Resolvedor de Problemas de Taxa de Trabalho

O Resolvedor de Problemas de Taxa de Trabalho cobre os cinco problemas de palavras mais comuns de "A e B trabalhando juntos" em um só lugar: o clássico problema de tempo combinado, o problema do trabalhador ausente onde você conhece um trabalhador e o tempo da equipe mas não o outro trabalhador, o problema de tempo líquido de encher vs esvaziar tubo, o problema de turnos alternados onde dois trabalhadores se revezam e o problema de conclusão parcial onde um trabalhador começa sozinho e o outro se junta no meio do caminho. Digite os tempos solo em sua unidade preferida — horas, minutos, dias ou segundos — e o resolvedor aplica a lei de adição de taxas, percorre a álgebra passo a passo em LaTeX e mostra uma visualização animada de pizza dupla com uma fatia por trabalhador que cresce proporcionalmente à taxa desse trabalhador.

Como usar este resolvedor

1. Escolha o cenário que corresponde ao seu problema no menu suspenso — juntos, trabalhador ausente, encher vs esvaziar tubo, turnos alternados ou A solo e depois B se junta.
2. Escolha a unidade de tempo (horas, minutos, dias ou segundos). Todas as entradas usam a mesma unidade.
3. Insira o tempo solo de cada trabalhador. Para o caso do trabalhador ausente, insira também o tempo conjunto. Para tubos, insira os tempos de enchimento e esvaziamento. Para turnos alternados, insira a duração do turno e quem começa. Para conclusão parcial, insira quanto tempo A trabalha sozinho antes de B se juntar.
4. Clique em Resolver. O valor principal é a quantidade que faltava — tempo combinado, tempo solo de B, tempo de enchimento líquido, tempo total decorrido ou tempo total do projeto.
5. Veja o gráfico de pizza dupla preencher em proporção à taxa de cada trabalhador e leia a explicação passo a passo formatada em LaTeX.

As cinco fórmulas em um relance

A lei da adição de taxas (a ideia principal)

Todo problema de taxa de trabalho se reduz a uma identidade: as taxas se somam quando os trabalhadores cooperam, mas os tempos não. Se A termina um trabalho inteiro em \( T_A \), então A faz \( 1/T_A \) do trabalho por unidade de tempo. Dois trabalhadores contribuem com suas frações por unidade de tempo de forma independente:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Cada cenário nesta calculadora é apenas uma incógnita diferente nesta mesma equação:

• Juntos — resolva para \( T \) dados \( T_A \) e \( T_B \).
• Ausente — resolva para \( T_B \) dados \( T_A \) e o tempo conjunto \( T \).
• Tubo — inverta o sinal de um termo: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Alternado — divida o tempo em ciclos A+B, cada ciclo faz \( L(r_A+r_B) \) do trabalho.
• Parcial — divida a linha do tempo: A solo, depois juntos.

Exemplo prático: dois pintores

O Pintor A pode terminar uma parede em 6 horas. O Pintor B pode fazer a mesma parede em 4 horas. Quanto tempo eles levam trabalhando juntos?

1. Taxa de A: \( r_A = 1/6 \) da parede por hora.
2. Taxa de B: \( r_B = 1/4 \) da parede por hora.
3. Taxa combinada: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) da parede por hora.
4. Tempo combinado: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) horas = 2 horas e 24 minutos.
5. Observe: a resposta (2.4 h) é menor que ambas as 4 h e 6 h — adicionar um segundo trabalhador só pode acelerar o trabalho.

Exemplo prático: ajudante ausente

Você sabe que A sozinho leva 5 horas. Com um ajudante desconhecido B, a equipe termina em 2 horas. Quanto tempo B levaria sozinho?

1. Taxa combinada: \( r_T = 1/2 = 0.5 \) trabalho por hora.
2. Taxa de A: \( r_A = 1/5 = 0.2 \) trabalho por hora.
3. Subtraia: \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) trabalho por hora.
4. Tempo solo de B: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) horas.

