Risolutore Problemi Tasso di Lavoro

Il Risolvitori Problemi Tasso di Lavoro copre i cinque problemi testuali più comuni su "A e B che lavorano insieme" in un unico posto: il classico problema del tempo combinato, il problema del lavoratore mancante in cui si conosce un lavoratore e il tempo della squadra ma non l'altro lavoratore, il problema del tempo netto tra tubo di riempimento e tubo di scarico, il problema dei turni alternati dove due lavoratori fanno a turno e il problema del completamento parziale dove un lavoratore inizia da solo e l'altro si unisce a metà strada. Inserisci i tempi individuali nella tua unità preferita — ore, minuti, giorni o secondi — e il risolutore applica la legge dell'addizione dei tassi, illustra l'algebra passo dopo passo in LaTeX e mostra una visualizzazione animata a doppia torta con una fetta per ogni lavoratore che cresce in proporzione al suo tasso.

Come utilizzare questo risolutore

1. Scegli dal menu a discesa lo scenario corrispondente al tuo problema — insieme, lavoratore mancante, riempimento vs scarico tubo, turni alternati o A da solo poi B si unisce.
2. Scegli l'unità di tempo (ore, minuti, giorni o secondi). Tutti gli input utilizzano la stessa unità.
3. Inserisci il tempo individuale di ogni lavoratore. Per il caso del lavoratore mancante, inserisci anche il tempo insieme. Per i tubi, inserisci i tempi di riempimento e scarico. Per i turni alternati, inserisci la durata del turno e chi inizia. Per il completamento parziale, inserisci per quanto tempo A lavora da solo prima che B si unisca.
4. Clicca su Risolvi. Il valore principale è la quantità mancante — tempo combinato, tempo individuale di B, tempo di riempimento netto, tempo totale trascorso o tempo totale del progetto.
5. Guarda il grafico a torta doppia riempirsi in proporzione al tasso di ogni lavoratore e leggi la spiegazione passo-passo formattata in LaTeX.

Le cinque formule a colpo d'occhio

La legge dell'addizione dei tassi (l'idea chiave)

Ogni problema di tasso di lavoro si riduce a un'identità: i tassi si sommano quando i lavoratori cooperano, ma i tempi no. Se A finisce un intero lavoro in \( T_A \), allora A svolge \( 1/T_A \) del lavoro per unità di tempo. Due lavoratori contribuiscono con le loro frazioni per unità di tempo in modo indipendente:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Ogni scenario in questo calcolatore è solo un'incognita diversa in questa stessa equazione:

• Insieme — risolvi per \( T \) dati \( T_A \) e \( T_B \).
• Mancante — risolvi per \( T_B \) dati \( T_A \) e il tempo insieme \( T \).
• Tubo — inverti il segno di un termine: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Alternato — dividi il tempo in cicli A+B, ogni ciclo svolge \( L(r_A+r_B) \) del lavoro.
• Parziale — dividi la timeline: A da solo, poi insieme.

Esempio svolto: due imbianchini

L'imbianchino A può finire una parete in 6 ore. L'imbianchino B può fare la stessa parete in 4 ore. Quanto tempo impiegano lavorando insieme?

1. Tasso di A: \( r_A = 1/6 \) parete all'ora.
2. Tasso di B: \( r_B = 1/4 \) parete all'ora.
3. Tasso combinato: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) parete all'ora.
4. Tempo combinato: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 \) ore = 2 ore e 24 minuti.
5. Nota: la risposta (2,4 h) è inferiore sia a 4 h che a 6 h — l'aggiunta di un secondo lavoratore può solo velocizzare il lavoro.

Esempio svolto: aiutante mancante

Sai che A da solo impiega 5 ore. Con un aiutante sconosciuto B, la squadra finisce in 2 ore. Quanto tempo impiegherebbe B da solo?

1. Tasso combinato: \( r_T = 1/2 = 0,5 \) lavoro all'ora.
2. Tasso di A: \( r_A = 1/5 = 0,2 \) lavoro all'ora.
3. Sottrazione: \( r_B = 0,5 - 0,2 = 0,3 \) lavoro all'ora.
4. Tempo individuale di B: \( T_B = 1/0,3 \approx 3,33 \) ore.

