에서도 작동하나요?

예. 모든 곳에 동일한 단위를 사용하기만 하면 속도 합산 법칙은 단위와 무관하게 작동합니다. 단위 선택기에서 시간, 분, 일 또는 초를 선택하면 계산기가 해당 단위로 답을 반환합니다.