Exemplo prático: tubo de enchimento vs tubo de esvaziamento

Um tubo de enchimento enche um tanque em 5 horas. Um tubo de esvaziamento esvazia o mesmo tanque em 8 horas. Ambos estão abertos. Quanto tempo até o tanque ficar cheio?

1. Taxa de enchimento: \( r_f = 1/5 = 0.20 \) do tanque por hora.
2. Taxa de esvaziamento: \( r_d = 1/8 = 0.125 \) do tanque por hora.
3. Taxa líquida: \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) do tanque por hora.
4. Tempo para encher: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) horas = 13 h e 20 min.
5. Verificação de sanidade: o enchimento sozinho é 5 h; com o esvaziamento trabalhando contra, o tempo mais que dobra. Se o esvaziamento fosse mais rápido que o enchimento, o tanque nunca encheria.

Exemplo prático: turnos alternados de uma hora

A termina um trabalho sozinho em 6 horas. B sozinho leva 8 horas. Eles se revezam em turnos de uma hora, com A começando. Quanto tempo leva o trabalho?

1. Trabalho por par: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) do trabalho por par.
2. Três pares completos (6 horas) terminam \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) do trabalho.
3. Restante: 0.125. O próximo turno de 1 hora de A termina \( 1/6 \approx 0.1667 \), que é mais que 0.125, então A termina durante seu 4º turno.
4. Tempo que A precisa para fazer os últimos 0.125: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) hora.
5. Tempo total: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) horas = 6 h e 45 min.

Exemplo prático: conclusão parcial

A começa um trabalho sozinho (tempo solo de A 6 h). Após 2 horas B se junta (tempo solo de B 4 h). Quanto tempo até terminar?

1. Trabalho que A termina sozinho: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) do trabalho.
2. Trabalho restante: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Taxa combinada: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) por hora.
4. Tempo para a fase conjunta: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) horas.
5. Total: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) horas = 3 h e 36 min.

Erros comuns e como evitá-los

• Somar tempos em vez de taxas — o erro de aluno mais comum. Se A leva 6 h e B leva 4 h, a resposta NÃO é 5 h (a média) e NÃO é 10 h (a soma). É 2.4 h, encontrada somando-se as taxas.
• Tempo conjunto menor que o trabalhador mais rápido — o tempo conjunto deve ser menor que ambos \( T_A \) e \( T_B \). Se você calculou algo maior, cometeu um erro aritmético.
• Tubos que nunca enchem — se a taxa de esvaziamento for maior ou igual à taxa de enchimento, nenhuma quantidade de tempo encherá o tanque. O resolvedor avisará você.
• Misturar unidades de tempo — converter algumas entradas para minutos e outras para horas produz bobagens. Escolha uma unidade no topo e use-a em todos os lugares.
• Turnos alternados: não se esqueça do último turno parcial — após contar os ciclos A+B completos, o trabalho geralmente termina no meio de um turno. Resolva esse turno parcial final exatamente.
• Conclusão parcial: A pode terminar antes de B se juntar — se \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), A já terminou e B nunca chega a trabalhar. O calculador lida com este caso automaticamente.

Referência rápida — taxa vs tempo

Onde problemas de taxa de trabalho aparecem na vida real

• Construção e empreitada — estimar quanto tempo uma equipe de dois levará quando o ritmo solo de cada membro é conhecido.
• Encanamento e hidráulica — dimensionar uma bomba e um dreno de transbordamento para que o tanque atinja um nível alvo em um tempo determinado.
• Software e CI — dois executores de teste rodando em paralelo; o tempo real é igual ao tempo do mais lento, mas o rendimento é igual à soma das taxas.
• Manufatura — várias máquinas na mesma linha; o rendimento total é a soma do rendimento por máquina.
• Educação — problemas de taxa de trabalho são básicos em SAT/ACT, GRE, GMAT e na maioria dos livros de álgebra (capítulo sobre equações racionais).

Perguntas frequentes