Esempio svolto: tubo di riempimento vs tubo di scarico

Un tubo di riempimento riempie un serbatoio in 5 ore. Un tubo di scarico svuota lo stesso serbatoio in 8 ore. Entrambi sono aperti. Quanto tempo occorre perché il serbatoio sia pieno?

1. Tasso di riempimento: \( r_f = 1/5 = 0,20 \) serbatoio all'ora.
2. Tasso di scarico: \( r_d = 1/8 = 0,125 \) serbatoio all'ora.
3. Tasso netto: \( r_{net} = 0,20 - 0,125 = 0,075 \) serbatoio all'ora.
4. Tempo per riempire: \( T = 1/0,075 \approx 13,33 \) ore = 13 h e 20 min.
5. Controllo di coerenza: il riempimento da solo è di 5 ore; con lo scarico che lavora contro, il tempo più che raddoppia. Se lo scarico fosse più veloce del riempimento, il serbatoio non si riempirebbe mai.

Esempio svolto: turni alternati di un'ora

A finisce un lavoro da solo in 6 ore. B da solo impiega 8 ore. Fanno a turno con turni di un'ora, iniziando da A. Quanto tempo richiede il lavoro?

1. Lavoro per coppia: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0,2917 \) del lavoro per coppia.
2. Tre coppie complete (6 ore) finiscono \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0,875 \) del lavoro.
3. Rimanente: 0,125. Il turno successivo di 1 ora di A finisce \( 1/6 \approx 0,1667 \), che è più di 0,125, quindi A finisce durante il suo quarto turno.
4. Tempo necessario ad A per fare l'ultimo 0,125: \( 0,125 / (1/6) = 0,75 \) ore.
5. Tempo totale: \( 6 + 0,75 = 6,75 \) ore = 6 h e 45 min.

Esempio svolto: completamento parziale

A inizia un lavoro da solo (tempo individuale A 6 h). Dopo 2 ore B si unisce (tempo individuale B 4 h). Quanto tempo manca alla fine?

1. Lavoro che A finisce da solo: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) del lavoro.
2. Lavoro rimanente: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Tasso combinato: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) all'ora.
4. Tempo per la fase insieme: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1,6 \) ore.
5. Totale: \( 2 + 1,6 = 3,6 \) ore = 3 h e 36 min.

Errori comuni e come evitarli

• Sommare i tempi invece dei tassi — l'errore più comune tra gli studenti. Se A impiega 6 h e B impiega 4 h, la risposta NON è 5 h (la media) e NON è 10 h (la somma). È 2,4 h, calcolato sommando i tassi.
• Tempo insieme inferiore al lavoratore più veloce — il tempo insieme deve essere inferiore sia a \( T_A \) che a \( T_B \). Se hai calcolato qualcosa di superiore, hai commesso un errore aritmetico.
• Tubi che non si riempiono mai — se il tasso di scarico è maggiore o uguale al tasso di riempimento, nessuna quantità di tempo riempirà il serbatoio. Il risolutore ti avviserà.
• Mescolare unità di tempo — convertire alcuni input in minuti e altri in ore produce risultati assurdi. Scegli un'unità in alto e usala ovunque.
• Turni alternati: non dimenticare l'ultimo turno parziale — dopo aver contato i cicli completi A+B, il lavoro di solito termina a metà turno. Risolvi esattamente per quell'ultimo turno parziale.
• Completamento parziale: A potrebbe finire prima che B si unisca — se \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A ha già finito e B non lavora mai. Il calcolatore gestisce automaticamente questo caso.

Riferimento rapido — tasso vs tempo

Dove i problemi di tasso di lavoro compaiono nella vita reale

• Costruzioni e contratti — stimare quanto tempo impiegherà una squadra di due persone quando si conosce il ritmo solista di ogni membro.
• Tubi e idraulica — dimensionare una pompa e uno scarico di troppo pieno in modo che il serbatoio raggiunga un livello target in un tempo stabilito.
• Software e CI — due test runner eseguiti in parallelo; il tempo reale è uguale al tempo del più lento, ma il throughput è uguale alla somma dei tassi.
• Produzione — più macchine sulla stessa linea; il throughput totale è la somma del throughput per macchina.
• Istruzione — i problemi di tasso di lavoro sono un punto fermo di SAT/ACT, GRE, GMAT e della maggior parte dei libri di testo di algebra (capitolo sulle equazioni razionali).

Domande frequenti