Solucionador de EDO de Segundo Orden

Solucionador de EDO de Segundo Orden

El Solucionador de EDO de Segundo Orden toma una ecuación diferencial ordinaria lineal de la forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) con coeficientes reales constantes, deriva automáticamente su ecuación característica, clasifica el régimen de amortiguamiento (sobreamortiguado, críticamente amortiguado, subamortiguado, no amortiguado o inestable) y produce tanto una solución simbólica de forma cerrada como una solución numérica de alta precisión. La salida interactiva combina un gráfico temporal de doble curva de y(x) y y′(x) con una trayectoria en el plano de fase de (y, y′), una vista que expone el régimen de un vistazo: espiral hacia adentro para subamortiguado, nodo hacia adentro para sobreamortiguado, lazo cerrado para no amortiguado, espiral hacia afuera para inestable.

¿Qué es una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes?

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes reales es una ecuación de la forma

donde a ≠ 0, b, c son constantes reales y g(x) es el término de forzamiento. Dos condiciones iniciales y(x₀) = y₀ y y′(x₀) = y′₀ convierten esto en un problema de valor inicial con una solución única en una vecindad de x₀; esto se deduce del teorema de Picard-Lindelöf aplicado al sistema equivalente de primer orden.

Si g(x) = 0, la ecuación es homogénea. De lo contrario, es no homogénea, y la solución completa se descompone como

donde y_h es la solución general de la ecuación homogénea asociada (contiene dos constantes libres) y y_p es cualquier solución particular de la ecuación completa. Al aplicar las dos condiciones iniciales se fijan las dos constantes libres.

La Ecuación Característica

Suponer y = e^(r·x) en la ecuación homogénea da la ecuación característica (o auxiliar)

una cuadrática cuyo discriminante Δ = b² − 4ac controla todo el comportamiento cualitativo:

Tres casos de raíces y el régimen de amortiguamiento

Método de Coeficientes Indeterminados (Caso no homogéneo)

Cuando g(x) toma una de las siguientes formas simples, el método de coeficientes indeterminados proporciona una solución particular al asumir un ensayo de la misma forma con coeficientes desconocidos y resolver para ellos:

• Constante g(x) = k. Ensayo: y_p = K. Si c = 0 multiplicar por x; si b = 0 también, multiplicar por x nuevamente.
• Polinomio de grado n. Ensayo: polinomio general de grado n. Multiplicar por x o x² si el término constante o lineal resuena.
• Exponencial g(x) = A·e^(k·x). Ensayo: y_p = K·e^(k·x). Si k coincide con una raíz característica, multiplicar por x (raíz simple) o x² (raíz doble); esto es resonancia.
• Sinusoidal g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x). Ensayo: y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x). Multiplicar por x si iω es una raíz (resonancia de frecuencia pura).
• Productos y sumas se obtienen por linealidad y la regla del producto.

Lectura del Plano de Fase

El sistema equivalente de primer orden es u = y, v = y′ con u′ = v y v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Graficar v frente a u paramétricamente en x da la trayectoria en el plano de fase. Para sistemas autónomos homogéneos (sin x en g), las órbitas están determinadas únicamente por su punto de partida (y₀, y′₀) y revelan el régimen de un vistazo:

• Subamortiguado: la trayectoria espirala hacia adentro hacia el origen.
• Sobreamortiguado: la trayectoria se aproxima al origen a lo largo de una línea invariante (autovector lento).
• Críticamente amortiguado: nodo degenerado, trayectoria tangente al único autovector.
• No amortiguado: elipse cerrada que rodea al origen — oscilación perpetua.
• Inestable: la trayectoria espirala o sale hacia el infinito.

Ejemplo resuelto: Oscilador armónico amortiguado forzado

Considere la ecuación y″ + 2·y′ + 5·y = 10 con y(0) = 0, y′(0) = 0, un sistema subamortiguado forzado.

1. Ecuación característica: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
2. Solución homogénea: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
3. Solución particular para forzamiento constante g = 10: probar y_p = K, de modo que 5K = 10, dando y_p = 2.
4. Aplicar CI: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
5. Respuesta final: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x): oscila con una envolvente decreciente y el límite y → 2.

Cómo usar esta calculadora

1. Ingrese los coeficientes a, b, c en la fila superior. a no debe ser cero (de lo contrario, la ecuación es de primer orden).
2. Escriba el término de forzamiento g(x), o déjelo como 0 para un problema homogéneo. Se derivan soluciones particulares de forma cerrada para constantes, polinomios hasta grado 2 y exponenciales simples A·e^(k·x), incluyendo el caso de resonancia.
3. Proporcione las condiciones iniciales (x₀, y₀, y′₀). Deben especificarse tanto y como y′ en x₀ porque la ecuación es de segundo orden.
4. Elija el rango de x para los gráficos. El solucionador integra hacia afuera desde x₀ en ambas direcciones de x usando RK4.
5. Haga clic en Resolver y Visualizar. Obtendrá la ecuación característica con sus raíces en el plano complejo, la clasificación del régimen de amortiguamiento, las soluciones homogénea y particular de forma cerrada, un gráfico temporal de doble curva de y y y′, y la trayectoria en el plano de fase.

