工作效率問題求解器

工作效率問題求解器在一處涵蓋了五種最常見的「A 和 B 合作」應用題：經典的合作時間問題、已知一名工人和團隊時間但不知另一名工人的缺失工人問題、注水管對排水管的淨時間問題、兩名工人輪流工作的輪班問題，以及一名工人先單獨開始而另一名中途加入的部分完成問題。請輸入您首選單位的單獨時間（小時、分鐘、天或秒），求解器將應用速率相加法則，以 LaTeX 逐步引導完成代數運算，並顯示一個動畫雙圓餅圖視覺化，每位工人佔據一個切片，並隨該工人的速率成比例增長。

如何使用此求解器

1. 從下拉選單中選擇符合您問題的情境 — 合作、缺失工人、水管注水 vs 排水、輪班或 A 先單獨工作後 B 加入。
2. 選擇時間單位（小時、分鐘、天或秒）。所有輸入都將使用相同的單位。
3. 輸入每位工人的單獨時間。對於缺失工人情況，還需輸入合作時間。對於水管，輸入注水和排水時間。對於輪班，輸入班次長度和起始人員。對於部分完成，輸入 A 在 B 加入前單獨工作的時長。
4. 點擊計算。標題值即為缺失的數量 — 合作時間、B 的單獨時間、淨注水時間、總耗時或總項目時間。
5. 觀察雙圓餅圖根據每位工人的速率進行填充，並閱讀 LaTeX 格式的逐步說明。

五個公式一覽

速率相加法則（核心概念）

每個工作效率問題都可以簡化為一個恆等式：當工人合作時，速率會相加，但時間不會。如果 A 在 \( T_A \) 內完成一項完整的工作，那麼 A 每單位時間完成 \( 1/T_A \) 的工作。兩名工人各自獨立地貢獻其單位時間的比例：

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

此計算機中的每個情境只是同一個方程式中不同的未知數：

• 合作 — 已知 \( T_A \) 和 \( T_B \)，求解 \( T \)。
• 缺失 — 已知 \( T_A \) 和合作時間 \( T \)，求解 \( T_B \)。
• 水管 — 反轉其中一項的符號：\( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \)。
• 輪班 — 將時間分解為 A+B 週期，每個週期完成 \( L(r_A+r_B) \) 的工作。
• 部分完成 — 分解時間線：A 先單獨工作，然後合作。

計算實例：兩名油漆工

油漆工 A 可以 6 小時刷完一面牆。油漆工 B 可以在 4 小時內刷完同樣的牆。他們合作需要多長時間？

1. A 的速率：\( r_A = 1/6 \) 面牆/小時。
2. B 的速率：\( r_B = 1/4 \) 面牆/小時。
3. 組合速率：\( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) 面牆/小時。
4. 合作時間：\( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) 小時 = 2 小時 24 分鐘。
5. 請注意：答案 (2.4 小時) 小於 4 小時和 6 小時 — 增加第二名工人只能縮短工作時間。

計算實例：尋找缺失的助手

已知 A 單獨工作需要 5 小時。與一名未知助手 B 合作，團隊在 2 小時內完成。B 單獨工作需要多長時間？

1. 組合速率：\( r_T = 1/2 = 0.5 \) 項工作/小時。
2. A 的速率：\( r_A = 1/5 = 0.2 \) 項工作/小時。
3. 相減：\( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) 項工作/小時。
4. B 的單獨時間：\( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) 小時。

計算實例：注水管與排水管

注水管 5 小時注滿水箱。排水管 8 小時排空同一個水箱。兩者同時開啟。水箱注滿需要多長時間？

1. 注水速率：\( r_f = 1/5 = 0.20 \) 水箱/小時。
2. 排水速率：\( r_d = 1/8 = 0.125 \) 水箱/小時。
3. 淨速率：\( r_{淨} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) 水箱/小時。
4. 注滿時間：\( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) 小時 = 13 小時 20 分鐘。
5. 常識檢查：單獨注水為 5 小時；有排水管干擾時，時間增加了一倍以上。如果排水速度快於注水速度，水箱將永遠無法注滿。

計算實例：輪流工作一小時班次

A 單獨完成工作需要 6 小時。B 單獨需要 8 小時。他們輪流工作一小時，A 先開始。這項工作需要多長時間？

1. 每對班次工作量：\( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) 每對週期的工作量。
2. 三個完整週期（6 小時）完成 \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) 的工作。
3. 剩餘量：0.125。A 的下一個 1 小時班次可完成 \( 1/6 \approx 0.1667 \)，這大於 0.125，因此 A 在其第 4 個班次期間完成。
4. A 完成最後 0.125 所需時間：\( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) 小時。
5. 總時間：\( 6 + 0.75 = 6.75 \) 小時 = 6 小時 45 分鐘。

計算實例：部分完成

A 單獨開始工作（A 單獨時間 6 小時）。2 小時後 B 加入（B 單獨時間 4 小時）。直到完成還需要多長時間？

1. A 單獨完成的工作量：\( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \)。
2. 剩餘工作量：\( 1 - 1/3 = 2/3 \)。
3. 組合速率：\( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) 每小時。
4. 合作階段的時間：\( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) 小時。
5. 總計：\( 2 + 1.6 = 3.6 \) 小時 = 3 小時 36 分鐘。

常見陷阱及如何避免

• 將時間相加而不是速率 — 這是學生最常犯的錯誤。如果 A 需要 6 小時，B 需要 4 小時，答案絕不是 5 小時（平均值）也不是 10 小時（總和）。答案是 2.4 小時，透過將速率相加得出。
• 合作時間短於最快的工人 — 合作時間必須小於 \( T_A \) 和 \( T_B \)。如果您計算出的數值較大，則說明運算有誤。
• 永不注滿的水管 — 如果排水速率大於或等於注水速率，無論經過多少時間水箱都無法注滿。計算機會向您發出警告。
• 混合時間單位 — 將某些輸入轉換為分鐘而其他輸入為小時會產生無意義的結果。請在頂部選擇一個單位並全程使用。
• 輪班工作：不要忘記最後的部分班次 — 在計算完整的 A+B 週期後，工作通常在班次中途完成。請精確計算最後一部分班次。
• 部分完成：A 可能在 B 加入前就已完成 — 如果 \( r_A \cdot t_{單獨} \geq 1 \)，則 A 已經完成，B 永遠不會開始工作。此計算機會自動處理這種情況。

快速參考 — 速率 vs 時間

工作效率問題出現在現實生活中的哪些地方

• 建築與承包 — 當已知每位成員的單獨進度時，估算兩名工人的工作組需要多長時間。
• 水管與管路 — 調整泵和溢流排水口的尺寸，使水箱在設定時間內達到目標水位。
• 軟體與 CI — 兩個並行執行的測試運行器；實際耗時等於最慢的一個，但吞吐量等於速率之和。
• 製造業 — 同一條線上的多台機器；總吞吐量是每台機器吞吐量的總和。
• 教育 — 工作效率問題是 SAT/ACT、GRE、GMAT 以及大多數代數教科書（關於有理方程的章節）的必考內容。

常見問題解答