Aplicaciones comunes

• Sistemas mecánicos de resorte-masa-amortiguador: m·x″ + c·x′ + k·x = F(t). Sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado corresponden a diferentes relaciones de amortiguamiento ζ = c/(2·√(m·k)).
• Circuitos eléctricos RLC: los circuitos RLC en serie obedecen a L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t): estructura idéntica, símbolos diferentes.
• Péndulo (ángulo pequeño): θ″ + (g/L)·θ = 0 produce un movimiento armónico simple; añadir resistencia del aire produce una oscilación amortiguada.
• Respuesta de edificios a terremotos: estructura de un solo grado de libertad con aceleración de la base como término de forzamiento.
• Sistemas servo controlados por PID: la dinámica del error en lazo cerrado se reduce a una EDO de segundo orden cuya relación de amortiguamiento gobierna el sobreimpulso.
• Modelos de población con inercia: crecimiento económico con retraso en la acumulación de capital o modelos ecológicos con respuesta retrasada.

Método numérico: Runge-Kutta clásico (RK4) en el sistema 2D

La herramienta reduce a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) al sistema de primer orden

con u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. Se aplica entonces Runge-Kutta de cuatro etapas al estado vectorial (u, v). RK4 tiene un error de truncamiento local de O(h⁵) y un error global de O(h⁴); los 400 subpasos predeterminados en cada dirección proporcionan una precisión de aproximadamente seis dígitos para problemas no rígidos.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes?

Una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), donde a, b, c son constantes reales y g(x) es el término de forzamiento (no homogéneo). Con dos condiciones iniciales y(x₀) = y₀ y y′(x₀) = y′₀ la solución es única. El caso homogéneo g(x) = 0 siempre admite una solución de forma cerrada a través de la ecuación característica a·r² + b·r + c = 0; el caso no homogéneo se resuelve como y(x) = y_h(x) + y_p(x).

¿Qué es la ecuación característica?

Para a·y″ + b·y′ + c·y = 0, sustituir la propuesta y = e^(r·x) produce a·r² + b·r + c = 0, la ecuación característica o auxiliar. Sus raíces determinan la forma de la solución homogénea: dos raíces reales distintas dan y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); una raíz repetida r da y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); raíces complejas conjugadas α ± β·i dan y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

¿Qué significan los términos subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado?

La terminología proviene del modelo de resorte-masa-amortiguador m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Sobreamortiguado (discriminante > 0, dos raíces reales) significa que el sistema regresa al equilibrio lentamente sin oscilación. Críticamente amortiguado (discriminante = 0, raíz repetida) es el retorno más rápido sin sobreimpulso. Subamortiguado (discriminante < 0, raíces complejas) produce una oscilación amortiguada. No amortiguado (b = 0, c/a > 0) produce una oscilación sinusoidal pura para siempre.

¿Qué es el método de coeficientes indeterminados?

Para forzamientos simples g(x) (constantes, polinomios, exponenciales, senos, cosenos y sus productos), se asume que la solución particular y_p tiene la misma forma que g con coeficientes desconocidos, que se determinan sustituyendo en la EDO e igualando términos. El ensayo debe multiplicarse por x (o x² para raíces dobles) cuando g(x) resuena con una raíz característica.

¿Qué es un plano de fase?

Para una ecuación de segundo orden reducida al sistema 2D (y, y'), el plano de fase grafica y' frente a y a medida que x avanza. Las curvas de solución en el plano de fase revelan el régimen de un vistazo: espirales decrecientes para subamortiguado, nodos hacia adentro para sobreamortiguado, elipses cerradas para movimiento armónico no amortiguado y espirales hacia afuera para oscilación inestable. Es la contraparte geométrica del diagrama de raíces de la ecuación característica.

¿Qué método numérico utiliza esta herramienta?

Se aplica el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4) al sistema equivalente de primer orden u = y, v = y', con u' = v y v' = (g(x) − b·v − c·u)/a. RK4 tiene un error de truncamiento local de O(h⁵) y los 400 subpasos predeterminados por dirección brindan una precisión de aproximadamente seis dígitos para ecuaciones no rígidas sobre la ventana elegida.

Lectura adicional

• Ecuación diferencial lineal — Wikipedia
• Ecuación característica — Wikipedia
• Método de los coeficientes indeterminados — Wikipedia
• Oscilador armónico — Wikipedia
• Plano de fase — Wikipedia
• Métodos de Runge-Kutta — Wikipedia

Cálculo:

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